《平面向量的運(yùn)算》平面向量及其應(yīng)用課件(第4課時向量的數(shù)量積)x

1、6.2平面向量的運(yùn)算6.2.4向量的數(shù)量積6.2平面向量的運(yùn)算1.向量的夾角定義：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作 =a， =b，則AOB=(0)叫做向量a與b的夾角(如圖所示).1.向量的夾角平面向量的運(yùn)算平面向量及其應(yīng)用課件(第4課時向量的數(shù)量積)x(1)范圍：向量a與b的夾角的范圍是0.(2)當(dāng)=0時，a與b同向；當(dāng)=時，a與b反向.(3)如果a與b的夾角是 我們說a與b垂直，記作ab.(1)范圍：向量a與b的夾角的范圍是0.【思考】(1)等邊ABC中，向量 所成的角是60嗎？提示：向量 所成的角是120.【思考】(2)向量夾角的范圍與異面直線所成的角的范圍相同嗎？提示：

2、向量的夾角和直線的夾角范圍是不同的，它們分別是0，和 (2)向量夾角的范圍與異面直線所成的角的范圍相同2.向量的數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab=|a|b|cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2.向量的數(shù)量積的定義【思考】(1)把“ab”寫成“ab”或“ab”可以嗎，為什么？提示：不可以，數(shù)量積是兩個向量之間的乘法，在書寫時，一定要嚴(yán)格，必須寫成“ab”的形式.【思考】(2)向量的數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果仍是向量嗎？提示：向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果不是向量，是一個實(shí)數(shù).(2)向量的數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果仍是向量嗎

3、？3.投影向量的概念如圖所示： =a， =b，過B作BB1垂直于直線OA，垂足為B1，則 叫做b在向量a上的投影向量，得| |=|b|cos |.3.投影向量的概念平面向量的運(yùn)算平面向量及其應(yīng)用課件(第4課時向量的數(shù)量積)x4.向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a與b都是非零向量，為a與b的夾角.(1)垂直的條件：abab=0.(2)當(dāng)a與b同向時，ab=|a|b|；當(dāng)a與b反向時，ab=-|a|b|.4.向量的數(shù)量積的性質(zhì)(3)模長公式：aa=|a|2或|a|= (4)夾角公式：cos =_.(5)|ab|a|b|.(3)模長公式：aa=|a|2或|a|= 【思考】(1)對于任意向量a與b，“abab=0

4、”總成立嗎？提示：當(dāng)向量a與b中存在零向量時，總有ab=0，但是向量a與b不垂直.【思考】(2)當(dāng)“cos = ”為負(fù)值時，說明向量a與b的夾角為鈍角，對嗎？提示：不對，cos = =-1時，向量a與b的夾角為180.(2)當(dāng)“cos = ”為負(fù)值時，說明向量a與b的5.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)ab=ba(交換律).(2)(a)b=(ab)=a(b)(結(jié)合律).(3)(a+b)c=ac+bc(分配律).5.向量數(shù)量積的運(yùn)算律【思考】“若ab=ac，則b=c”成立嗎？提示：不成立.【思考】【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“”，錯的打“”)(1)兩個向量的數(shù)量積是向量.()(2)對于向量a，b，若

5、ab=0，則a=0或b=0.()(3)(ab)2=a22ab+b2.()【素養(yǎng)小測】提示：(1).兩個向量的數(shù)量積沒有方向，是實(shí)數(shù)，不是向量.(2).ab=0，還可能有ab.(3).提示：(1).兩個向量的數(shù)量積沒有方向，是實(shí)數(shù)，不是向量.2.在ABC中，BC=5，AC=8，C=60，則 =()A.20B.-20C.20 D.-20 2.在ABC中，BC=5，AC=8，C=60，則 【解析】選B. =| | |cos 120=58 =-20.【解析】選B. =| | |cos 13.若|a|=2，|b|=3，a，b的夾角為120，則a(4b)的值為()A.12B.-12C.12 D.-12 3

6、.若|a|=2，|b|=3，a，b的夾角為120，則a【解析】選B.由題意，得a(4b)=4(ab)=4|a|b|cos =423cos 120=-12.【解析】選B.由題意，得a(4b)=4(ab)=類型一向量數(shù)量積的計算及其幾何意義【典例】1.(2018全國卷)已知向量a，b滿足|a|=1，ab=-1，則a(2a-b)=() A.4B.3C.2D.0類型一向量數(shù)量積的計算及其幾何意義2.如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，BAD=60，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則 =()2.如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，BAD=60，平面向量的運(yùn)算平面向量及其應(yīng)用課件(第4課時向量的數(shù)量積)

