立體幾何復(fù)習(xí)專題線線角

1、立體幾何復(fù)習(xí)專題-空間角之線線角一、基礎(chǔ)知識(shí)定義：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間一交o,分別a7/a,b7/b，相交直線ab所成的銳角（或直角）叫做。范圍：0e0,乂2方法：平移法、（）平移法：在圖中選一個(gè)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)（通常是線段端點(diǎn)或中點(diǎn)）作、的平行線，構(gòu)造一個(gè)三角形，并解三角形求角。步驟根據(jù)定義，通過平移，找到異面直線所成的角e；解含有e的三角形，求出角e的大小常用到余弦定理余弦定理：TOC o 1-5 h za2+b2c2acos0-計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角C2abQb2）補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成正方體、平行六面體、長方體等幾何體,以便發(fā)現(xiàn)異面直線間的關(guān)系（3）三線角公式用于求線面角和線線角.斜線

2、和平面內(nèi)的直線與斜線的射影所成角的余弦之積等于斜線和平面內(nèi)的直線所成角的余弦即：cos0cos0cos012若OA為平面的一條斜線，O為斜足，OB為OA在面a內(nèi)的射影，OC為面a內(nèi)的一條直線,其中e為oa與oc所成的角，e為oa與ob所成的角，即線面角，e為ob與oc所成的角,那么coseee（同學(xué)們可自己證明），它揭示了斜線和平面所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角（常稱為最小角定理叭a典型例題】AA1線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角（常稱為最小角定理叭a典型例題】AA1OBCDAB1C1例1：在正方體ABCD-AiBCDi中,下列幾種說法正確的是A、AC丄A

3、Db、DC丄ABc、AC與DC成45。角D、AC與BC成60。角11111111答案：D。解析：A1C1與AD成45，D1C1與AB平行，AC1與DC所成角的正切為例2:（1）如圖，在正方體ABCDABCD中，E,FG,H分別為AA，AB，BB，BC的11111111中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成的角等于（）（2）如圖，正四棱柱ABCDABCD中,AA2AB,則異面直線AB與AD所成角的余1111111弦值為_如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZBCA=90。，點(diǎn)DF1分別是AQ和AQ的中點(diǎn)，若BC=CA=CC1，求BD1與AF1所成的角的余弦值。ABABABABDA耳直線所成的I角求法

4、：平移法小結(jié)：異例:3、在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知和AI11111zC所成的角的余弦值。:過B點(diǎn)作IAC的平行線(補(bǔ)形點(diǎn)作占D4DA耳直線所成的I角求法：平移法小結(jié)：異例:3、在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知和AI11111zC所成的角的余弦值。:過B點(diǎn)作IAC的平行線(補(bǔ)形點(diǎn)作占D4行線B1/ADi1BxBA=a，BC=b(a1c1HCCi:AA=c，求異面直線D,B1方法一：7AC平移法)B1O_例3、已知四棱錐p-aBCd的底面為直儡形，Ab/dc,1ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中點(diǎn)2證明：面PAD丄面PCD；求AC與PB所成的角；證明：

5、以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為CdAb=90。,PA丄底面1A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,-)(4)在正四面體A-BCD中，異面直線AB與CD所成角的大小是.ABABABABcoscosAC,PB=ACPB(I)證明：因AP=(0,0,1),DC=(0,1,0),故APDC=0,所以AP，DC.由題設(shè)知AD丄DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線,由此得DC丄面PAD又DC在面PCD上，故面PAD丄面PCD(II)解：因AC=(1,1,0),PB=(0,2,-1),訂；、故IA

6、C1=2,1PB1=5,ACPB=2,所以ABABABABABABABAB求直線AC求直線AC與PB所成角的余弦值;例4、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA丄底面ABCD，AB=、污，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn)解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A,B,C,D,P,E的坐標(biāo)為A(0,0,0)、BQ3,0,0)、CG.3,1,0)、D(0,1,0)、1P(0,0,2)、E(0,2,1)，ABAB定點(diǎn)P,作直線L，使L與a,b所成的角均為從而AC=(3,1,0),PB=(3,0,-2).設(shè)定點(diǎn)P,作直線L，使L與a,b所成的角均為TOC o 1-5 h znA

7、C-PB337cos，=,IACI-1PBI27143J7.AC與PB所成角的余弦值為-14訓(xùn)練題1.異面直線a,b所成的角為60，過空間60，這樣的直線L有條。答案：三條。解析：如換成50，70呢。2.已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，D是底面三角形內(nèi)一點(diǎn)，且ZDPA=45。，ZDPB=600，則ZDPC=。答案：60。解析：以PD為對(duì)角線構(gòu)造長方體正方體的12條棱和12條面對(duì)角線中，互相異面的兩條線成的角大小構(gòu)成的集合是0。,45。,60。4正方體AC1中,0是底面ABCD的中心，則旳和BD1所成角的大小為。5.已知l為異面直線a與b的公垂線，點(diǎn)pea，若a、b間距離

8、為2,點(diǎn)P到l的距離為2,OC1OCD的重心，M是ACP到b的距離為5，則異面直線aOC1OCD的重心，M是AC6如圖正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=2AA1，M、N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，則AM與CN所成角為。7.如圖PD丄平面ABCD，四邊形ABCD為矩形,AB=2AD=2DP，E為CD中點(diǎn)。AP與BE所成的角為DF2.若Fe直線PD，且AF與BE所成角為，1.，=30行嗎？DF2.DP8.空間四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD與各邊長均為1，O為C的中點(diǎn)，E是AO的中點(diǎn)，求異面直線OM與BE所成的角C9.空間四邊形ABCD中AB=BC=CD，BCD=ABC=120，AB丄CD

9、，M、N分別是中點(diǎn)M1FA1B1N(1)AC和BD所成的角為。(2)MN與BC所成的角為。M1FA1B1N10.已知正方體AC1中，E、F分別是A1D1，A1C1的中點(diǎn)，則AE與CF所成的角為M、N分別是AA1，BB1的中點(diǎn)，則CM和DN所成的角是。11、如圖，三棱錐PABC中，PC丄平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點(diǎn)，且CD丄平面PAB.求證：AB丄平面PCB；(II)求異面直線AP與BC所成角的大小;解法一：(I)VPC丄平面ABC,AB,平面ABC,.PC丄AB.VCD丄平面PAB,AB，平面PAB,.CD丄AB.又PCCD二C,DEB.AB丄平面PCBDEB(II)過點(diǎn)A作AF/BC,且AF=BC，連結(jié)PF,CF.則PAF為異面直線PA與BC所成的角.由(I)可得AB丄BC,.CF丄AF.由三垂線定理，得PF丄AF.ABAB則AF=CF=2,PF=PC2+CF2=6,PF6在RtAPFA中,tanZPAF=AF=2=3兀異面直線PA與BC所成的角為丁.解法二：(II)由(I)AB丄平面PCB,