機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件1第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性-

1、第五章 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 系統(tǒng)首要條件:系統(tǒng)穩(wěn)定。分析系統(tǒng)穩(wěn)定性是經(jīng)典控制理論的重要組成部分，經(jīng)典控制理論對(duì)于判定一個(gè)定常線性系統(tǒng)是否穩(wěn)定提供了多種方法。著重介紹幾種定常線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)及其使用，以及提高系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。1.介紹線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念。2.介紹Routh與Hurwitz判斷；3.闡述Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，即如何通過(guò)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性的Nyquist圖來(lái)判斷相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4.介紹Bode判據(jù)，進(jìn)而討論系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的問(wèn)題。 10/13/2022機(jī)械工程第五章 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 系統(tǒng)首要條件:系統(tǒng)穩(wěn)定。分析系統(tǒng)穩(wěn)5.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念5.1.1 系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)

2、生 如圖5.1.1所示的液壓位置隨動(dòng)系統(tǒng)，從油源來(lái)的壓力為Ps的壓力油，經(jīng)伺服閥和兩條軟管以流量 進(jìn)入或流出油缸，閥芯相對(duì)于閥體獲得輸入位移 后，活塞輸出位移 ，此輸出再經(jīng)活塞與閥體的剛性聯(lián)系，即經(jīng)反饋聯(lián)系B反饋到閥體上，從而改變了閥芯與閥體的相對(duì)位移量，這樣就組成一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)，它保證活塞跟隨閥芯的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。10/13/2022機(jī)械工程5.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念5.1.1 系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象10/13/2022機(jī)械工程10/11/2022機(jī)械工程 閥芯受外力右移，即輸入位移 后，控制口2、4打開(kāi)，控制口3，1關(guān)閉，壓力油進(jìn)入左缸，右缸接通回油，活塞向右移動(dòng)。當(dāng)外力去掉后，閥芯停止運(yùn)動(dòng),活塞滯后

3、于閥芯,繼續(xù)右移,直至控制口2關(guān)閉，回到原來(lái)的平衡位置。 因移動(dòng)的活塞有慣性，在伺服閥的平衡位置，活塞仍不能停止，繼續(xù)右移。因而使控制口1，3打開(kāi)，2，4關(guān)閉，壓力油反過(guò)來(lái)進(jìn)入右缸，左缸接能回油，這使活塞反向（向左）移動(dòng)，并帶動(dòng)閥體左移，直至閥體與閥芯回復(fù)到原來(lái)的平衡位置。 10/13/2022機(jī)械工程 閥芯受外力右移，即輸入位移 后，控制口2、4打開(kāi)，控制 但活塞因慣性繼續(xù)左移，使油路又反向這樣，閥芯在原位不動(dòng)的情況下，活塞與閥體相對(duì)閥芯反復(fù)振蕩。由于所選擇的系統(tǒng)各參數(shù)（如質(zhì)量、阻尼和彈性等）不同，當(dāng)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時(shí)，這種振蕩可能是衰減的（減幅的），也可能是發(fā)散的（增幅的）或等幅的，如圖5.

4、1.2（a）、（b）、（c）所示。當(dāng)這種自由振蕩是增幅振蕩時(shí)，就稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。10/13/2022機(jī)械工程 但活塞因慣性繼續(xù)左移，使油路又反向這樣，閥芯在原位10/13/2022機(jī)械工程10/11/2022機(jī)械工程系統(tǒng)的不穩(wěn)定現(xiàn)象值得注意幾點(diǎn)：首先，線性系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生與否，取決于系統(tǒng)內(nèi)部條件，而與輸入無(wú)關(guān)。如上例，系統(tǒng)在輸入撤消后，從偏離平衡位置所處的初始狀態(tài)出發(fā)，因系統(tǒng)本身的固有特性而產(chǎn)生振動(dòng)的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，而與輸入無(wú)關(guān)（非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是與輸入有關(guān)的）。其次，系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象必有適當(dāng)?shù)姆答佔(zhàn)饔?。如原系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么加入反饋后就形成為閉環(huán)系統(tǒng)，可

