工程力學(xué)11彎曲變形課件

1、工程力學(xué) 第11章彎曲變形中國(guó)石油大學(xué)（北京）工程力學(xué) 第11章彎曲變形中國(guó)石油大學(xué)（北京）彎曲變形按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角梁的撓曲線近似微分方程及其積分求梁的撓度與轉(zhuǎn)角的共軛梁法梁的剛度校核 梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能簡(jiǎn)單超靜定梁的求解方法 梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能2彎曲變形按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角梁的撓曲線近似微分方程及其研究范圍：等直梁在對(duì)稱彎曲時(shí)位移的計(jì)算。研究目的：對(duì)梁作剛度校核； 解超靜定梁（變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。3概述3研究范圍：等直梁在對(duì)稱彎曲時(shí)位移的計(jì)算。3概述31.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用w表示。與 f 同向?yàn)檎?，反之為?fù)。轉(zhuǎn)角：當(dāng)縱軸向下時(shí)，橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)

2、動(dòng)的角度。用 表示，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。當(dāng)縱軸向上時(shí)，橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。用 表示，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。 二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。 其方程為： w =f (x)三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：小變形PxwCqC1f4概述41.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用w表示。與 一、撓曲線近似微分方程式（2）就是撓曲線近似微分方程。小變形fxM0fxM05梁的撓曲線近似微分方程及其積分5一、撓曲線近似微分方程式（2）就是撓曲線近似微分方程。小變形對(duì)于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：二、求撓曲線方程（彈性曲線）1.微分方程的積分2.位移

3、邊界條件PABCPD6梁的撓曲線近似微分方程及其積分6對(duì)于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：二、求撓曲討論： 適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件的平面彎曲。 可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。 積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條 件）確定。 優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出較精確； 缺點(diǎn)：計(jì)算較繁。支點(diǎn)位移條件：連續(xù)條件：光滑條件：7梁的撓曲線近似微分方程及其積分7討論：支點(diǎn)位移條件：連續(xù)條件：光滑條件：7梁的撓曲線近例1 求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)解

4、：PLxf8概述8例1 求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建寫出彈性曲線方程并畫(huà)出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角xfPL9梁的撓曲線近似微分方程及其積分9寫出彈性曲線方程并畫(huà)出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角xfPL9梁例2 解：建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分xfPLa10梁的撓曲線近似微分方程及其積分10例2 解：建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)PLaxf11梁的撓曲線近似微分方程及其積分11應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)PLaxf11梁的撓曲線近似微分寫出彈性曲線方程并畫(huà)出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角PLaxf1212寫出彈性曲線方程并畫(huà)出曲線最

5、大撓度及最大轉(zhuǎn)角PLaxf1一、載荷疊加：多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形 等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：13按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角13一、載荷疊加：多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形 例3 按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度。解、載荷分解如圖由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表， 查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。qqPP=+AAABBB Caa1414例3 按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度。解、載荷分解如圖由qqPP=+AAABBB Caa疊加1515qqPP=+AAABBB Caa疊加1515例4 結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法) 原理說(shuō)明。=+PL1L2ABCBCPL2

6、f1f2等價(jià)等價(jià)xfxffPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxf1616例4 結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法) 原理說(shuō)明。=+PL1L2A例5 車床主軸簡(jiǎn)化為等截面外伸梁，求B點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度解：設(shè)想沿截面B將外伸梁分為兩部分，AB為簡(jiǎn)支梁，除原有的集中載荷外，在B點(diǎn)作用有剪力和彎矩，如圖所示，BC為懸臂梁 簡(jiǎn)支梁B點(diǎn)剪力作用下，沒(méi)有發(fā)生變形，在原來(lái)集中載荷作用下，B點(diǎn)轉(zhuǎn)角為： 這里假設(shè)縱坐標(biāo)方向向上，也就是撓度向上為正，轉(zhuǎn)角逆時(shí)針為正，簡(jiǎn)支梁在B點(diǎn)彎矩作用下，B點(diǎn)轉(zhuǎn)角為： 17例5 車床主軸簡(jiǎn)化為等截面外伸梁，求B點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度解：設(shè)簡(jiǎn)支梁在原來(lái)集中力和彎矩共

7、同作用下，B點(diǎn)轉(zhuǎn)角為： 由這一轉(zhuǎn)角引起的C點(diǎn)撓度為 BC懸臂梁在集中載荷作用下的撓度為： C點(diǎn)實(shí)際撓度為： 按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角18簡(jiǎn)支梁在原來(lái)集中力和彎矩共同作用下，B點(diǎn)轉(zhuǎn)角為： 由這一轉(zhuǎn)角一、梁的剛度條件其中稱為許用轉(zhuǎn)角；f/L稱為許用撓跨比。通常依此條件進(jìn)行如下三種剛度計(jì)算：、校核剛度：、設(shè)計(jì)截面尺寸；、設(shè)計(jì)載荷。19梁的剛度校核19一、梁的剛度條件其中稱為許用轉(zhuǎn)角；f/L稱為許用撓PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例6 下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點(diǎn)的f/L=0.00001,B點(diǎn)的

