專升本輔導-第6講定積分及其應用課件

1、一、復習要求（1）理解定積分的概念與幾何意義（2）掌握定積分的基本性質(zhì)（3）理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握對變上限定積分求導數(shù)的方法（4）掌握牛頓萊布尼茨公式（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法（6）理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計算方法（7）掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體體積（8）會用定積分求沿直線運動時變力所作的功 第6講 定積分及其應用一、復習要求第6講 定積分及其應用b由曲線及直線所圍成 二、內(nèi)容提要1定積分概念（1）曲邊梯形的概念：在直角坐標系中，由曲線，直線及的平面圖形有以下兩類，它可以看做是由兩個曲邊梯形所夾軸所圍

2、成的圖形，叫做曲邊梯形常見及直線a由曲線所圍成b由曲線及直線所圍成 二、內(nèi)容提要1定積分概念（1）曲邊（2）定積分的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上有定義，用點將區(qū)間分成n個小區(qū)間其長度為，在每個小區(qū)間上任取一點，則乘積稱為積分元素，其總和稱為積分和（2）定積分的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上有定義，用點將區(qū)間分成n記為即為積分區(qū)間，其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分變量，稱為積分下限，為積分上限 在區(qū)間的取法無關，則稱函數(shù)中最大者如果當無限增大，而時，總和的極限存在，且此極限與的分法以及并將此極限值稱為函數(shù)在區(qū)間上是可積的，上的定積分，記為即為積分區(qū)間，其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分（3）

3、定積分上下限互換時，定積分變號而絕對值不變，當時，說明：（1）定積分作為一個和式的極限，是個數(shù)值，它的大小僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關，而與積分變量用什么字母表示無關（2）被積函數(shù)在積分區(qū)間必要條件，被積函數(shù)上有界，是可積的在積分區(qū)間上連續(xù)是可積的充分條件初等函數(shù)在其定義區(qū)間上一定可積即（3）定積分上下限互換時，定積分變號而絕對值不變，當時，說明（1）代數(shù)和的積分的等于積分的代數(shù)和，即為常數(shù)） （2）常數(shù)因子可以提到積分號前面，即2定積分的基本性質(zhì)（1）代數(shù)和的積分的等于積分的代數(shù)和，即為常數(shù)） （2）常之間時，等式仍然成立不介于當（3）如果積分區(qū)間被點分成兩個小區(qū)間與，則（4）若在積分區(qū)間上總

4、有，則之間時，等式仍然成立不介于當（3）如果積分區(qū)間被點分成兩個（5）若函數(shù)在積分區(qū)間上有最大值和最小值，則有，使有內(nèi)至少存在一點（6）若函數(shù)在上連續(xù)則在區(qū)間（5）若函數(shù)在積分區(qū)間上有最大值和最小值，則有，使有內(nèi)至少存的值，即它對變上限的導數(shù)，等于被積函數(shù)在上限3牛頓萊布尼茲公式（2）原函數(shù)存在定理：若在上連續(xù)，則是函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)是變上限（1）變上限定積分的函數(shù)，的值，即它對變上限的導數(shù)，等于被積函數(shù)在上限3牛頓萊布尼（3）牛頓萊布尼茲公式：在上連續(xù)，且是的一個原函數(shù)，則若函數(shù)（3）牛頓萊布尼茲公式：在上連續(xù)，且是的一個原函數(shù)，則若函4定積分的換元積分法和分部積分法上連續(xù)，令，如果b

5、當從變到時，從單調(diào)地變到，則有在區(qū)間（1）定積分的換元積分公式：設函數(shù)在區(qū)間或上有連續(xù)導數(shù)a4定積分的換元積分法和分部積分法上連續(xù)，令，如果b當從變（2）奇（偶）函數(shù)在對稱積分區(qū)間上的定積分計算法則：b若是奇函數(shù)，則是偶函數(shù)，則a若（2）奇（偶）函數(shù)在對稱積分區(qū)間上的定積分計算法則：b若是（3）定積分的分部積分公式：設函數(shù)和在上有連續(xù)導數(shù)，則或記為（3）定積分的分部積分公式：設函數(shù)和在上有連續(xù)導數(shù)，則或記為積分區(qū)間為無限的廣義積分：設函數(shù)在區(qū)間則定義為在上的廣義積分此時，稱廣義積分存在或收斂，否則稱廣義積分發(fā)散或不存在 5廣義積分上連續(xù)，如果極限存在，積分區(qū)間為無限的廣義積分：設函數(shù)在區(qū)間則定