5、能產(chǎn)生不穩(wěn)定；如原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，加入反饋后就形成為閉環(huán)系統(tǒng)，更可能不穩(wěn)定。10/13/2022機(jī)械工程系統(tǒng)的不穩(wěn)定現(xiàn)象值得注意幾點(diǎn)：10/11/2022機(jī)械工程10/13/2022機(jī)械工程10/11/2022機(jī)械工程 當(dāng)輸入 撤消后，此閉環(huán)系統(tǒng)就以初始偏差 作為進(jìn)一步運(yùn)動(dòng)的信號(hào)，產(chǎn)生輸出 ，而反饋聯(lián)系不斷將輸出 反饋回來(lái)，從輸入 中不斷減去（或加上） 。若反饋的結(jié)果，削弱了 的作用（即負(fù)反饋），則使 越來(lái)越小，系統(tǒng)最終趨于穩(wěn)定；若反饋的結(jié)果，加強(qiáng)了 的作用（即正反饋），則使 越來(lái)越大，此時(shí)，此閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，則視 是收斂還是發(fā)散而定。 10/13/2022機(jī)械工程 當(dāng)輸入 撤消后，此閉環(huán)系

6、統(tǒng)就以初始偏差 第三，控制理論中所討論的穩(wěn)定性其實(shí)都是指自由振蕩下的穩(wěn)定性。 即討論輸入為零，系統(tǒng)僅存在有初始狀態(tài)不為零時(shí)的穩(wěn)定性，即討論系統(tǒng)自由振蕩是收斂的還是發(fā)散的； 或者：討論系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)脈沖響應(yīng)是收斂的還是發(fā)散的。 至于用激振或加外力方法施以強(qiáng)迫振動(dòng)或運(yùn)動(dòng)，因而造成系統(tǒng)共振（或稱諧振）或偏離平衡位置越來(lái)越遠(yuǎn)，這不是控制理論所要討論的穩(wěn)定性。 10/13/2022機(jī)械工程 第三，控制理論中所討論的穩(wěn)定性其實(shí)都是指自由振蕩下的穩(wěn) 5.1.2 穩(wěn)定的定義和條件 若系統(tǒng)在初始狀態(tài)下（不論是無(wú)輸入時(shí)的初態(tài)，還是輸入引起的初態(tài)，還是兩者之和）的時(shí)間響應(yīng)隨著時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨向于零

7、（即回到平衡位置），則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定的； 反之，若在初始狀態(tài)影響下，由它所引起的系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)隨時(shí)間的推移而發(fā)散（即偏離平衡位置越來(lái)越遠(yuǎn)），則稱該系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。 根據(jù)上述穩(wěn)定性的定義，可以用下述兩種方法，分別求得定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定性條件。 10/13/2022機(jī)械工程 5.1.2 穩(wěn)定的定義和條件10/11/2022機(jī)械工程方法（1）：設(shè)定常線性系統(tǒng)的微分方程為： 式中， 若記 并對(duì)式（5.1.1）作Laplace變換，得 式中 為系統(tǒng)傳遞函數(shù)。（5.1.1） （5.1.2） 10/13/2022機(jī)械工程方法（1）：設(shè)定常線性系統(tǒng)的微分方程為：（5.1.1） （5 是與初始條件 輸出 及其各階

8、導(dǎo)數(shù)在輸入作用前 時(shí)刻的值，即系統(tǒng)在輸入作用前的初始狀態(tài)有關(guān)的多項(xiàng)式。研究初始狀態(tài) 影響下系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)時(shí)，可在式（5.1.2）中取 得到這一時(shí)間響應(yīng)（即零輸入的響應(yīng)）： 若 為系統(tǒng)特征方程 的根（或稱系統(tǒng)的特征根，亦即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)），當(dāng) （ ）各不相同時(shí)，有：10/13/2022機(jī)械工程 是與初始條件 輸出 及其各階導(dǎo)數(shù) 式中， 由上可知，若系統(tǒng)所有特征根 的實(shí)部均為負(fù)值，即Resi0，表示LF按順時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)N次； N0，表示LF按逆時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)N次； N=0，表示LF不包圍原點(diǎn)。10/13/2022機(jī)械工程F（s）平面上的軌跡LF從B點(diǎn)開(kāi)始，繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)了一圈 應(yīng)用幅角

