八年級秋季班-第19講：勾股定理及兩點間的距離公式-教師版

1、勾股定理及兩點間的距離公式勾股定理及兩點間的距離公式內(nèi)容分析內(nèi)容分析本章節(jié)主要講解兩部分內(nèi)容，一是直角三角形的三條邊之間的數(shù)量關(guān)系即勾股定理，包括勾股定理的證明、應(yīng)用及逆定理的證明和應(yīng)用兩方面；二是兩點間的距離公式難點是勾股定理的證明及應(yīng)用，它是解決直角三角形三邊之間關(guān)系的常用方法，是一個工具公式，在以后的學(xué)習(xí)中運用非常廣泛知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu)模塊模塊一：勾股定理的證明及應(yīng)用知識精講知識精講勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方利用勾股定理往往構(gòu)造方程，已達到解決問題的目的；應(yīng)用勾股定理解決實際問題，要注意分析題目的條件，關(guān)注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根據(jù)所給

2、的三邊條件，建立方程，從而解決問題；如果問題中沒有直角三角形，可以通過添加輔助線構(gòu)造出直角三角形，尋求等量關(guān)系，再根據(jù)勾股定理建立相應(yīng)的方程，因此，在解決直角三角形中有關(guān)邊長的問題時，要靈活的運用方程的思想例題解析例題解析（1）在直角ABC中，C=90，A=30，BC=1，則AB=_；（2）在直角ABC中，C=90，A=45，AB=3，則AC=_【難度】【答案】（1）2；（2）【解析】（1）由直角三角形性質(zhì)推論即可得結(jié)論；設(shè)，則由勾股定理可得：，解得：，【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的綜合應(yīng)用（1）等邊三角形的邊長是3，則此三角形的面積是_；（2）等腰三角形底邊上的長為2，腰長為4，則

3、它底邊上的高為_【難度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）作出等邊三角形的高，則可得高為，則三角形的面積為；作底邊上的高，由三線合一性質(zhì)和勾股定理可得底邊上的高為【總結(jié)】考察等腰三角形的三線合一和勾股定理的綜合運用（1）直角三角形兩邊長為3和4，則此三角形第三邊長為_；（2）直角三角形兩直角邊長為3和4，則此三角形斜邊上的高為_；（3）等腰三角形兩邊長是2、4，則它腰上的高是_【難度】【答案】（1）5或；（2）；（3）【解析】（1）3和4可以是兩直角邊長，也可以是一個直角邊和斜邊；由勾股定理可得：斜邊長為5，則由等面積法可知：三角形斜邊上的高為；2、2、4不能構(gòu)成三角形，所以三角形的三邊長為

4、4、4、2，作等腰三角底邊上的高，則由等腰三角形三線合一性質(zhì)和勾股定理可得：底邊上的高為，則由等面積法可知：此三角形腰上的高為【總結(jié)】考察等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，注意分類討論（1）若直角三角形的三邊長分別為n+1，n+2，n+3則n的值是_；（2）如果直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù)，則此三角形的周長為_【難度】【答案】（1）2；（2）24【解析】（1）由題意有：，解：（負值舍去）；（2）可設(shè)直角三角形的三邊長分別為n-2，n，n+2，三角形的周長為【總結(jié)】考察勾股定理的應(yīng)用ABCD如圖，在直角ABC中，ACB=90，B=60，D是斜邊AB的中點，BC=2，求ABCD【難度】【答案】【解

5、析】ACB=90，D是斜邊AB的中點，B=60，BDC是等邊三角形，ACB=90，B=60，A=30，ACB=90，BC=2，【總結(jié)】考察直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的運用ABCD如圖，已知：RABC中，ACB是直角，BC=15，AB比AC大9，CDAB于點D，求CDABCD【難度】【答案】【解析】設(shè)，解得：由等面積法可知：【總結(jié)】考察勾股定理和等面積法的應(yīng)用已知已直角三角形的周長為，斜邊上的中線為2，求這個直角三角形的面積【難度】【答案】【解析】斜邊上的中線為2，所以斜邊長為4直角三角形的周長為，兩直角邊之和為斜邊長為4，則兩直角邊的平方和為16，設(shè)兩直角邊分別為，則有，解得：，直角三角形的面