6、義為在上的廣義積分同樣，可定義：其中有時為了書寫方便，可省去極限符號，如可簡寫成根據(jù)定義可知：當時收斂，當時發(fā)散同樣，可定義：其中有時為了書寫方便，可省去極限符號，如可簡寫（1）平面圖形的面積設函數(shù)和在上連續(xù)，且，則由曲線平面圖形的面積為6定積分的應用和直線所圍成的（1）平面圖形的面積設函數(shù)和在上連續(xù)，且，則由曲線平面圖形函數(shù)和在上連續(xù)，且，則由曲線和直線所圍成的平面圖形的面積為函數(shù)和在上連續(xù)，且，則由曲線和直線所圍成的平面圖形的面積為（2）旋轉(zhuǎn)體的體積設一立體是以連續(xù)曲線，直線的旋轉(zhuǎn)體，則其體積為軸所圍與由連續(xù)曲線，直線成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為及軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而

7、成（2）旋轉(zhuǎn)體的體積設一立體是以連續(xù)曲線，直線的旋轉(zhuǎn)體，則其三、例題及說明（2） 或解 （1）和 軸所圍成的區(qū)域的面積S（2）求由曲線例1 （1）求1基本概念三、例題及說明（2） 或解 （1）和 軸所圍成的例2 求（1） （2） （3）（4）（5）例2 求（1） （2） （3）（4）（5）解 （1）（2）（3）解 （1）（2）（3）（4）（5）（4）（5）2定積分的分部積分法或例1 求（1）（2）（3）定積分的分部積分公式為2定積分的分部積分法或例1 求（1）（2）（3）定積分的分解 （1）（2） 解 （1）（2） （3） （3） 3定積分的換元法例1 （1）（2）（3）3定積分的換元法例1

8、（1）（2）（3）解 （1）設，則且當時，當時解 （1）設，則且當時，當時（2）設，則且當時，當時（由單值性也可取則原式時，當時） 當（2）設，則且當時，當時（由單值性也可取則原式時，當時） 當（3）設，則且當時，當時（3）設，則且當時，當時例2 證明對，有證 設，則且當時，當時等式左邊 例2 證明對，有證 設，則且當時，當時等式左邊 4分段函數(shù)的積分，求（2）求（3）求例1 （1）4分段函數(shù)的積分，求（2）求（3）求例1 （1）解 （1）（2） （3） 解 （1）（2） （3例1 求（1）（2）解 （1）原式第二個被積函數(shù)是偶函數(shù)，第三個被積函數(shù)是奇函數(shù)（2）原式前者被積函數(shù)是偶函數(shù)，后者被

9、積函數(shù)是奇函數(shù)， 5奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分原式原式例1 求（1）（2）解 （1）原式第二個被積函數(shù)是偶函數(shù)，第例1 求設（1）（2）（3）解 （1）（2）（3） 6變上限積分及其對上限的導數(shù)例1 求設（1）（2）（3）解 （1）（2）（3） 又上單調(diào)增加，所以方程在即例2 設連續(xù)，證明方程上有且只有一個根在證 在上有且只有一個根 又上單調(diào)增加，所以方程在即例2 設連續(xù)，證明方程上有例1 求（1）（2）（3）解 （1），發(fā)散（3），收斂7廣義積分（2），收斂例1 求（1）（2）（3）解 （1），發(fā)散（3），收斂7解 當時，發(fā)散；，發(fā)散；，收斂 例2 討論的收斂性時，當時，當解 當時，發(fā)散；，發(fā)散；，收斂 例2 討論的收斂性時，例1 求由所圍區(qū)域的面積積分，則必須分成上、下兩塊面積之和：或?qū)?8平面圖形所圍區(qū)域的面積例1 求由所圍區(qū)域的面積積分，則必須分成上、下兩塊面積之和積分，則或?qū)?首先由聯(lián)立方程，求得兩曲線交點坐