9、原理不能單獨(dú)確定出包圍Ls內(nèi)的函數(shù)F（s）的零點(diǎn)數(shù)Z或其極點(diǎn)數(shù)P，而僅能確定他們之間的差值（Z-P）。 的極點(diǎn)就等于F（s）函數(shù)的極點(diǎn)，因此，若已知系統(tǒng)的 ，就可直接求得P。若又能在F(s)平面上確定出LF曲線包圍原點(diǎn)的圈數(shù)N，則可由Z=N+P計(jì)算出在s平面上包圍于封閉曲線LS中的F(s)的零點(diǎn)數(shù)Z，這些零點(diǎn)也就是 相應(yīng)的極點(diǎn)。 曲線LSLF的形狀對(duì)于N，Z，P的數(shù)值是沒(méi)有關(guān)系的，即LF繞原點(diǎn)的圈數(shù)N僅取決于LS所包圍的F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)目，而與LS的形狀無(wú)關(guān)。LF,LS也稱為Nyquist軌跡。 10/13/2022機(jī)械工程 應(yīng)用幅角原理不能單獨(dú)確定出包圍Ls內(nèi)的函數(shù)F（s）的零點(diǎn)5.

10、3.2 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，其閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程1+G(s)H(s)=0的全部根具有負(fù)實(shí)部，即在s平面的右半平面系統(tǒng)沒(méi)有極點(diǎn)，亦即F(s)在s平面的右半平面沒(méi)有零點(diǎn)（Z=0）。 10/13/2022機(jī)械工程5.3.2 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 定常線10/13/2022機(jī)械工程10/11/2022機(jī)械工程1、 s平面上的Nyquist軌跡 s平面上的Nyquist軌跡如圖5.3.3（a）所示。 設(shè)在s平面上有封閉曲線LS，其中(1)，(2)兩段是由 到 的整個(gè)虛軸組成的，(3)段是由半徑R趨于無(wú)窮大的圓弧組成的。因此，(1)，(2)，(3)段就封閉地包圍了整個(gè)s

11、平面的右半平面，由于在應(yīng)用幅角原理時(shí)，LS不能通過(guò)F(s)函數(shù)的任何極點(diǎn)。所以當(dāng)函數(shù)F(s)有若干個(gè)極點(diǎn)處于s平面的虛軸或原點(diǎn)上時(shí)，LS應(yīng)被認(rèn)為是以這些點(diǎn)為圓心，以無(wú)窮小為半徑的圓弧按反時(shí)針?lè)较驈倪@些點(diǎn)的右側(cè)繞過(guò)，如小段圓弧(4)與(4)所示。由于(4)，(4)緊貼極點(diǎn)繞過(guò)，因此，可以認(rèn)為L(zhǎng)S曲線包圍了整個(gè)s平面的右半平面。這一LS封閉曲線即為s平面上的Nuquist軌跡。當(dāng) 由 變到 時(shí)，軌跡的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颉?0/13/2022機(jī)械工程1、 s平面上的Nyquist軌跡10/11/2022機(jī)2、 F平面上的Nyquist軌跡 F平面上的Nyquist軌跡（F平面即F(s)平面的簡(jiǎn)定）按F

