現(xiàn)代控制理論第3章-課件

1、3-3 能觀測性及其判據(jù)一：能觀測性的概念 定義：設n維線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為 如果在有限的時間間隔內，根據(jù)給定的輸入值u(t)和輸出值y(t)，能夠確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(t0)的每一個分量,則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱能觀測的。若系統(tǒng)中至少由一個狀態(tài)變量不能觀測，則稱此系統(tǒng)是不完全能觀測的，簡稱不能觀測。 該系統(tǒng)是不能觀測的 由于 可見系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀測性與x(t0)的能觀測性是等價的 定義：設n維系統(tǒng)的動態(tài)方程為 若對狀態(tài)空間中的任一狀態(tài)x(t0)，存在一有限時間t1-t0，使得由控制輸入u(t0,t1)和輸出y(t0,t1)的信息足以確定x(t0)，則稱系統(tǒng)在t0時刻是完

2、全能觀測的。 3-3 能觀測性及其判據(jù)一：能觀測性的概念 定義：設n維線二：能觀測性判據(jù)1 線性時變系統(tǒng)定理一：系統(tǒng)在t0時刻能觀測的充要條件是下列格蘭姆矩陣： 為非奇異矩陣 證明:充分性設二：能觀測性判據(jù)1 線性時變系統(tǒng)定理一：系統(tǒng)在t0時刻能觀測二：能觀測性判據(jù)1 線性時變系統(tǒng)定理一：系統(tǒng)在t0時刻能觀測的充要條件是下列格蘭姆矩陣： 為非奇異矩陣 證明:必要性設系統(tǒng)能觀測,但是奇異的,即存在非零初態(tài),使二：能觀測性判據(jù)1 線性時變系統(tǒng)定理一：系統(tǒng)在t0時刻能觀測二：能觀測性判據(jù)1 線性時變系統(tǒng)定理一：系統(tǒng)在t0時刻能觀測的充要條件是下列格蘭姆矩陣： 為非奇異矩陣 定理二：系統(tǒng)在t0時刻能觀

3、測的充要條件是存在一個有限時刻t1t0，使得mn型矩陣C(t)(t,t0)的n個列在t0，t1上線性無關。 定理三：如果線性時變系統(tǒng)的A(t)和C(t)是(n-1)階連續(xù)可微的，若存在一個有限的t1t0，使得 則系統(tǒng)在t0時刻能觀測的，其中 （充分條件） 二：能觀測性判據(jù)1 線性時變系統(tǒng)定理一：系統(tǒng)在t0時刻能觀測2：線性定常系統(tǒng)定理一:對于線性定常系統(tǒng)，其能觀測的充要條件是 滿秩,或 定理二：線性定常連續(xù)系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是能觀測性矩陣QO滿秩，即 的列線性無關. 2：線性定常系統(tǒng)定理一:對于線性定常系統(tǒng)，其能觀測的充要條件定理三：線性定常連續(xù)系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是(n+m)n型矩

4、陣 對A的每一個特征值i之秩為n。（PBH判別法） 定理三：線性定常連續(xù)系統(tǒng)，若A的特征值互異，經(jīng)非奇異變換后為 系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是陣中不包含全為零的列定理四：線性定常連續(xù)系統(tǒng)，若A陣具有重特征值，且對應每一個重特征值只存在一個獨立的特征向量，經(jīng)非奇異變換后為： 系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是 陣中與每一個約當塊Ji第一列對應的列不全為零。 非奇異變換不改變系統(tǒng)的能觀測性 定理三：線性定常連續(xù)系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是(n+m)n3-4 離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性 線性定常離散系統(tǒng)方程為 一：能控性定義 對于任意給定的一個初始狀態(tài)x(0)，存在k0，在有限時間區(qū)間0，k內，存在容許控制序列

5、u(k)，使得x(k)=0，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的 二：能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)能控的充分必要條件是nnr型矩陣Qc滿秩，即 rank Qc=rankH，GH，G2H，Gn-1H=n 證明 令 對于任意的x(0),上述方程有解的充要條件是：krn且系數(shù)矩陣滿秩 若系統(tǒng)能控，對于任意的初始狀態(tài)，在第k步可以使x(k)=0，（kn/r） 3-4 離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性 線性定常離散系統(tǒng)方程為例 設單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試判斷系統(tǒng)的能控性，若初始狀態(tài)x(0)=2,1,0T，確定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性 解 系統(tǒng)

