線性代數(shù)與空間解析幾何(電子科技大)課后習(xí)題答案第三單元

1、1.寫出下列平面的方程:(1)過點(diǎn)M(1,1,1)且平行于平面,:-2x+y-z+10;(2)過點(diǎn)M1(1,2,0)和M(2,1,1)且2垂直于平面,:yx10(3)過z軸且與平面2x+y-運(yùn)z0的夾角為,3解:(1)所求平面與,平行,故其法向量n一2,1,-!_點(diǎn)法式方程,所求平面方程:2(x1)+(y1)(z1)0,即:2x-y+z20(2)法一:設(shè)所求平面的法向量為n,則由已知條件n垂直于平面,的法向量n1,1,00ijki+j與MM121,1,1,.n1101-11由點(diǎn)法式方程,所求平面方程為(x1)+(y2)0,即x+y30法二:設(shè)所求平面方程為AX+By+CX+D=0將M,M的坐標(biāo)

2、代入，且由向量A,B,C與平面12A+2B+D0,的法向量n1,1,0垂直得方程組J2A+B+C+D00A+B01解得AB一D,C0,所求平面方程為311DxDy+D0,即x+y30.33(3)因平面過z軸,故可設(shè)其方程為Ax+By0,因其與已知平面的夾角為一,3TOC o 1-5 h z,其法向量nA,B,0與已知平面的法向量n2,1,95的夾角為-03,nn2A+B1.COS一0T_/一,3IInIIIInIIJ10.寸A2+b22016A2+16AB6B20,即A一B或3B3平面x+3y0或3x-y0為所求.2.下列圖形有何特點(diǎn)?畫出其圖形.(1)2z30;(2)y0;(3)3x+4yz

3、0.解:(1)平面平行于xOy面，圖形如下圖.(2)與xOz面重合，圖形如下圖.(3)平面過原點(diǎn),其圖形如下圖.3由原點(diǎn)向平面作垂線，垂足為(x,y,z),求此平面的方程000解：連結(jié)(x,y,z)點(diǎn)與原點(diǎn)的向量x,y,z,可作為平面的法向量,000000由平面的點(diǎn)法式方程得：x(xx)+y(yy)+z(zz)，0,即000000 xx+yy+zz，x2+y2+z2為所求平面方程0000004.平面過點(diǎn)A(2,3,0),B(1,1,2)且與向量a，(4,5,1)平行，求此平面的方程解法一：平面的法向量；與AB，3,4,2與a垂直，ijkn，aAB，451，14i5j31k，由點(diǎn)法式方程得342

4、14(x+2)5(y3)31z，0即14x5y31z+43，0.解法二：設(shè)平面的一般式方程為Ax+By+Cz+D，0,將A,B坐標(biāo)代入,-2A+3B+D，0并由其法向量A,B,C與a垂直可得方程組JAB+2C+D，0,4A+5B+C，014A，D43解得B，D4331C，D43由此得平面方程：14x5y31z+43，0.5求以平面-+-+-，1與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積.abc解法一：設(shè)原點(diǎn)為O,平面與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為A,B,C,則四面體OABC的體積V，丄丨abcI,平面ABC上的高為O到平面的距離d，1,6Jill+a2b2c2.AABC的面積3V1S，b2c2+a2c2+a2b

5、2.d2解法二：設(shè)所求平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),則AB，a,b,0,AC，a,0,c,則AABC的面積1一一S，1一一S，IIABACII，2b0，IIbci+acj+abkII，b6.平面冗過點(diǎn)M(2,0,8)且與二平面x2y+4z7，0,3x+5y2z+3，0都垂直,求冗的方程.解法一：所求平面的法向量n與兩已知平面的法向量n,n都垂直,12.n，n.n，nn12ij1235k4，16i+14j+Ilk,2由點(diǎn)法式方程得所求平面方程為16(x-2)-14y-11(z+8)，0,即16x-14y-11z-120，0.解法二：設(shè)所求平面的一般