8、=0.001弧度,試核此桿的剛度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM2020PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1P2BCa=+圖1圖2圖3解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡(jiǎn)單 載荷變形。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf2121P2BCa=+圖1圖2圖3解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡(jiǎn)單 載荷P2BCa=+圖1圖2圖3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf疊加求復(fù)雜載荷下的變形2222P2BCa=+圖1

9、圖2圖3PL=400mmP2=2kNAC校核剛度23梁的剛度校核23校核剛度23梁的剛度校核23dxxQQ+dQMM+dM一、彎曲應(yīng)變能的計(jì)算： 應(yīng)變能等于外力功。不計(jì)剪切應(yīng)變能并略去dqM(x)P1MxfP2dxdqr24梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能24dxxQQ+dQMM+dM一、彎曲應(yīng)變能的計(jì)算： 應(yīng)變能等于例7 用能量法求C點(diǎn)的撓度。梁為等截面直梁。解：外力功等于應(yīng)變能在應(yīng)用對(duì)稱性，得：思考：分布荷載時(shí)，可否用此法求C點(diǎn)位移？Paaqxf25梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能25例7 用能量法求C點(diǎn)的撓度。梁為等截面直梁。解：外力功等于應(yīng)1、處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。解：建立靜

10、定基 確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)靜定基。=q0LABLq0MABAq0LRBABxf26簡(jiǎn)單超靜定梁的求解方法261、處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部幾何方程變形協(xié)調(diào)方程+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問(wèn)題（反力、應(yīng)力、變形等）27簡(jiǎn)單超靜定梁的求解方法27幾何方程變形協(xié)調(diào)方程+q0LRBAB=RBABq0AB幾何方程 變形協(xié)調(diào)方程：解：建立靜定基=例8 結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力。LBCxfq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB28簡(jiǎn)單超靜定梁的求解方法28幾何方程解：建立靜定基=例8 結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)

11、反力。LB=LBCxfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問(wèn)題（反力、應(yīng)力、 變形等）2929=LBCxfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程強(qiáng)度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：剛度：穩(wěn)定性：都與內(nèi)力和截面性質(zhì)有關(guān)。30如何提高梁的承載能力30強(qiáng)度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：剛度：穩(wěn)定性：都與內(nèi)力和截面性質(zhì)有關(guān)。一、選擇梁的合理截面矩形木梁的合理高寬比北宋李誡于1100年著營(yíng)造法式 一書(shū)中指出:矩形木梁的合理高寬比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義 一書(shū)中指出:矩形木梁的合理高寬比 為Rbh31如何提高梁的承載能力31一、選擇

12、梁的合理截面矩形木梁的合理高寬比北宋李誡于1100年二、合理布置外力（包括支座），使 M max 盡可能小。PL/2L/2Mx+PL/4PL/43L/4Mx3PL/16P=qLL/54L/5對(duì)稱MxqL2/103232二、合理布置外力（包括支座），使 M max 盡可能小。PLMxqLL/5qL/5402qL502qL-MxqL/2L/2322qL-Mx33如何提高梁的承載能力33MxqLL/5qL/5402qL502qL-MxqL/2L/三、選用高強(qiáng)度材料，提高許用應(yīng)力值 同類材料，“E”值相差不多，“jx”相差較大，故換用同類材料只能提高強(qiáng)度，不能提高剛度和穩(wěn)定性。 不同類材料，E和G都相

13、差很多（鋼E=200GPa , 銅E=100GPa），故可選用不同的材料以達(dá)到提高剛度和穩(wěn)定性的目的。但是，改換材料，其原料費(fèi)用也會(huì)隨之發(fā)生很大的改變！34如何提高梁的承載能力34三、選用高強(qiáng)度材料，提高許用應(yīng)力值 同類材料，“E”值35作業(yè)劉鴻文材料力學(xué)第四版 P197習(xí)題：6.1; 6.3a,c; 6.4a,c; 6.10a; 6.41第11章 彎曲變形3535作業(yè)第11章 彎曲變形3536第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題1.梁的撓曲線微分方程下面三個(gè)方程是等價(jià)在這種方程體系中，向上的撓度為正、逆時(shí)針轉(zhuǎn)角為正在這種方程體系中，向下的撓度為正、順時(shí)針轉(zhuǎn)角為正2.梁的剛度條件3636第11章 彎