7、x3.已知|a|=3，|b|=5，且ab=-12，則a在b方向上的投影為_，b在a方向上的投影為_.3.已知|a|=3，|b|=5，且ab=-12，則a在b方【思維引】1.利用向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律計算.2.先分別用基向量 表示 再利用向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律計算.3.向量a在向量b方向上的投影為|a|cos = 向量b在向量a方向上的投影為|b|cos =【思維引】【解析】1.選B.因?yàn)閨a|=1，ab=-1，所以a(2a-b)=2a2-ab=21-(-1)=3.【解析】2.選D.在菱形ABCD中，邊長為2，BAD=60，所以 =22cos 60=2，又因?yàn)?所以 2.選D.在菱形ABCD

8、中，邊長為2，BAD=60，所以3.設(shè)a與b的夾角為，則有ab=|a|b|cos =-12，所以向量a在向量b方向上的投影為|a|cos = = 向量b在向量a方向上的投影為|b|cos = = =-4.3.設(shè)a與b的夾角為，則有答案：- -4答案：- -4【內(nèi)化悟】如何解決幾何圖形中向量數(shù)量積的計算？提示：一般選擇已知長度與夾角的向量作基底，用基底表示要求數(shù)量積的向量，再計算.【內(nèi)化悟】【類題通】求平面向量數(shù)量積的方法(1)若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式ab=|a|b|cos .求解時要注意靈活使用數(shù)量積的運(yùn)算律.【類題通】(2)若所求向量的模與夾角未知，應(yīng)先選取已知模與夾角的兩個向

9、量，表示出所求向量，再代入運(yùn)算.(2)若所求向量的模與夾角未知，應(yīng)先選取已知模與夾角的兩個向【習(xí)練破】1.已知等腰ABC的底邊BC長為4，則 =_.【習(xí)練破】【解析】如圖，過A作ADBC，垂足為D.【解析】如圖，過A作ADBC，垂足為D.因?yàn)锳B=AC，所以BD= BC=2，于是| |cos ABC=| |= | |= 4=2.所以 =| | |cosABC=24=8.答案：8因?yàn)锳B=AC，所以BD= BC=2，2.已知|a|=10，|b|=4，a與b的夾角=120.求：(1)ab.(2)a在b方向上的射影.(3)(a-2b)(a+b).(4)(a-b)2.2.已知|a|=10，|b|=4，

10、a與b的夾角=120.【解析】(1)ab=|a|b|cos 120=104 =-20.(2)a在b方向上的射影為|a|cos 120=10 =-5.(3)(a-2b)(a+b)=a2+ab-2ab-2b2=a2-ab-2b2=|a|2-|a|b|cos 120-2|b|2=100-104 -242=88.【解析】(1)ab=|a|b|cos 120=104(4)(a-b)2=a2-2ab+b2=|a|2-2|a|b|cos 120+|b|2=100-2104 +42=100+40+16=156.(4)(a-b)2=a2-2ab+b2=|a|2-2|a|【加練固】(2019煙臺高一檢測)在ABC

11、中，已知| |=| |，AB=1，AC=3，M，N分別為BC的三等分點(diǎn)，則 =()【加練固】【解析】選B.因?yàn)閨 |=| |，所以BAC=90.又因?yàn)镸，N分別為BC的三等分點(diǎn)，【解析】選B.因?yàn)閨 |=| |，所平面向量的運(yùn)算平面向量及其應(yīng)用課件(第4課時向量的數(shù)量積)x類型二與向量模有關(guān)的問題【典例】1.(2017全國卷)已知向量a，b的夾角為60，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=_ .類型二與向量模有關(guān)的問題2.(2019沂南一中高一檢測)已知向量a，b滿足|b|=5，|2a+b|=5 |a-b|=5 則|a|=_.2.(2019沂南一中高一檢測)已知向量a，b滿足|b|=【思維

12、引】利用模長公式：aa=|a|2或|a|= = 解決.【思維引】利用模長公式：aa=|a|2或|a|= 【解析】1. =(a+2b)2=|a|2+2|a|2b|cos 60+ =22+222 +22=4+4+4=12，所以 答案：2 【解析】1. =(a+2b)22.由已知有 將b2=|b|2=25代入方程組，解得|a|= 答案： 2.由已知有 【內(nèi)化悟】根據(jù)模長公式，求向量的模的問題應(yīng)首先做怎樣的轉(zhuǎn)化？提示：求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方.【內(nèi)化悟】【類題通】關(guān)于向量模的計算(1)利用數(shù)量積求模問題，是數(shù)量積的重要應(yīng)用，解決此類問題的方法是對向量進(jìn)行平方，將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算.【類題通】(