6、式方程為Ax+By+Cz+D，0,將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入,由其法向量與兩已知平面的法向量n,n垂直可得方程組122A2A8C+D，0A2B+4C，03A+5B2C，016A，D120解得B，D12011C，D120.所求平面方程為16x14y11z120，07求由平面冗：x-3y,2z-5=0與冗：3x-2y-z，3=0所成二面角的12平分面方程解法一：設(shè)平面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z),則由平面上任一點(diǎn)到兩已知平面的距離相等得：x-3y,2z-5113x一2y一z，311414從而得所求平面方程為：2x,y-3z，8=0,或4x-5y,z-2=0.解法二：過平面,的交線的平面束方程為12(3,)

7、x-(2,3)y,(2-1)z，3-5=0.由于它為冗，冗的平分面,因此其法向量n與冗，冗的法向量有相等的夾角.1212得1(3+)+3(2+3)+2(2-1)113(3+)+2(2+3)(2-1)114-iinii14-iinii解得=1或-1,因此，所求平面方程為4x-5y,z-2=0或2x,y-3z，8=0.習(xí)題3.41.對(duì)于直線y(1)證明:l/l;12(2)求l與1l的距離;2(3)求l與1l所確定的2平面方程.解:(1)l的方向向量r=1,2,1,l的方向向量=z112習(xí)題3.41.對(duì)于直線y(1)證明:l/l;12(2)求l與1l的距離;2(3)求l與1l所確定的2平面方程.解:

8、(1)l的方向向量r=1,2,1,l的方向向量=z112kij1=2,4,2,s22s,1法二(3)法(2)法:在2s/s,得12:在l上找2/l.2作垂直于l的平面2(x一1),2(y,3),z=0,即x,2y,z，5=0,參數(shù)方程代入2,4+5=0,2_,從3距離找一cosG=|而得平面與l的172B(一,-，-)333IAB1=-3D3C(1,1,0),l上2s-AC1,II-IIACII交點(diǎn)求.找一一4A(1,-3,0),設(shè)AC與l的夾角為9,則1C(1,1,0),l上找一點(diǎn)A(l,-3,0),則平面的法向量:在AC=2,0,2,22(x-1)-2z=0,即x-z-1=0為所求.C(1

9、,1,0),D(0,3,1),l上找一點(diǎn)A(1,3,0)2設(shè)平面的一般式方程為AxByCzD=0,將A,C,D的坐標(biāo)代入得方程組A-3BD=0fA=，DABD=0解得B=0-3B-CD=0c=D從而得平面方程x-z-1=0.2.證明:二直線f2x一y3z3=0f2x一y=0:與l:x10y一21=027xz一6=012相交,并求出l與l的交點(diǎn)，夾角以及l(fā)與l所確定的平面.1212解法一：l的方向向量s11=30,3,21,取s解法一：l的方向向量s11110在l上找一點(diǎn)A(21,0,在l上找一點(diǎn)A(21,0,15),l的方向向量s=1,2,7,21上找一點(diǎn)B(0,0,6)2從而得l與l的參數(shù)式

10、方程12fx=2110X:y=X,l2z=，157X:y=2Xz=67Xf2110X=X,令12IX=2X12=2,X=1,分別代入l,l的參數(shù)方程得(1,2,-1)為l,l的交點(diǎn)212121919cos=cos=arccos,1212301230平面的法向量n=r丁=，21,63,2112取n=1,3,1,得平面方程(x-21)3y(z15)=0,即x3yz-6=0.s,s,AB12=0,知l與l共面,s,s,AB12=0,知l與l共面,而S/丁l與l12121212相交,將l的參數(shù)式方程代入l的第一個(gè)方程解得X=1,從而得交點(diǎn)21坐標(biāo)(1,2,-1),其余同解法一.3333333求與平3求

11、與平面2x-3y-6z+14=0平行,且與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為5的平面方程.解法一：由已知條件可設(shè)平面的一般式方程為2x-3y-6zD=0,原點(diǎn)到平面的距離d=d=丄DL=5,得D=49，35,333333/.平面方程為2x一3y一6z，35=0解法二：設(shè)原點(diǎn)到平面垂線的垂足為A(x,y,z)，由OA與已知平面法向量平行可設(shè)OA=2k,3k,6k,由IIOA11=7Ik1=5,得k=，5,7A的坐標(biāo)為10A的坐標(biāo)為107157333333由點(diǎn)法式方程得平面方程1015300,即卩2x-3y-6z，350.2(x,)-3(y，0,即卩2x-3y-6z，350.777x一y一4z12=04求點(diǎn)M(3,

