常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)

1、關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)第1頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三2為什么要研究無(wú)窮級(jí)數(shù)是進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的有效工具(如計(jì)算函數(shù)值、出它的威力. 在自然科學(xué)和工程技術(shù)中, ?無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)和函數(shù)的一種表現(xiàn)形式.因無(wú)窮級(jí)數(shù)中包含有許多非初等函數(shù),故它在積分運(yùn)算和微分方程求解時(shí),也呈現(xiàn)如諧波分析等.造函數(shù)值表).級(jí)數(shù)來(lái)分析問(wèn)題,也常用無(wú)窮第2頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三3常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)柯西審斂原理 小結(jié) 思考題 第12章 無(wú)窮級(jí)數(shù)constant term infinite series12.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)第3頁(yè)，共36

2、頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三4引例 依次作圓內(nèi)接正邊形, 這個(gè)和逼近于圓的面積 A .即設(shè)a0表示內(nèi)接正三角形面積, ak表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積, 則圓內(nèi)接正一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.邊形面積為第4頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三51. 級(jí)數(shù)的定義(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)一般項(xiàng)如 以上均為(常)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).(1)第5頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三6這樣, 級(jí)數(shù)(1)對(duì)應(yīng)一個(gè)部分和數(shù)列:稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)(1)的2. 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散概念按通常的加法運(yùn)算一項(xiàng)一項(xiàng)的加下去,為級(jí)數(shù)(1)的無(wú)窮級(jí)數(shù)定義式(1)的含義

3、是什么?也算不完,永遠(yuǎn)那么如何計(jì)算?前n項(xiàng)和部分和.(1)從無(wú)限到有限, 再?gòu)挠邢?近似)到無(wú)限(精確)第6頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三7部分和數(shù)列可能存在極限,也可能不存在極限.定義12.1則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)并寫(xiě)成即常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂(發(fā)散).(不存在)存在當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),部分和數(shù)列sn有極限s,如果sn沒(méi)有極限,第7頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三8對(duì)收斂級(jí)數(shù)(1),為級(jí)數(shù)(1)的余項(xiàng)或余和.顯然有當(dāng)n充分大時(shí),級(jí)數(shù)的斂散性它與部分和數(shù)列是否有極限是等價(jià)的.(1)稱(chēng)差誤差為第8頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三9例而所以

4、,的部分和 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散.第9頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三10解(重要)例討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))的收斂性. 級(jí)數(shù)收斂; 因?yàn)?所以第10頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三11級(jí)數(shù)發(fā)散;級(jí)數(shù)發(fā)散;級(jí)數(shù)發(fā)散. 綜上:級(jí)數(shù)變?yōu)?因?yàn)?所以 所以第11頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三12解例 判定級(jí)數(shù)的收斂性.因?yàn)樗缘?2頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三13其余項(xiàng)為即所以所以級(jí)數(shù)收斂,第13頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三14例 因?yàn)楹笫綔p前式, 得證證明級(jí)數(shù)并求其和

5、.收斂,第14頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三15故 所以, 此級(jí)數(shù)收斂,且其和為 2.第15頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三的部分和分別為 則于是也不存在極限.證性質(zhì)12.1設(shè)常數(shù)則有相同的斂散性.所以, 有相同的斂散性.結(jié)論: 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), 斂散性不變.二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)16第16頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三17討論級(jí)數(shù)的斂散性.解例因?yàn)闉楣鹊牡缺燃?jí)數(shù),是以故級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.第17頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三18性質(zhì)12.2設(shè)有兩個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂,

6、發(fā)散,均發(fā)散,斂散性不確定.證極限的性質(zhì)即證.級(jí)數(shù)的部分和結(jié)論: 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.第18頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三19 例都收斂.無(wú)窮遞減等比數(shù)列的和第19頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三20都發(fā)散.但級(jí)數(shù)收斂.例若兩級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.第20頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三21將級(jí)數(shù)的前 k 項(xiàng)去掉,的部分和為級(jí)數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為類(lèi)似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 .極限狀況相同, 故新舊兩所得新級(jí)數(shù)性質(zhì)12.3 添加、去掉或改變有限項(xiàng)不影響證一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性.推論11