6、是能控的 例 設單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試判斷系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)是能控的 令若令無解。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=2,1,0T轉移到x(2)=0。系統(tǒng)是能控的 令若令無解。即不存在控制序列u（0），u（1例 雙輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 試判斷其能控性，并研究使x(1)=0的可能性 解 系統(tǒng)是能控的 令x(1)=0若 若 則可以求出u(0)，使x(1)=0 則不存在u(0)，使x(1)=0 例 雙輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 試判斷其能控性，并三：能觀測性定義 對于離散系統(tǒng)，其定義為：已知輸入向量序列u(0)、u(1)、u(n-1)及

7、有限采樣周期內測量到的輸出向量序列y(0)、y(1)、y(n-1),能唯一確定任意初始狀態(tài)向量x(0),則稱系統(tǒng)是完全能觀測的，簡稱系統(tǒng)是能觀測的 四：能觀測性判據(jù) 設n維離散系統(tǒng)的動態(tài)方程為 其解為 在討論能觀測性時，假定u(k)=0,(k=0、1、n-1) 三：能觀測性定義 對于離散系統(tǒng)，其定義為：已知輸入向量序列u定義 為離散系統(tǒng)的能觀測性矩陣。上述方程要唯一確定x(0)的充要條件是rankQo=n 因此線性定常離散系統(tǒng)能觀測的充要條件為rankQo=n 定義 為離散系統(tǒng)的能觀測性矩陣。上述方程要唯一確定x(0)的五：連續(xù)系統(tǒng)離散化后的能控性與能觀測性定理一：如果連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）不

8、能控（不能觀測），則對任意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)（G、H、C）也是不能控（不能觀測）的 證明：用反證法 設連續(xù)系統(tǒng)不能控，而對于某采樣T離散化后的系統(tǒng)卻是能控的。則 rankH、GH、G2H、Gn-1H=n故 容易驗證 為可交換陣，故 五：連續(xù)系統(tǒng)離散化后的能控性與能觀測性定理一：如果連續(xù)系統(tǒng)（由于eAiT可用I、A、A2、An-1線性表示，故 連續(xù)系統(tǒng)是能控的，矛盾 本定理也可敘述為：如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀測）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀測）的 由于eAiT可用I、A、A2、An-1線性表示，故 連續(xù)系定理二：設連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）能控（能觀測），則離散化后的系統(tǒng)也能

9、控（能觀測）的必要條件是 不是A的特征值。其中k為非零整數(shù) 證明 設A的特征值為1、2、n則 的特征值為： 如果i=0，則如果i0，則可見當 （k為非零整數(shù)）為A的特征值時 的特征值中出現(xiàn)0 不可逆,由于定理二：設連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）能控（能觀測），則離散化后的定理三：設系統(tǒng)（A、B、C）能控，采樣周期T滿足如下條件：對A的任意兩個特征值1、2，不存在非零整數(shù)k，使 成立，則以T為采樣周期的離散化系統(tǒng)也是能控的。本定理為充分條件，對于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。 定理三：設系統(tǒng)（A、B、C）能控，采樣周期T滿足如下條件：對3-5 對偶原理若系統(tǒng)S1描述為 系統(tǒng)S2描述為 則稱S1（

10、S2）為S2（S1）的對偶系統(tǒng)。顯然，原系統(tǒng)S1（S2）的能控性（能觀測性）矩陣等于對偶系統(tǒng)S2（S1）的能觀測性（能控性）矩陣轉置，或者說，原系統(tǒng)的能控性（能觀測性）等價與其對偶系統(tǒng)的能觀測性（能控性） 對偶系統(tǒng)有兩個基本特征:1)傳遞函數(shù)陣互為轉置2)系統(tǒng)特征值相同3-5 對偶原理若系統(tǒng)S1描述為 系統(tǒng)S2描述為 則稱S1（3-6 能控標準形和能觀測標準形一：能控標準形一個單輸入系統(tǒng)，如果其A、b陣具有如下形式： 則系統(tǒng)一定能控。這種形式的A、b陣稱為能控標準形 定理：若n維單輸入線性定常系統(tǒng)能控，則一定能找到一個線性變換，將其變換成能控標準形 具體做法是：設A的特征多項式為 引入非奇異線

11、性變換 則 為能控標準形 3-6 能控標準形和能觀測標準形一：能控標準形一個單輸入系例 已知能控的線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程 試將其變換成能控標準形 解 系統(tǒng)是能控的 例 已知能控的線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程 試將其變換成能控標準形 解 系統(tǒng)是能控的 解 系統(tǒng)是能控的 二：能觀測標準形一個單輸出系統(tǒng)，如果其A、c陣具有如下形式 則系統(tǒng)一定能觀測，此時的A、c陣稱為能觀測標準形 二：能觀測標準形一個單輸出系統(tǒng)，如果其A、c陣具有如下形式 定理：若n維單輸出線性定常系統(tǒng)能觀測，則一定能找到一個線性變換，將其變換成能觀測標準形 具體做法是：設A的特征多項式為 引入非奇異線性變換 則 為能觀測標準形 可利用對偶原

