第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

1、第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性 與曲線的凹凸性一、單調(diào)性的判別二、單調(diào)區(qū)間的求法三、凹凸性的定義與判別四、拐點(diǎn)五、小結(jié)幾何事實(shí)定理1這是一個(gè)充分條件一、單調(diào)性的判別法另外區(qū)間可為其他任意形式證應(yīng)用拉氏定理,得類似有例1解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的整體性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)方法:二、單調(diào)區(qū)間求法例2解單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為(2)確定 y = arcta

2、nx - x的單調(diào)區(qū)間解例3解單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為例4證注意: 區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,例5證例6證由介值定理知 cosx = x有一個(gè)根故方程 cosx = x有且僅有一個(gè)根。y = cosx - x僅有函數(shù)單調(diào)性還不夠， 如拱橋、船體、機(jī)翼弧線；圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方三、曲線凹凸的定義與判別問題: 如何研究曲線的彎曲方向?1、定義定義： 定理12、曲線凹凸的判定證例7解例8解注意到,1、定義注意: 拐點(diǎn)必須在曲線上，拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線 。四、曲線的拐點(diǎn)及其求法可能的拐點(diǎn): 2、拐點(diǎn)的求法方法1:方法2:例9解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)例10解注意 :例11解例12證由結(jié)論可知為此，構(gòu)造 單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.五、小結(jié)曲線的彎曲方向凹凸性;改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn);凹凸性的判定.拐點(diǎn)的求法1, 2.思考題思考題解答1、不能斷定.例但f(x)在x0 點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)， f(x)都不單調(diào)遞增當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，注意 可以任意大，