6、積為【總結(jié)】考察勾股定理和直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題時注意方法的運用ABCMMNDMEM如圖，直線MN是沿南北方向的一條公路，某施工隊在公路的點A測得北偏西30的方向上有一棟別墅C，朝正北方向走了400米到達點B后，測得別墅C在北偏西75的方向上，如果要從別墅ABCMMNDMEM請你求出這條小路的長（結(jié)果保留根號）【難度】【答案】【解析】根據(jù)垂線段最短，過C作垂線的垂線段是最短的過C作CDMN，垂足為D，過B作BEAC，垂足為E由題意可知：，在RtABE中，由勾股定理可得：在RtCBE中，在RtACD中，【總結(jié)】考察勾股定理和直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用APQMNB如圖，公路MN和公里PQ在點P處交匯

7、，且QPN=30，點A處有一所中學(xué)，AP=160米，假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪音的影響?請說明理由；如果受影響，已知拖拉機的速度是APQMNB【難度】【答案】24秒【解析】過A做ABMN，垂足為B在RtABP中，QPN=30，80100，所以學(xué)校會受到噪音的影響假設(shè)在C處開始受到噪音影響，在D處開始不受影響，由勾股定理可得：受影響的路程為120米=0.12千米學(xué)校受影響的時間為【總結(jié)】考察勾股定理和直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題時注意對題意的分析ABCDEF如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC進行翻折，

8、點DABCDEF【難度】【答案】10【解析】，設(shè)，則，解得：【總結(jié)】考察翻折圖形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用ABCDABCDPEF如圖，AB兩個村子在河邊CD的同側(cè)，A、B兩村到河邊的距離分別為AC=1千米，BD =3千米，CD =3千米現(xiàn)在河邊CD建一座水廠，建成后的水廠，可以直接向A、B兩村送水，也可以將水送一村再轉(zhuǎn)送另一村鋪設(shè)水管費用為每千米ABCDABCDPEF【難度】【答案】10萬元【解析】延長AC至點E，使得CE=AC，連接EB交CD于一點，則此時鋪設(shè)水管費用最低過E作EFCD，交BD延長線于F四邊形CEFD是長方形，由勾股定理可得：此時總費用為萬元【總結(jié)】考察勾股定理在實際問題中的應(yīng)用

9、如圖，在直角ABC中，BAC=90，AB=AC，E、F是BC上的兩點，且EAF=45，求證：【難度】ABCABCEFG【解析】過C作CGBC，使，連接、FGBAC=90，AB=AC， CGBC， ， AB=AC，BE=CG， ，即，在中，由勾股定理，可得：，又，【總結(jié)】本題綜合性較強，本質(zhì)上是對三角形的旋轉(zhuǎn)，同時結(jié)合了勾股定理進行解題 模塊二：勾股定理的逆定理的證明及應(yīng)用 模塊二：勾股定理的逆定理的證明及應(yīng)用知識精講知識精講逆定理：如果三角形一條邊的平方等于其他兩邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形；利用逆定理來判斷三角形是否為直角三角形在直角三角形的三邊中，首先弄清楚哪條邊是斜邊，另外應(yīng)用

10、逆定理時，最大邊的平方和等于較小兩邊的平方和例題解析例題解析下列命題中是假命題的是（）在ABC中，若B=C-A，則ABC是直角三角形在ABC中，若，則ABC是直角三角形在ABC中，若B：C：A=3:4:5，則ABC是直角三角形ABC中，若，則ABC是直角三角形【難度】【答案】C【解析】A答案中：，且，所以是直角三角形；B答案中：，所以是直角三角形；C答案中：，不是直角三角形；D答案中：設(shè)，所以是直角三角形【總結(jié)】考察判斷直角三角形的方法（1）將直角三角形的三邊都擴大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是_三角形；（2）若ABC的三邊a、b、c滿足則ABC是_三角形【難度】【答案】（1）直角三角形；（2）