12、(s)函數(shù)作出。若其圖形如圖5.3.3(b)所示，則其曲線不包圍原點(diǎn)，即N=0，說(shuō)明相應(yīng)的Ls曲線所包圍的F(s)函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)與零點(diǎn)數(shù)相等，故其差值為零（N=Z-P=0）。 注意：這里所說(shuō)的Z，P是指包圍于圖5.3.3(a)上Ls曲線中的F(s)位于s平面的右半平面的零、極點(diǎn)數(shù)，不是指F(s)函數(shù)所有的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)。由前述可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Z=0。判別Z=0，不是在s平面上進(jìn)行，而是轉(zhuǎn)化到F平面上進(jìn)行。 10/13/2022機(jī)械工程2、 F平面上的Nyquist軌跡10/11/2022機(jī) 由F平面上的Nyquist軌跡LF可知，若它包圍原點(diǎn)N圈，則可知N。另外，由已知的F(s)函數(shù)，

13、可以先求得F(s)位于s平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)P，從而可求得Z=N+P，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)使Z=0，即 N=Z-P=-P 也就是，當(dāng)F平面的Nyquist軌跡LF逆時(shí)針包圍原點(diǎn)的圈數(shù)N等于F(s)函數(shù)位于s平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)P時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。 10/13/2022機(jī)械工程 由F平面上的Nyquist軌跡LF可知，若它包圍原點(diǎn)3、 GH平面上的Nyquist軌跡GH平面（即G(s)H(s)平面的簡(jiǎn)寫(xiě)）上的情況與此相似。因 ，即 GH平面只不過(guò)是將F平面的虛軸右移了1個(gè)單位之后所構(gòu)成的新復(fù)平面。GH平面上的（-1,j0）點(diǎn)就是F平面上的原點(diǎn)。所以，在GH平面上，包圍點(diǎn)（-1,j0）的圈數(shù)N，就等

14、于在F平在上LF包圍原點(diǎn)的圈數(shù)N，其關(guān)系如圖5.3.3(b)，(c)所示。GH平面的Nyquist軌跡，如圖5.3.3(s)所示，它的相應(yīng)的s平面的Nyquist軌跡如圖5.3.3(a)所示。 10/13/2022機(jī)械工程3、 GH平面上的Nyquist軌跡10/11/2022由于任何物理上可實(shí)現(xiàn)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，其的分母的階次n必不小于分于的階系，故有： 和 當(dāng)然， ，均指其模而言。所以，s平面上半徑為 的半圓映射到GH平面上為原點(diǎn)或?qū)嵼S上的一點(diǎn)；s平面上的原點(diǎn)映射到GH平面上為半徑 的半圓?。ó?dāng)分母含有積分環(huán)節(jié)時(shí)）。 10/13/2022機(jī)械工程由于任何物理上可實(shí)現(xiàn)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，其的分母的階10/

15、11/20 因?yàn)長(zhǎng)S表示：s平面上 中實(shí)部 為零， 由 變到 時(shí)s的軌跡（即虛軸），再加上半徑為 的半圓?。欢鴖平面上半徑為 的半圓弧映射到GH平面上只是一個(gè)點(diǎn)，它對(duì)于 包圍某點(diǎn)的情況無(wú)影響，所以 的繞行情況只需考慮s平面的 軸映射到GH平面上的開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡 即可。10/13/2022機(jī)械工程 因?yàn)長(zhǎng)S表示：s平面上 中實(shí)部 為 GH平面上系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件可表述為： 若當(dāng)GH平面上 ，即 的Nyquist軌跡逆時(shí)針包圍點(diǎn)（-1,j0）的圈數(shù)N，等于 在s平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)P時(shí)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，因?yàn)榇藭r(shí)N=-P，由N=Z-P知Z=0。 這一充要條件也可表述為：當(dāng) 由 到 時(shí)，若G