12、理來證明 定理：若n維單輸出線性定常系統(tǒng)能觀測，則一定能找到一個線性變3-7能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)的關系定理一：如果A的特征值互不相同，則系統(tǒng)（A、B、C）為能控且能觀測的充分必要條件是：傳遞矩陣G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消。定理二：單輸入、單輸出系統(tǒng)（A、b、c）是能控且能觀測的充分必要條件是：傳遞函數(shù)G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消 定理三：單輸入、單輸出系統(tǒng)（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若傳遞函數(shù)存在零、極點對消，則系統(tǒng)或是狀態(tài)不能控或是狀態(tài)不能觀測的；若傳遞函數(shù)不存在零、極點對消，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控且完全能觀測的。 證明 單輸入、

13、單輸出系統(tǒng)動態(tài)方程為 如果A的特征值互不相同，則可利用非奇異線性變換，使A成為對角陣。即 此式即為傳遞函數(shù)的部分分式 若傳遞函數(shù)存在零、極點對消，傳遞函數(shù)的部分分式中應缺少相應項。如傳遞函數(shù)中相消的零、極點為s-k，則說明fkk=0，k=0，fk 0系統(tǒng)是不能控的；fk=0，k0，系統(tǒng)是不能觀測的；k=0，fk=0，系統(tǒng)是既不能控也不能觀測的。若傳遞函數(shù)不存在零、極點對消，傳遞函數(shù)的部分分式中，應有fkk0（k=1、2、n）系統(tǒng)是既能控又能觀測的 3-7能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)的關系定理一：如果A的特征值例 設單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 由于存在零、極點對消，系統(tǒng)不可能是既能控又能觀測的

14、例 已知系統(tǒng)的動態(tài)方程如下，試求傳遞函數(shù)，判斷其能控性、能觀測性 三個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為 系統(tǒng)（1）是能控不能觀測的；系統(tǒng)（2）是能觀測不能控的；系統(tǒng)（3）是既不能控又不能觀測的 定理二、定理三只適用于單輸入、單輸出系統(tǒng)，對于有相重特征值的多輸入、多輸出系統(tǒng)，即使有零、極點對消，系統(tǒng)仍可能是既能控又能觀測的 例 設單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 由于存在零、極點對消，系定理四：如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣 的各行在復數(shù)域上線性無關，則系統(tǒng)是能控的。（充分必要條件） 定理五：如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的輸出向量與初始狀態(tài)向量X（0）之間的傳遞矩陣 的各列在復數(shù)域上線性無關，

15、則系統(tǒng)是能觀測的。（充分必要條件） 定理四：如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞例 試用傳遞矩陣判斷下列系統(tǒng)的能控性、能觀測性 解：（1）令 說明 的三個行向量線性無關，系統(tǒng)是能控的。 例 試用傳遞矩陣判斷下列系統(tǒng)的能控性、能觀測性 解：（1）說明 的三個列向量線性無關，系統(tǒng)是能觀測的 例 試用傳遞矩陣判斷下列系統(tǒng)的能控性、能觀測性 解：（1）令 說明 的三個列向量線性無關，系統(tǒng)是能觀測的 例 試用傳遞矩陣（2）由于 的三個行向量線性相關，系統(tǒng)不能控 令 存在非零解 系統(tǒng)是不能觀測的。（2）由于 的三個行向量線性相關，系統(tǒng)不能控 令 存在非零3-8 控制系統(tǒng)的結構分解 一：系統(tǒng)

16、按能控性分解 設不能控系統(tǒng)的動態(tài)方程為 其能控性矩陣的秩為rn，即 rankQc=r令 則 其中 選出其中r個線性無關列，再加任意n-r個列，構成非奇異矩陣T,令T-1 3-8 控制系統(tǒng)的結構分解 一：系統(tǒng)按能控性分解 設不能控經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動態(tài)方程寫為 于是可得能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為 不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為 系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為 經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動態(tài)方程寫為 于是可得能控子系統(tǒng)動態(tài)方例 已知 試按能控性進行規(guī)范分解 解 系統(tǒng)不完全能控，取 則 能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為 不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為 例 已知 試按能控性進行規(guī)范分解 解 系統(tǒng)不完全能控，取 則二：系統(tǒng)按能觀測性分解設不能觀測系