11、等腰三角形或直角三角形【解析】（1）直角三角形的三邊都擴大相同的倍數(shù)后，三邊也滿足勾股定理，所以得到的三角形是直角三角形；由題意有：或，三角形為等腰三角形或直角三角形【總結(jié)】考察勾股定理的應(yīng)用（1）一根旗桿在離地面9米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處，則旗桿折斷之前有多少米?（2）如果梯子的底端離建筑物8米，那么17米長的梯子可以到達建筑物的高度是_米【難度】【答案】（1）24米；（2）15米【解析】（1）由題意可知：折斷的旗桿的部分長度為，則旗桿長為9+15=24米；由題意可得：可達到建筑物的高度為【總結(jié)】考察勾股定理在實際問題中的應(yīng)用的三邊分別為a、b、c，且滿足， 判斷ABC的形狀

12、【難度】【答案】見解析【解析】，ABC是直角三角形【總結(jié)】考察完全平方公式的應(yīng)用和勾股定理逆定理的運用如圖，公路上A、B兩點相距25千米，C、D為兩村莊，DAAB于點A，CBAB于點B，已知DA=15千米，CB=10千米，現(xiàn)要在公路AB上建一車站E若使得C、D兩村到E站的距離相等，E站建在離A站多少千米處?若使得C、D兩村到E站的距離和最小，E站建在離A站多少千米處?ABCABCDEFE【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)，即找出C點關(guān)于AB的對稱點F，聯(lián)結(jié)DF交AB于點，則此時的滿足C、D兩村到E站的距離和最小，設(shè)，解得：，【總結(jié)】考察勾股定理的應(yīng)用，注意最小值的求法ABCD如圖，在四邊形

13、ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且B=90，求ABCD【難度】【答案】135【解析】連接ACAB=BC=2，B=90，【總結(jié)】考察勾股定理及其逆定理的綜合運用ABCDEF如圖，已知在ABC中，B=90，AB=BC，AD是BC邊上的中線，EF是AD的垂直平分線，交AB于點E，交AC于點FABCDEF【難度】【答案】5：3【解析】連接ED，EF是AD的垂直平分線，設(shè)，則，解得：則，【總結(jié)】考察勾股定理和線段垂直平分線性質(zhì)的綜合運用如圖，ABC是等邊三角形，P是三角形內(nèi)一點，PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度數(shù)BAPBAPCD【答案】150【解析】在BC的下方作，在BD上截取

14、一點D，使得BD=BP，連接CD、PD，BPD為等邊三角形， 【總結(jié)】考察旋轉(zhuǎn)輔助線的作法和勾股定理逆定理的應(yīng)用ABCDEFGHP如圖，P是凸四邊形內(nèi)一點，過點P作AB、BC、CD、DA的垂線，垂足分別為E、F、G、H，已知AH=3，DH=4，DG=1，GC=5，CF=6，BF=ABCDEFGHP求四邊形ABCD的周長【難度】【答案】34【解析】由勾股定理可得：，等式相加后代入數(shù)據(jù)可得：，整理得：，即，BEAE=1， 解得： 所以周長為：【總結(jié)】考察勾股定理的應(yīng)用，注意解題方法的合理選擇已知，如圖，在ABC中，ACB=90，CDAB于點D，設(shè)AC=，BC=，AB=，CD= HYPERLINK

15、ABABCD（1）；（2）以、為三邊可構(gòu)成一個直角三角形【難度】【答案】見解析【解析】（1）由等面積可知：，；，以、為三邊可構(gòu)成一個直角三角形【總結(jié)】考察勾股定理及其逆定理的應(yīng)用、等面積法的綜合應(yīng)用模塊三：兩點間的距離公式模塊三：兩點間的距離公式知識精講知識精講距離公式：如果平面內(nèi)有兩點、，則A、B兩點間的距離為：當(dāng)、兩點同在軸上或平行于軸的直線上，則有，AB=；當(dāng)、兩點同在軸上或平行于軸的直線上，則有，AB=例題解析例題解析已知點A（2，2）、B（5，1）求A、B兩點間的距離；在軸上找一點C，使AC=BC【難度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；設(shè)，AC=BC，【總結(jié)】考察兩點之間距離公