16、H平面上的開(kāi)環(huán)頻率特性 即 順時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)（-1,j0）P圈（P為 在s平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)P ），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 這一表述就是Nyquist穩(wěn)定判據(jù)。10/13/2022機(jī)械工程 GH平面上系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件可表述為：10/11/ 在應(yīng)用Nyquist判據(jù)時(shí)，首先要知道系統(tǒng)的 在s平面上的右半平面的極點(diǎn)數(shù)P，然后分下述兩種情況來(lái)判別： （1）當(dāng)P=0和 從 變到 時(shí)，若GH平面上的 不包圍點(diǎn)（-1,j0），即N=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 （2）當(dāng) 和 從 變到 時(shí)，若GH平面上的逆時(shí)針包圍點(diǎn)（-1,j0）P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若逆時(shí)針包圍點(diǎn)（-1,j0）的圈數(shù)不到P

17、圈（表示ZP），則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。10/13/2022機(jī)械工程 在應(yīng)用Nyquist判據(jù)時(shí)，首先要知道系統(tǒng)的 5.3.3 開(kāi)環(huán)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)的Nyquist 判據(jù) 當(dāng)系統(tǒng)中串聯(lián)有積分環(huán)節(jié)時(shí)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 有位于平面坐標(biāo)原點(diǎn)處的極點(diǎn)。應(yīng)用Nyquist判據(jù)時(shí)，由于平面上的Nyquist軌跡LS不能經(jīng)過(guò) 的極點(diǎn)，故應(yīng)以半徑為無(wú)窮小的圓弧 逆時(shí)針繞過(guò)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)所在的原點(diǎn)，如圖5.3.3（a）所示。這時(shí)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上的極點(diǎn)數(shù)已不再包含原點(diǎn)處的極點(diǎn)。 10/13/2022機(jī)械工程5.3.3 開(kāi)環(huán)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)的Nyquist 判據(jù) 設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：式中， 為系統(tǒng)中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。當(dāng)沿?zé)o窮小

18、半圓逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)時(shí)，有：映射到 平面上的Nyquist軌跡為：因此，當(dāng) 沿小半圓從 變化到 時(shí)， 角從 經(jīng)0變化到 ，這時(shí) 平面上的Nyquist軌跡將沿?zé)o窮大半徑按順時(shí)針?lè)较驈?到 。10/13/2022機(jī)械工程 設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：10/11/2022機(jī)械工程5.3.4 關(guān)于Nyquist 判據(jù)的幾點(diǎn)說(shuō)明 1） Nyquist判據(jù)并不是在s平面而是GH平面判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 通過(guò)幅角原理將s平面的Nyquist軌跡（虛軸）映射為GH平面上的Nyquist軌跡 ，然后根據(jù) 軌跡包圍點(diǎn)（-1,j0）的情況來(lái)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而 正是系統(tǒng)的 。10/13/2022機(jī)械工程5.3.4 關(guān)于Ny

19、quist 判據(jù)的幾點(diǎn)說(shuō)明 1） Ny 2） Nyquist判據(jù)的證明雖較復(fù)雜，但應(yīng)用簡(jiǎn)單.由于一般系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)多為最小相位系統(tǒng)，P=0，故只要看開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡是否包圍點(diǎn)（-1,j0），若不包圍，系統(tǒng)就穩(wěn)定。當(dāng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)， 先求出其P，再看開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡包圍點(diǎn)（-1,j0）的圈數(shù)，并注意 由小到大時(shí)軌跡的方向，若是逆時(shí)針包圍點(diǎn)（-1,j0）P圈，則系統(tǒng)穩(wěn)定。10/13/2022機(jī)械工程 2） Nyquist判據(jù)的證明雖較復(fù)雜，但應(yīng)用簡(jiǎn)單.10/ 3） 在P=0，即 在s平面的右半平面無(wú)極點(diǎn)時(shí)，按習(xí)慣有時(shí)稱為開(kāi)環(huán)穩(wěn)定；在 ，即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在s平面的右半平面有極點(diǎn)時(shí)

