抽象函數(shù)問題的處理策略

1、抽象函數(shù)問題的處理策略霍邱一中 余其權(quán)抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式，只是給出一些特殊條件的函數(shù)，它是中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點.因為抽象，學(xué)生難以理解，接受困難；因為抽象，教師對教材難以處理，何時講授，如何講授，講授哪些內(nèi)容，采用什么方式等等，深感茫然無序.其實，大量的抽象函數(shù)都是以中學(xué)階段所學(xué)的基本函數(shù)為背景抽象而得，解題時，若能從研究抽象函數(shù)的“背景”入手，根據(jù)題設(shè)中抽象函數(shù)的性質(zhì)，通過類比、猜想出它可能為某種基本函數(shù)，?？梢挼媒忸}思路，本文就上述問題作一些探討.1、線性函函數(shù)型抽抽象函數(shù)數(shù)f（x）kx（k0）-ff（xy）f（x）f（y）例1、已知知函數(shù)對對任意實實數(shù)x，y，均有

2、有，且當(dāng)當(dāng)時，求在區(qū)區(qū)間2，11上的的值域。解：設(shè)，則則，當(dāng)時，即，為增函函數(shù)在條件中，令令yx，則，再再令xy0，則則，故，為為奇函數(shù)數(shù)，又，的值域為為44，2。例2、已知知函數(shù)ff（x）對任任意實數(shù)數(shù)x、y均有f（xy）22f（x）f（y），且且當(dāng)x0時，f(x)22，f(3) 55，求不不等式的的解.分析：先證證明函數(shù)數(shù)f（x）在RR上是增增函數(shù)（仿仿例1）；再求出出f（1）3；最最后脫去去函數(shù)符符號.2、二次函函數(shù)型抽抽象函數(shù)數(shù)二次函數(shù)型型抽象函函數(shù)即由由二次函函數(shù)抽象象而得到到的函數(shù)數(shù)若抽象函數(shù)數(shù)滿足，總總有，則則可用二二次函數(shù)數(shù)為模型型引出解解題思路路；例3、 已知實實數(shù)集上上的函

3、數(shù)數(shù)恒滿足足,方程程=0有有5個實實根,則則這5個個根之和和=_分析：因為為實數(shù)集集上的函函數(shù)恒滿滿足,方方程=00有5個個實根，可可以將該該函數(shù)看看成是類類似于二二次函數(shù)數(shù)為模型型引出解解題思路路，即函函數(shù)的對對稱軸是是，并且且函數(shù)在在，其余余的四個個實數(shù)根根關(guān)于對對稱，解：因為實實數(shù)集上上的函數(shù)數(shù)恒滿足足,方程程=0有有5個實實根，所所以函數(shù)數(shù)關(guān)于直直線對稱稱，所以以方程的的五個實實數(shù)根也也關(guān)于直直線對稱稱，其中中有一個個實數(shù)根根為2，其其它四個個實數(shù)根根位于直直線兩側(cè)側(cè)，關(guān)于于直線對對稱，則則這5個個根之和和為1003、指數(shù)函函數(shù)型的的抽象函函數(shù)f（x）ax-f（xy）f（x）f（y）；

4、f（xy）例4、設(shè)ff (x)是定定義在RR上的偶偶函數(shù)。其其圖象關(guān)關(guān)于直線線yx對稱，對對任意xx1，x2，都有有f (x1x2)f (x1)f (x2)，且且f (1)a0 ()求及； ()證明明f (x)是周周期函數(shù)數(shù)； ()記，求求 ()解解：可以以考慮指指數(shù)函數(shù)數(shù)的模型型指導(dǎo)解解題的思思路，例例如運用用函數(shù)由知：0，x0，11 ，f (11)aa0，()證明明：依題題設(shè)yf (x)關(guān)于于直線xx1對對稱，故f (xx)f (111x)，即即f (x)f (22x)，xR又由f (x)是偶偶函數(shù)知知f (x)f (x)，xR將上式中x以x代換，得得f (x)f (x2)，xR這表明f