13、2)拓展公式：(ab)2=|a|22ab+|b|2，(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.(2)拓展公式：【習(xí)練破】已知a，b滿足|a|=4，|b|=3，夾角為60，則|a+b|=() A.37B.13C. D. 【習(xí)練破】【解析】選C.|a+b| 【解析】選C.|a+b| 【加練固】已知向量a，b滿足|a|=|b|=5，且a與b的夾角為60，求|a+b|，|a-b|，|2a+b|.【加練固】【解析】因?yàn)閨a+b|2=(a+b)2=(a+b)(a+b)=|a|2+|b|2+2ab=25+25+2|a|b|cos 60=50+255 =75.所以|a+b|=5 |a-b|2=(a-b)2=(

14、a-b)(a-b)=|a|2+|b|2-2ab=|a|2+|b|2-2|a|b|cos 60=25，【解析】因?yàn)閨a+b|2=(a+b)2=(a+b)(a+b所以|a-b|=5.|2a+b|2=(2a+b)(2a+b)=4|a|2+|b|2+4ab=4|a|2+|b|2+4|a|b|cos 60=175.所以|2a+b|=5 所以|a-b|=5.類型三向量的夾角與垂直問題角度1求向量的夾角【典例】(2019四平高一檢測)已知a，b均為非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，則向量a與a+b的夾角為_.類型三向量的夾角與垂直問題【思維引】利用夾角公式：cos = 計算.【思維引】利用夾角公式：c

15、os = 計算.【解析】設(shè)a與a+b的夾角為，因?yàn)閨a|=|b|=|a-b|，所以a2=b2=(a-b)2=a2+b2-2ab，故ab= |a|2，所以|a+b|= |a|，【解析】設(shè)a與a+b的夾角為，cos = 所以a與a+b的夾角為30.答案：30cos = 【素養(yǎng)探】解決向量的夾角與垂直問題時，常常需要結(jié)合圖形分析問題，突出體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).若將本例條件改為“|a|=3|b|=|a+2b|”，試求a與b夾角的余弦值.【素養(yǎng)探】【解析】設(shè)a與b夾角為，因?yàn)閨a|=3|b|，所以|a|2=9|b|2.又因?yàn)閨a|=|a+2b|，所以|a|2=|a|2+4|b|2+4ab=

16、|a|2+4|b|2+4|a|b|cos =13|b|2+12|b|2cos ，【解析】設(shè)a與b夾角為，因?yàn)閨a|=3|b|，即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos ，故有cos =- 即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos ，角度2向量垂直的應(yīng)用【典例】已知非零向量m，n滿足4|m|=3|n|，m，n的夾角為，cos = .若n(tm+n)，則實(shí)數(shù)t的值為 ()A.4B.-4C. D.- 角度2向量垂直的應(yīng)用【思維引】利用向量垂直的充要條件求參數(shù).【思維引】利用向量垂直的充要條件求參數(shù).【解析】選B.由4|m|=3|n|，可設(shè)|m|=3k，|n|=4k(k0)，又因?yàn)閚(tm

17、+n)，所以n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos +|n|2=t3k4k +(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4.【解析】選B.由4|m|=3|n|，【類題通】1.求向量夾角的基本步驟【類題通】2.向量垂直問題的處理思路解決與垂直相關(guān)題目的依據(jù)是abab=0，利用數(shù)量積的運(yùn)算代入，結(jié)合與向量的模、夾角相關(guān)的知識解題.2.向量垂直問題的處理思路【習(xí)練破】1.在四邊形ABCD中， 且 =0，則四邊形ABCD是()A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形【習(xí)練破】【解析】選B.因?yàn)?即一組對邊平行且相等， =0，即對角線互相垂直，所以四邊形ABCD為菱形.【解析】選B.因?yàn)?

18、即一組對邊平行且相等，2.(2019全國卷)已知非零向量a，b滿足|a|=2|b|，且(a-b)b，則a與b的夾角為()2.(2019全國卷)已知非零向量a，b滿足|a|=【解析】選B.設(shè)夾角為，因?yàn)?a-b)b，所以(a-b)b=ab-b2=0，所以ab=b2，所以cos = = 又0，所以a與b的夾角為 ，故選B.【解析】選B.設(shè)夾角為，因?yàn)?a-b)b，所以(a-【加練固】已知非零向量a，b滿足a+3b與7a-5b互相垂直，a-4b與7a-2b互相垂直，求a與b的夾角.【加練固】【解析】設(shè)a與b的夾角為，由已知條件得 即 -得23b2-46ab=0，【解析】設(shè)a與b的夾角為，所以2ab=b2，代入得a2=b2，所以|a|=|b|，所以cos = 因?yàn)?，所以= .所以2ab=b2，代入得a2=b2，類型四利用向量的模長公式求力的大小【物理情境】一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