20、，按習(xí)慣有時(shí)稱為開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定，有的書(shū)上介紹的就是首先判明開(kāi)環(huán)是否穩(wěn)定，亦即先確定P的數(shù)值，然后再用Nyquist判據(jù)來(lái)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)仍可能穩(wěn)定；開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)也可能不穩(wěn)定。10/13/2022機(jī)械工程 3） 在P=0，即 在s平面的右半平面無(wú)極點(diǎn)時(shí) 4） 開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡對(duì)實(shí)軸是對(duì)稱的，因?yàn)楫?dāng) 變?yōu)?時(shí)， 與 的模相同，而相位異號(hào)，即： 所以， 由 到0與 由0到 的開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡對(duì)實(shí)軸對(duì)稱。因而一般只需繪出 由0到 的曲線即可判別穩(wěn)定性。Nyquist軌跡在 由0到 時(shí)，包圍點(diǎn)（-1,j0）一圈，故已可知 由 到 時(shí)共包圍點(diǎn)（-1,j0）兩圈，所以系統(tǒng)不穩(wěn)

21、定。； 10/13/2022機(jī)械工程 4） 開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡對(duì)實(shí)軸是對(duì)稱的，因?yàn)楫?dāng)； 10系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母反映了系統(tǒng)本身的固有特性，現(xiàn)在閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的分母是 ，即F（s），而F（s）包圍F平面上原點(diǎn)的情況與 包圍GH平面上點(diǎn)（-1.j0）的情況完全一樣，因此， 這一開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)包圍GH平面上點(diǎn)（-1.j0）的情況就反映了閉環(huán)系統(tǒng)的固有特性。因此，用它來(lái)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即由Nyquist判據(jù)用開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，從物理意義上來(lái)說(shuō)也是容易解釋的。 10/13/2022機(jī)械工程系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母反映了系統(tǒng)本身的固有特性，現(xiàn)在閉環(huán)系統(tǒng)的傳5.3.5 Nyquist判據(jù)應(yīng)用

22、舉例10/13/2022機(jī)械工程5.3.5 Nyquist判據(jù)應(yīng)用舉例10/11/20225.3.6 應(yīng)用Nyquist 判據(jù)分析延時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 延時(shí)環(huán)節(jié)是線性環(huán)節(jié)， 但用勞斯判據(jù)難以進(jìn)行判斷，現(xiàn)分析延時(shí)環(huán)節(jié)串聯(lián)或并聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道中的情況。10/13/2022機(jī)械工程5.3.6 應(yīng)用Nyquist 判據(jù)分析延時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 1.延時(shí)環(huán)節(jié)串聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道中時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 圖5.3.16所示為一具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)方框圖，其中G1(s)是除延時(shí)環(huán)節(jié)以外的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，這時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： 其開(kāi)環(huán)頻率特性，幅頻特性和相頻特性分別為： 由此可見(jiàn)，延時(shí)環(huán)節(jié)不改變?cè)到y(tǒng)的幅頻特性

23、，而僅僅使相頻特性發(fā)生變化。10/13/2022機(jī)械工程1.延時(shí)環(huán)節(jié)串聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道中時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 圖510/13/2022機(jī)械工程10/11/2022機(jī)械工程例如，在圖5.3.16所示系統(tǒng)中，若則開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和開(kāi)環(huán)頻率特性分別為：其開(kāi)環(huán)Nyquist圖如圖5.3.17所示。， 10/13/2022機(jī)械工程例如，在圖5.3.16所示系統(tǒng)中，若， 10/11/210/13/2022機(jī)械工程10/11/2022機(jī)械工程 由圖5.3.17可見(jiàn)，當(dāng) ，即無(wú)延時(shí)環(huán)節(jié)時(shí)，Nyquist軌跡的相位不超過(guò)180度，只到第三象限，此二階系統(tǒng)肯定是穩(wěn)定的。隨著值增加，相位也增加，Nyquist軌跡向左上