17、統(tǒng)的動態(tài)方程為 其能觀測性矩陣的秩為r0，且當x=0時，有V（x）=0，則稱標量函數(shù)V（x）在域S內是正定的 2：負定性 設有標量函數(shù)V（x），對域S中的所有非零狀態(tài)x，總有V（x）0，則稱標量函數(shù)V（x）在域S內是正半定的。如果- V（x）是正半定的，則V（x）是負半定的 第四章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 4-1 引言一：范數(shù)設定義例 設 則 三：二次型函數(shù)的正定性設標量函數(shù)V（x）為二次型函數(shù)，即V（x）=xTQx，并設Q為對稱陣： 3：正半定性和負半定性 設有標量函數(shù)V（x），對域S中的某些非零狀態(tài)x及x=0，有 V（x）=0，而對于S中的其余狀態(tài)有V（x）0，則稱標量函數(shù)V（x）在域S內是正半

18、定的。如果- V（x）是正半定的，則V（x）是負半定的 賽爾維斯特準則：對于二次型函數(shù)V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，則Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均為正值，則Q是正定的，V（x）也是正定的。 例 設 則 三：二次型函數(shù)的正定性設標量函數(shù)V（x）為二次型4-2李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性概念賽爾維斯特準則：對于二次型函數(shù)V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，則Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均為正值，則Q是正定的，V（x）也是正定的。 1：系統(tǒng) 設所研究的系統(tǒng)為 式中x為n維狀態(tài)向量，在給定的初始條件下， 方程有唯一解 2：平衡狀態(tài) 滿足 的狀態(tài)即

19、 對于線性定常系統(tǒng) 當A可逆時，有唯一平衡狀態(tài) 4-2李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性概念賽爾維斯特準則：對于二次型3：穩(wěn)定性 以S（k）表示平衡狀態(tài)周圍半徑為k的球域 設對應于每一個球域S（），都存在球域S（），使得當t t0時，從初始條件S（）出發(fā)的軌跡都超出不了S（），則稱這一系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。如果與t0無關，則稱平衡狀態(tài)為一致穩(wěn)定的平衡狀態(tài) 線性定常系統(tǒng)，如果是穩(wěn)定的，則必是一致穩(wěn)定的 3：穩(wěn)定性 以S（k）表示平衡狀態(tài)周圍半徑為k的球域 設對應4：漸近穩(wěn)定性 如果平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的，且從球域S（）出發(fā)的任意一個解，當t時，收斂于平衡狀態(tài)，則稱此類平衡狀

20、態(tài)為漸近穩(wěn)定的，如果與t0無關，則平衡狀態(tài)為一致漸近穩(wěn)定的 線性定常系統(tǒng)，如果是漸近穩(wěn)定的，則必是一致漸近穩(wěn)定的 5：大范圍穩(wěn)定性 不管初始偏差有都大，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的。不管初始偏差有都大，系統(tǒng)總是漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)只能有一個平衡狀態(tài)。為了滿足穩(wěn)定條件，初始偏差有一定限制，則稱系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定的。對于線性系統(tǒng)，若在小范圍穩(wěn)定，則必大范圍穩(wěn)定；若在小范圍漸近穩(wěn)定，則必大范圍漸近穩(wěn)定 6：不穩(wěn)定性 如果對于某個實數(shù)0和任一實數(shù)0，不管它們有多小，在球域S（）中，總存在一個初始狀態(tài)x0，使得從這一初始狀態(tài)出發(fā)的軌跡最終會超出球域S（），

21、這時的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的 4：漸近穩(wěn)定性 如果平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的，且4-3李雅普諾夫直接法（第二法） 主要理論 1：對于一個系統(tǒng)，若能構造出一個正定的標量函數(shù)V（x），并且它對時間的一階導數(shù)是負定的，則系統(tǒng)在狀態(tài)空間的原點處是漸近穩(wěn)定的 2：對于一個系統(tǒng)，若V（x）在原點附近的鄰域內是正定的，并且它對時間的一階導數(shù)也是正定的，那么系統(tǒng)在原點處是不穩(wěn)定的 李雅普諾夫第一法-間接法李雅普諾夫第二法-直接法4-3李雅普諾夫直接法（第二法） 主要理論 1：對于一個系統(tǒng)例在討論穩(wěn)定性時,設系統(tǒng)穩(wěn)定例在討論穩(wěn)定性時,設系統(tǒng)穩(wěn)定定理一：設系統(tǒng)的動態(tài)方程為 原點為一個平衡狀態(tài)，即： 如果存在一