14、曲變形 總結(jié)和習(xí)題1.梁的撓曲線微分方程37第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.1a寫出圖示梁的邊界條件 或者如果豎桿不可拉伸如果豎桿可拉伸，題目中往往給出豎桿的拉伸剛度EA 3737第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.1a寫出圖示梁的邊界38第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題寫出圖示梁的邊界條件,支座B的彈簧剛度為k 3838第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題寫出圖示梁的邊界條件,支39第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.3a用積分法求懸臂梁的撓曲線方程以及自由端的撓度和轉(zhuǎn)角，載荷如圖所示，EI為常數(shù)解：按照第一種坐標(biāo)系計(jì)算3939第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.3a用積分法求懸臂梁40第11章 彎曲變

15、形 總結(jié)和習(xí)題下面用邊界條件確定積分常數(shù)自由端的撓度 自由端的轉(zhuǎn)角 （順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)） 4040第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題下面用邊界條件確定積分常41第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題解法二 自由端的撓度 自由端的轉(zhuǎn)角 （順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)） 4141第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題解法二 自由端的撓度 自42第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.3c用積分法求懸臂梁的撓曲線方程以及自由端的撓度和轉(zhuǎn)角，載荷如圖所示，EI為常數(shù)解:A點(diǎn)反力4242第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.3c用積分法求懸臂梁43第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題4343第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題4344第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題由邊

16、界條件確定積分常數(shù)當(dāng)x=l時(shí) 4444第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題由邊界條件確定積分常數(shù)當(dāng)45第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題當(dāng)x=l/2時(shí)，位移和轉(zhuǎn)角保持連續(xù)性4545第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題當(dāng)x=l/2時(shí)，位移和轉(zhuǎn)46第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題4646第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題4647第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題自由端順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 4747第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題自由端順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 4748第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.4a用積分法求簡(jiǎn)支梁的撓曲線方程以及A、B端的轉(zhuǎn)角,跨度中點(diǎn)的撓度和最大撓度,載荷如圖所示,EI為常數(shù)解：先求支座反力則彎矩方程為撓曲線方程由邊界條件

17、確定積分常數(shù) 4848第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.4a用積分法求簡(jiǎn)支梁49第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題A、B的轉(zhuǎn)角跨度中點(diǎn)的撓度為了求撓度最大值，先求轉(zhuǎn)角為零的點(diǎn)撓度最大值4949第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題A、B的轉(zhuǎn)角跨度中點(diǎn)的撓50第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.4c用積分法求簡(jiǎn)支梁的撓曲線方程以及A、B端的轉(zhuǎn)角,跨度中點(diǎn)的撓度和最大撓度,載荷如圖所示,EI為常數(shù)解：建立坐標(biāo)系，支座反力：5050第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.4c用積分法求簡(jiǎn)支梁51第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題當(dāng)x=l時(shí) A點(diǎn)轉(zhuǎn)角（順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)） B點(diǎn)轉(zhuǎn)角（逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)） 中點(diǎn)撓度轉(zhuǎn)角為0時(shí)5151第11章

18、彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題當(dāng)x=l時(shí) A點(diǎn)轉(zhuǎn)角（順52第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.5a用積分法求懸臂梁的撓曲線方程以及自由端的撓度和轉(zhuǎn)角,載荷如圖所示，EI為常數(shù)解：先求支座反力彎矩方程撓曲線方程由邊界條件確定積分常數(shù)C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角CB為直線段，B點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)轉(zhuǎn)角相等5252第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.5a用積分法求懸臂梁53第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.5b用積分法求懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角，載荷和幾何尺寸如圖所示，EI為常數(shù)解：先求支座反力彎矩方程撓曲線方程由邊界條件確定積分常數(shù)5353第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.5b用積分法求懸臂梁54第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題C點(diǎn)

19、的撓度和轉(zhuǎn)角CB為直線段，B點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)轉(zhuǎn)角相等B點(diǎn)的撓度5454第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角CB為直55第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.10a用疊加法求梁截面A點(diǎn)的撓度和截面B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角，EI為常數(shù)解：查表，集中力偶作用下在集中載荷作用下疊加5555第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.10a用疊加法求梁截56第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.36求均布載荷作用下的三跨梁的支座反力和AC中點(diǎn)截面的彎矩解：這是一次超靜定問(wèn)題，解除C點(diǎn)的約束，代替以支反力FRC由疊加原理得到由于對(duì)稱性AC中點(diǎn)截面的彎矩5656第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.36求均布載荷作用下57第11章 彎曲變形 總結(jié)和習(xí)題6.37用積分法分析圖示超靜定梁，求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和中點(diǎn)撓度解：這是一次超靜定問(wèn)題，任意截面上的彎矩為撓曲線方程為積分得到邊界條件如下解之得