24、方偏轉(zhuǎn)，進(jìn)入第二和第一象限，當(dāng) 增加到使Nyquist軌跡包圍點(diǎn)（1,j0）時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)就不穩(wěn)定。所以，由開(kāi)環(huán)Nyquist圖上可以明顯看出，串聯(lián)延時(shí)環(huán)節(jié)對(duì)穩(wěn)定性是不利的，雖然一階系統(tǒng)或二階系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K就不允許取很高的數(shù)值，同時(shí)，為了提高這些系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還應(yīng)盡可能地減小延時(shí)時(shí)間 。 10/13/2022機(jī)械工程 由圖5.3.17可見(jiàn)，當(dāng) ，即無(wú)延時(shí)環(huán)節(jié)時(shí)，Nyq5.4 Bode穩(wěn)定判據(jù) Nyquist判據(jù):利用開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）來(lái)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。利用開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，即Bode圖，來(lái)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這種方法有時(shí)稱為對(duì)數(shù)頻率特性判據(jù)，簡(jiǎn)稱對(duì)數(shù)判據(jù)或Bode

25、判據(jù)。它實(shí)質(zhì)上是Nyquist判據(jù)的引申。10/13/2022機(jī)械工程5.4 Bode穩(wěn)定判據(jù) Nyquist判據(jù):利用開(kāi)環(huán)頻率5.4.1 Nyquist圖與Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系 開(kāi)環(huán)Bode圖與開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖對(duì)應(yīng)關(guān)系： （1）極坐標(biāo)圖上的單位圓相當(dāng)于Bode圖上的0分貝線，即對(duì)數(shù)幅頻特性圖的橫軸。 （2）極坐標(biāo)圖上的負(fù)實(shí)軸相當(dāng)于Bode圖上的180線，即對(duì)數(shù)相頻特性圖的橫軸。相位GH 均為180。 由上對(duì)應(yīng)關(guān)系，極坐標(biāo)圖也可畫(huà)成Bode圖，如圖5.4.1中(a)可畫(huà)成(c)，(b)可畫(huà)成(d)。 10/13/2022機(jī)械工程5.4.1 Nyquist圖與Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系 開(kāi)環(huán)Bo10/13

26、/2022機(jī)械工程10/11/2022機(jī)械工程 為Nyquist軌跡與單位圓交點(diǎn)的頻率，即對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與橫軸交點(diǎn)的頻率，亦即輸入與輸出幅值相等時(shí)的頻率稱為剪切頻率或幅值穿越頻率、幅值交界頻率； 為Nyquist軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的頻率，亦即對(duì)數(shù)相頻特性曲線與橫軸交點(diǎn)的頻率，稱為相位穿越頻率或相位交界頻率。 由圖5.4.1 (b)可見(jiàn)， 曲線順時(shí)針包圍點(diǎn)（1,j0），即曲線先在 時(shí)交于負(fù)實(shí)軸，后在 時(shí)才交于單位圓，亦即在Bode圖即圖5.4.1(d)中，對(duì)數(shù)相頻特性先在 時(shí)交于180線，對(duì)數(shù)幅頻特性后 在時(shí)交于0分貝線。圖5.4.1(a)，圖5.4.1(c)的情況則相反。10/13/2022機(jī)

27、械工程 為Nyquist軌跡與單位圓交點(diǎn)的頻率，即對(duì)數(shù)幅頻特性曲5.4.2 穿越的概念 如圖5.4.2(a)所示，在a點(diǎn)，相頻特性由上而下穿過(guò)橫軸，這稱為負(fù)穿越；在b點(diǎn)，相頻特性由下而上穿過(guò)橫軸，這稱為正穿越。 可以看出，對(duì)數(shù)相頻特性正穿越一次，就相當(dāng)于Nyquist軌跡由上而下穿過(guò)負(fù)實(shí)軸一次，此時(shí)相位減?。ㄟ@里指絕對(duì)值減小）；反之，對(duì)數(shù)相頻特性負(fù)穿越一次，就相當(dāng)于Nyquist軌跡由下而上穿過(guò)負(fù)實(shí)軸一次，此時(shí)相位增大。 由圖5.4.2(a)可見(jiàn)，在0 范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性正、負(fù)穿越次數(shù)之差為0，那么在P=0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，此系統(tǒng)實(shí)際為一條件穩(wěn)定系統(tǒng)。 對(duì)II型系統(tǒng)（如 ），對(duì)其對(duì)數(shù)相頻特性一開(kāi)