5、(x)是R上的周周期函數(shù)數(shù)，且22是它的的一個周周期()解：由()知f (x)00，x0，11f (xx)的一一個周期期是2，因此例5、設(shè)函函數(shù)f(x)的的定義域域為R，對于于任意實實數(shù)m、n，總有有，且時。（1）證證明：ff(0)=1，且且x11；（2）證明明：f(x)在在R 上單單調(diào)遞減減；（ 3 ）設(shè)設(shè)，若，確確定a 的范圍圍。（1）證明明：令，已知時，設(shè)，即當(dāng)x11（2），則則f(x)在在R 上單單調(diào)遞減減。（3）f(x)在在R上單調(diào)調(diào)遞減（單位圓內(nèi)內(nèi)部分）（一條直線線）例6定義義在R上上的函數(shù)數(shù)滿足：對任意意實數(shù)，總總有，且且當(dāng)時，（1）試求求的值；（2）判斷斷的單調(diào)調(diào)性并證證明你的

6、的結(jié)論；（3）設(shè)，若，試確確定的取取值范圍圍（4）試舉舉出一個個滿足條條件的函函數(shù)解：（1）在在中，令得：因為，所以以，（2）要判判斷的單單調(diào)性，可可任取，且且設(shè)在已知條件件中，若若取，則則已知條條件可化化為：由于，所以以為比較的大大小，只只需考慮慮的正負(fù)負(fù)即可在中，令，則得得時， 當(dāng)時，又，所以，綜綜上，可可知，對對于任意意，均有有函數(shù)在RR上單調(diào)調(diào)遞減（3）首先先利用的的單調(diào)性性，將有有關(guān)函數(shù)數(shù)值的不不等式轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為不不含的式式子，即由，所以，直直線與圓圓面無公公共點所以，解得：（4）如點評：根據(jù)據(jù)題意，將將一般問問題特殊殊化，也也即選取取適當(dāng)?shù)牡奶刂担ㄈ缛绫绢}中中令；以以及等）是是解決有有

7、關(guān)抽象象函數(shù)問問題的非非常重要要的手段段；另外外，如果果能找到到一個適適合題目目條件的的函數(shù)4、對數(shù)函函數(shù)型的的抽象函函數(shù)f（x）loggax（a0且且a1）-f（xy）f（x）f（y）；f（） f（x）f（y）例7、已知知函數(shù)滿滿足定義義域在上上的函數(shù)數(shù)，對于于任意的的，都有有，當(dāng)且且僅當(dāng)時時，成立立，（1）設(shè)，求求證；（2）設(shè)，若若，試比比較與的大小??；（3）解關(guān)關(guān)于的不不等式分析：本題題是以對對數(shù)函數(shù)數(shù)為模型型的抽象象函數(shù)，可可以參考考對數(shù)函函數(shù)的基基本性質(zhì)質(zhì)解題證明：（11），（2），即當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)時，成立立，當(dāng)時，（3）令代代入得，關(guān)于的不不等式為為，由（22）可知知函數(shù)在在定義域域上

8、是減減函數(shù)，由得，當(dāng)時，此時成立；當(dāng)時，此時成立；當(dāng)，此時成立。練習(xí)：1、函數(shù)ff(x)的定義義域為，對對任意正正實數(shù)xx,y都都有f(xy)= ff(x)+f(y) 且f(4)=2 ，則（）2、函數(shù)ff(x)的定義義域為RR上的偶偶函數(shù)，對對都有成立立，若，則則=（ ） （BB） A）220055 B）2 C）1 D）03、定義在在R上的的函數(shù)YY=f(x)有有反函數(shù)數(shù)Y=f-1(xx)，又又Y=f(x)過過點（2，1），Y=f(2x)的反函數(shù)為Y=f-1(2x)，則Y=f-1(16)為（ ）（A）A）B）CC）8 D）116總之，因為為抽象函函數(shù)與函函數(shù)的單單調(diào)性、奇奇偶性等等眾多性性質(zhì)聯(lián)系系緊密，加加上本身身的抽象象性、多多變性，所所以問題題類型眾眾多，解解題方法法復(fù)雜多多變.盡盡管如此此，以特特殊模型型代替抽抽象函數(shù)數(shù)幫助解解題或理理解