12、1,-4)關(guān)于直線l:的對(duì)稱點(diǎn)k-4=6,6,3一2xk-4=6,6,3一2TOC o 1-5 h zj解法一：設(shè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x,y,z),l的方向向量s=1-11取S=2,2,1,過M作垂直于l的平面為：2(x-3)-2(y-1)(z4)=0,即2x-2yz=0.在l上找一點(diǎn)B(-5,7,0),得l的參數(shù)式方程x=2九-58代入平面，得九=一，y=2九73158x31y15z48從而l與冗的父點(diǎn)(一，,)%MA的中點(diǎn)，即=一，=,=,3323232358從而l與冗的交點(diǎn)(一，,)%MA的中點(diǎn)，即x31y15z一48=,=,=,從而323237728得對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)(-,).33X3y1z-

13、4*解法二：設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為A(x,y,z),由MA的中點(diǎn)(，)在1上及MA222x-y-4z，-42與l的方向向量S，2,-2,1垂直可得方程組2Xy-2z，-21,x一2yz，07x，一377728解得y，,得對(duì)稱點(diǎn)為(-,一，一).333328z，35求點(diǎn)P(3,1,2)在直線l:x，3t,y，t-1,z，t1上的投影P,并求點(diǎn)P到l的距離d.1211解法一：過點(diǎn)P作垂直于l的平面，其方程為3(x-3)(y-1)(z-2)，0,1211xyz-12，0,將l的參數(shù)式方程代入得9tt-1t1-12，0,解得t，V11011V11011得投影點(diǎn)P的坐標(biāo)(,)及P到l的距離d，lPP1I，11111

14、1解法二：設(shè)l上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為A(3t,t-1,t1),則P,A的距離時(shí)，此距離取得最小值11PAI，J(3t-3)2(t-2)2(t-1)2，J11t2-24t14,當(dāng)t時(shí)，此距離取得最小值11即為P到即為P到l的距離d，11011，從而得投影點(diǎn)坐標(biāo)(一,)1111113333336.求直線l：x2y3z5，0的標(biāo)準(zhǔn)方程和在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影.2xyz+2，0ijk解:l的方向向量為s，123，1,7,5,取S，1,7,5211取l上一點(diǎn)A（0,l,-1）,得直線標(biāo)準(zhǔn)方程一，175法一：在l的一般式方程中消去z得7x-y1，0,7x-y1，0從而得在xOy面上的投影z，0在l的一般式方程中消

15、去y得5x-z-1，0,5x-z-1，0從而得在xOz面上的投影y，0在l的一般式方程中消去x得5y-7z-12，0,5y-7z-12，0從而得在yOz面上的投影x，0法二：過l的平面束為（2九+1）x（-九2）y（九-3）z（2九-5），0,其中與xOy面垂直的平面兀的法向量與k，0,0,1垂直,得九，3,從而得兀的方程7x-y1，0,從而得l在11xOy面上的投影同樣方法可得其在xOz面上的投影5x-z二,在yOz面上的投影y，05y-7z-12，0 x，031313333337.證明:直線xx1y,2z5x71；=與1；12-3423y2z1-=-位于同一平面內(nèi),2并求這平面及兩直線間的

16、夾角.x=1,2并求這平面及兩直線間的夾角.x=1,2x=7,3解法一：1,1的參數(shù)式方程為y=23廠y=2,2,12z=5,4z=121,2=7,3=0解方程組11得1I23=2,2I=2122將代入1的參數(shù)式方程得1與1的交點(diǎn)(1,2,5),1112ij:.1與1共面，平面的法向量n=23122k4=2,16,13,2由點(diǎn)法式方程得平面方程2x-16y-13z，31=0,兩直線間的夾角為其方向向量的夾角cos1,112cos=cos(s,s)=-128=arccos=arccos812493解法二：在1,1上分別取兩點(diǎn)A(1,2,5),B(7,2,1),s,s,AB=0,1212:.1與1