22、個具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)V（x），滿足如下條件 （1） 是正定的（2） 是負定的則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的 如果當 時 則系統(tǒng)是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。 如果除原點外，在系統(tǒng)的軌跡上再沒有任何一點，其 恒為零，則條件（2）可改為是負半定的 定理一：設系統(tǒng)的動態(tài)方程為 原點為一個平衡狀態(tài)，即： 如果存定理二：設系統(tǒng)的動態(tài)方程為： 原點為一個平衡狀態(tài)，即： 如果存在一個具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)V（x），滿足如下條件 （1） 是正定的（2） 是負半定的則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的 如果當 時 則系統(tǒng)是一致大范圍穩(wěn)定的。 定理二：設系統(tǒng)的動態(tài)方程為： 原點為一個平衡狀態(tài)，

23、即： 如果例 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為 坐標原點是系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解：取 為一正定的標量函數(shù) 為一負定的標量函數(shù)，且 系統(tǒng)是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。 例 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為 坐標原點是系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)，試確定該例 系統(tǒng)動態(tài)方程為 坐標原點是系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解：取 為一正定的標量函數(shù) 為負半定的，系統(tǒng)是穩(wěn)定的 定理三：設系統(tǒng)的動態(tài)方程為 原點為一個平衡狀態(tài)，即： 如果在平衡狀態(tài)的某個鄰域內，存在一個具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)V（x），滿足如下條件： （1） 是正定的 （2） 是正定的則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的 類似地，若 除原點外，不恒為零，條

24、件（2）可改為正半定。例 系統(tǒng)動態(tài)方程為 坐標原點是系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)，試確定該系例 設有如下系統(tǒng) 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解：x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，取 為一正定的標量函數(shù) 為正半定的，但除了坐標原點外，在狀態(tài)軌跡上 不恒為零，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 例 設有如下系統(tǒng) 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解：x=0為系統(tǒng)的平衡4-4 線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 一：線性定常系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的求法設線性定常系統(tǒng) 若A為n階非奇異矩陣，則系統(tǒng)有唯一的平衡狀態(tài)x=0 取一個可能的李氏函數(shù) P為正定實對稱矩陣 令 若Q是正定對稱矩陣，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的 定理：線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一個正定實對稱矩陣Q，存在正定

25、實對稱矩陣P，使ATP+PA=-Q成立。4-4 線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 一：線性定常系統(tǒng)李雅普諾例 試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性解：x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，取Q=I，由：ATP+PA=-Q 設 P為正定矩陣 系統(tǒng)是一致大范圍漸近穩(wěn)定的 推論：如果 沿任意一條軌跡不恒為零，上述定理中的Q可取為正半定矩陣 例 試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性解：x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，取例 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍 解 令u=0，detA0，故原點是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。取 由于只有在原點處才有 故Q可取為正半定矩陣。由ATP+PA=-Q，得 例 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍 解 令u=二

26、：線性時變系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的求法設線性時變系統(tǒng)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0 取一個可能的李氏函數(shù) P（t）為正定實對稱矩陣， 令 若Q（t）是正定對稱矩陣，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的 定理：線性時變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一個正定實對稱矩陣Q（t），存在正定實對稱矩陣P（t），使黎卡提矩陣微分方程 成立 二：線性時變系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的求法設線性時變系統(tǒng)系統(tǒng)的平衡三：線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的幾個結論 設線性系統(tǒng) 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0狀態(tài)方程的解為 四：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù) 定理：線性定常系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定的充分必要條件是狀態(tài)矩陣A的所有特征值都位于左半復數(shù)平面。即 Rei0 （i=1、2、n） i為A的

27、特征值 三：線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的幾個結論 設線性系統(tǒng) 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=4-5線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性取Vx(k)=xT(k)Px(k)，P為正定實對稱矩陣。 令 定理：線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：給定一個正定實對稱矩陣Q，存在一個正定實對稱矩陣P使GTPG-P=-Q成立，此時V（X）=xTPx。若V（x）=-xTQx沿任一解序列不恒為零，那么Q可取為正半定矩陣。設 x(k+1)=G x(k)，x=0為平衡狀態(tài)。4-5線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性取Vx(k)=xT(k)P例 設 試確定系統(tǒng)在平衡點處大范圍漸近穩(wěn)定的條件解：取Q=I，由GTPG-P=-Q得 根據(jù)P為正定實對稱矩陣的要求，得 例 設 試確定系統(tǒng)在平衡點處大