7、.2 在級(jí)數(shù)中添加、去掉或改變有限項(xiàng)不影響一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性.第21頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三22性質(zhì)11.4設(shè)級(jí)數(shù)收斂,在此收斂級(jí)數(shù)內(nèi)可以任意加(有限個(gè)或無(wú)限個(gè))括號(hào), 一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)發(fā)散, 注則原級(jí)數(shù)發(fā)散.事實(shí)上,加括后的級(jí)數(shù)就應(yīng)該收斂了.設(shè)原來(lái)的級(jí)數(shù)收斂,則根據(jù)性質(zhì)11.4, 收斂 發(fā)散 一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后收斂,原級(jí)數(shù)斂散性不確定.收斂于原級(jí)數(shù)的和所得新級(jí)數(shù)仍要強(qiáng)調(diào)的是,收斂級(jí)數(shù)一般不能去掉無(wú)窮多個(gè)括號(hào);發(fā)散級(jí)數(shù)一般不能加無(wú)窮多個(gè)括號(hào).(這個(gè)性質(zhì)也稱(chēng)無(wú)窮和的結(jié)合律).第22頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三23性質(zhì)12.4

8、收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列 為原級(jí)數(shù)部分和數(shù)列 的一個(gè)子數(shù)列,因此必有例如證第23頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三24證此定理是級(jí)數(shù)收斂的必要條件.設(shè)則所以定理12.5則注(1) 此定理常用來(lái)判別級(jí)數(shù)發(fā)散;(3) 此定理是必要條件而不是充分條件.(2) 也可用此定理求或驗(yàn)證極限為“0”的極限;即如調(diào)和級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)是卻是發(fā)散的.(后面將給予證明)第24頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三25例判別下列級(jí)數(shù)的斂散性級(jí)數(shù)收斂的必要條件常用判別級(jí)數(shù)發(fā)散.解題思路第25頁(yè)，共36頁(yè)，202

9、2年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三26解由于發(fā)散解由于發(fā)散第26頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三27 解而級(jí)數(shù)所以這個(gè)等比級(jí)數(shù)發(fā)散.由性質(zhì)11.1知,發(fā)散.因調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,為公比的等比級(jí)數(shù),是以收斂.由性質(zhì)11.2知,第27頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三28練習(xí)為收斂級(jí)數(shù),a為非零常數(shù),試判別級(jí)數(shù)的斂散性.解因?yàn)槭諗?故從而故級(jí)數(shù)發(fā)散.級(jí)數(shù)收斂的必要條件:第28頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三29三、柯西審斂原理（柯西準(zhǔn)則） 定理12.6(判別級(jí)數(shù)收斂性的柯西收斂原理)有證 設(shè)所給級(jí)數(shù)部分和數(shù)列為sn由判斷數(shù)列

10、收斂性的柯西準(zhǔn)則知,對(duì)于任意正整數(shù)p,柯西收斂準(zhǔn)則數(shù)列xn收斂的充要條件是:有數(shù)列sn收斂的充要條件是:有顯然,可改寫(xiě)為當(dāng)有有第29頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三30利用柯西收斂原理證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.例證考慮此級(jí)數(shù)的一段顯然,這說(shuō)明:不論n多么大,調(diào)和級(jí)數(shù)的這一段的絕對(duì)值都不可能任意小,由柯西收斂原理得知,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.柯西收斂準(zhǔn)則數(shù)列xn收斂的充要條件是:有第30頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三31利用柯西收斂原理判定級(jí)數(shù)例解的收斂性.因?qū)θ我庹麛?shù)p, 都有第31頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三32有對(duì)于任意正整數(shù)p,按柯西收斂原理,所以取正整數(shù)成立.柯西收斂準(zhǔn)則數(shù)列xn收斂的充要條件是:有第32頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三33則下列結(jié)論正確的是研究生考題(數(shù)學(xué)三) 選擇, 4分練習(xí)(D)對(duì) 因?yàn)榧此杂袠O限,有極限,所以(D)成立.(C) 錯(cuò)因?yàn)樗约?A)錯(cuò) 則則與(D)正確矛盾.同理(B)錯(cuò).第33頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)48分，星期三34常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念基本審斂法:(3) 按基本性質(zhì);則級(jí)數(shù)收斂;由定義,(2)則級(jí)數(shù)發(fā)散;一般項(xiàng)、部分和、收斂、發(fā)散及級(jí)數(shù)的