17、共面,設(shè)平面一般式方程為Ax,By,Cz，D=0,將A,B坐標(biāo)代入,12且由其法向量與1的方向向量垂直得方程組A-2B,5C,D=A-2B,5C,D=07A,2B,C,D=0,解得2A3B,4C=02=D3116=D,3113D得平面方程得平面方程2x-16y-13z，31=0,其余與法一同.3333338.對(duì)于直線x+7y+4z8.對(duì)于直線x+7y+4z+3x一21y+5z一2l:=與l:=13422641(1)證明:它們不在同一平面上;(2)寫出過l且平行于l的平面方程21解：法一：l,l的參數(shù)式方程為12x=，7+3x=21+6y=，4+4,y=54,z=，3一2z=2，7+3=21+6

18、解(12，4+4=，54121得28928,將,代入l,l的參數(shù)式方程知l,l無公共交點(diǎn)12121229而l/ll與l不在同一平面上.1212法二：l,l上分別取一點(diǎn)A(，7,，4,，3),B(21,，5,2)1234，2則s,s,AB=6，4，1=，507O,.l與l不共面L121228，15(2)法一：取l上點(diǎn)B(21,-5,2),平面的法向量2ijkn=sxs=1234，2=12,，9,36,取n=4,3,126，4，1由點(diǎn)法式方程得平面方程4x+3y+12z-93=0在l上取兩點(diǎn)B(21,5,2),C(27,9,1).2設(shè)平面的一般式方程為Ax+By+Cz+D=0,將B,C的坐標(biāo)代入,

19、且其法向量與S垂直可得121A-5B+2C+D=027A9B+C+D=0,A+4B2C=04A=一D93解得B=，D,代入得平面方程.4x+3y+12z-93=0314C=D31復(fù)習(xí)題三1.設(shè)a,b均為非零向量,且libII，1,a,b，,求4IIa+xbII-IIaIIlimTOC o 1-5 h zxT0 xEJ2解：a-b，IIaII-cos，IIaII,2(a+xb)2一a22a-bx+x2IIbII22IIaII2原式，lim，lim，xtox(IIa+xbII+IIaII)xt0 x(IIa+xbII+IIaII)211aII2設(shè)向量r與a，i-2j-2k共線占j成銳角，且IIrI

20、I，15,求r.解：由于；與：共線，設(shè)；，k,-2k,-2k,II11，3IkI，15.得k，5,由；與j成銳角,取k，-5,得；，-5,10,10,設(shè)向量p和向量q，3i+6j+8k與x軸都垂直，且IIpII，2,求向量p.解：由于p與q和x軸都垂直,p平行于qxi，-6k+8jTOC o 1-5 h z一一1一86設(shè)p，0,8k,-6k,IIpII，10IkI，2,得k，,從而p，0,55設(shè)向量,兩兩垂直，且符合右手系規(guī)則:IIII，4,IIII，2,11II，3.123123計(jì)算(x).123解：由于,兩兩垂直，且符合右手系規(guī)則，.x,，0123123(x)，IIxIIIIII，IIII

21、IIIIdIIIsin，24.12312312325平面冗過M(1,1,1)和M(0,1,-1)且與平面x+y+z，0垂直,求冗的方程.12解法一：由已知條件，平面的法向量；與，-1,0,-2和產(chǎn)，1,1,1均垂直.121k-2，2i-j-k，由點(diǎn)法式方程得平面方程2x-y-z，0.1解法二：設(shè)冗的一般式方程為Ax+By+Cz+D，0,將M,M的坐標(biāo)代入12A+B+C+D，0由冗的法向量與已知平面的法向量垂直得方程組B-C+D，0,A+B+C，022443333333A，2B解得C，BD，0從而得冗的方程：2x-y-z，0.6.平面6.平面過:2x3y1:x+y+z，0的交線且與平面冗22443333333垂直,求的方程.解法一：過冗,的平面束方程為(2九+1)x+(13九)y+(1九)z+九，012且由其法向量與的法向量垂直得2九+1+1-3九+1-九，0,解得九，一22從而得的方程8x-7y-z+3，0.22443333333解法二:化,的交線為標(biāo)準(zhǔn)方程12z-2522443333333jjk35，8,7,1,11其方向向量s，2,3,5,冗的法向量n，sxn，1由點(diǎn)法式方程得冗的方程8x7yz+3，0.解法三：設(shè)冗的一般式方程為：Ax+By+C