28、始就由180向下，則算負(fù)半次穿越；反之，若對(duì)數(shù)相頻特性一開(kāi)始就由180向上，則算正半次穿越，如圖5.4.3所示。10/13/2022機(jī)械工程5.4.2 穿越的概念 如圖5.4.2(a)所示，在a點(diǎn)，10/13/2022機(jī)械工程10/11/2022機(jī)械工程10/13/2022機(jī)械工程10/11/2022機(jī)械工程5.4.3 Bode判據(jù) 根據(jù)Nyquist判據(jù)和此種對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)數(shù)判據(jù)可表述如下： 在P=0時(shí)，若開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性比其對(duì)數(shù)相頻特性先效于橫軸，即 ，如圖5.4.1(c)所示，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性比其對(duì)數(shù)相頻特性后交于橫軸，即 ，如圖5.4.1(d)所示，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；若

29、 ，則閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。或換言之：若開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性達(dá)到0分貝，即交于 時(shí)，其對(duì)數(shù)相頻特性還在180線以上，即相位還不足180，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若開(kāi)環(huán)相頻特性達(dá)到180時(shí)，其對(duì)數(shù)幅頻特性還在0分貝線以上，即幅值不足1，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 10/13/2022機(jī)械工程5.4.3 Bode判據(jù) 根據(jù)Nyquist判據(jù)和此種對(duì) 一般系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)多為最小相位系統(tǒng)，即P=0，故可按上述條件來(lái)判別其穩(wěn)定性。上述即為P=0的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。 若考慮包括P0時(shí)的情況，對(duì)數(shù)判據(jù)則可全面地?cái)⑹鋈缦?在Bode圖上，當(dāng) 由0變到 時(shí)，開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性在0到 的頻率范圍（即開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性不為負(fù)值的范圍）內(nèi)

30、，正穿越和負(fù)穿越180軸線的次數(shù)之差為P/2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。 若開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)橫軸有多個(gè)剪切頻率，如圖5.4.2(b)所示，則取剪切頻率取大的 判別，因?yàn)槿粝到y(tǒng)是穩(wěn)定的，則用 判別，自然也就是穩(wěn)定的。10/13/2022機(jī)械工程 一般系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)多為最小相位系統(tǒng)，即P=0，故可按上述5.5 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 從Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可推知：若P=0的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且當(dāng)Nyquist軌跡離點(diǎn)（-1,j0）越遠(yuǎn)，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越高；開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡離點(diǎn)（-1,j0）越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越低。這便是通常所說(shuō)的系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，它通過(guò) 對(duì)點(diǎn)（-1,j0）的靠近程度

31、來(lái)表征，其定量表示為相位裕度 和幅值裕度Kg，如圖5.4.1所示。10/13/2022機(jī)械工程5.5 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 從Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可推5.5.1 相位裕度 在 為剪切頻率 （ ）時(shí)，相頻特性GH 距180線的相位差值稱為相位裕度。圖5.4.1(c)所示的系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且有相當(dāng)?shù)姆€(wěn)定性儲(chǔ)備，它可以在 的頻率下，允許相位再增加 才達(dá)到 的臨界穩(wěn)定條件，因此，相位裕度有時(shí)又叫做相位穩(wěn)定性儲(chǔ)備。 對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)， 必在Bode圖橫軸以上，這時(shí)稱為正相位裕度，即有正的穩(wěn)定性儲(chǔ)備，如圖5.4.1(c)所示；對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)， 必在Bode圖橫軸之下，這時(shí)稱為負(fù)相位裕度，即有負(fù)的穩(wěn)定性儲(chǔ)備，如圖5.4.1(d)所示。10/13/2022機(jī)械工程5.5.1 相位裕度 在 為剪切頻率 （