16、式的應(yīng)用（1）已知A（，3）、B（3，+1）之間的距離為5，則的值是_；（2）已知點P在第二、四象限的平分線上，且到Q（2，-3）的距離為5，則點P的坐標為_ HYPERLINK 【難度】【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由題意有：，；設(shè)，或【總結(jié)】考察兩點之間距離公式的應(yīng)用（1）以點A（1，2）、B（-2，-1），C（4，-1）為頂點的三角形是_；（2）已知點A（0，3）、B（0，-1），ABC是等邊三角形，則點C的坐標是_【難度】【答案】（1）等腰直角三角形；（2）或【解析】（1），該三角形為等腰直角三角形；，解得：，或【總結(jié)】考察兩點之間距離公式的應(yīng)用已知直角坐標平面內(nèi)的點A（4，1

17、）、B（6，3），在坐標軸上求點P，使PA=PB【難度】【答案】或【解析】當(dāng)點P在x軸上時，設(shè)，PA=PB，當(dāng)點P在y軸上時，設(shè)，PA=PB，滿足條件的P點的坐標為或【總結(jié)】考察兩點之間距離公式的應(yīng)用，由于點P在坐標軸上，注意分類討論已知直角坐標平面內(nèi)的點P（4，），且點P到點A（-2，3）、B（-1，-2）的距離相等，求點P的坐標 【難度】【答案】【解析】由題意可知：，解得：，【總結(jié)】考察兩點之間距離公式的應(yīng)用已知點A（2，3）B（4，5），在軸上是否存在點P，使得的值最小?若存在，求出這個最小值；若不存在，說明理由 【難度】【答案】存在，最小值為【解析】找出A（2，3）關(guān)于x軸對稱的點為，

18、連接BC，則的值最小值為【總結(jié)】考察兩點之間距離公式的應(yīng)用已知直角坐標平面內(nèi)的點A（4，）、B（6，3），在軸上求一點C，使得ABC是等腰三角形 【難度】【答案】或或【解析】設(shè)，當(dāng)CA=CB時，；當(dāng)CA=AB時，或；當(dāng)CB=AB時，方程無解，所以不存在綜上，滿足條件的點C的坐標為：或或【總結(jié)】考察兩點之間距離公式的應(yīng)用，注意分類討論已知點A（4，0）、B（2，-1），點C的坐標是（，2-），若ABC是等腰三角形，求C的坐標【難度】【答案】或或或或【解析】由兩點間距離公式，可得：，當(dāng)CA=CB時，即， 解得：，；當(dāng)CA=AB時，即， 解得：，或；當(dāng)CB=AB時，即， 解得：，所以或綜上，滿足條件

19、的C點的坐標為：或或 或或【總結(jié)】本題主要考察兩點之間距離公式及勾股定理的應(yīng)用，由于題目中并沒有說明斜邊是哪條邊，因此要分類討論隨堂檢測隨堂檢測六根細木棒，她們的長度分別是2、4、6、8、10、12（單位：）從中取出三根，首尾順次連接搭成一個直角三角形，則這些木棒的長度分別為（）2、4、8B4、8、10C6、8、10D8、10、12【難度】【答案】C【解析】只有C答案滿足勾股定理逆定理【總結(jié)】考察勾股定理逆定理的應(yīng)用已知點A（2，4）B（-1，-3）C（-3，-2），那么ABC的形狀是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D以上都不是【難度】【答案】D【解析】，該三角形不是直角三角形，也

20、不是等腰三角形【總結(jié)】考察兩點之間的距離公式的應(yīng)用（1）如果等腰直角三角形一邊長為2，另外兩邊長為_；（2）如果直角三角形兩邊長為5和12，第三邊長度為_【難度】【答案】（1）2，或；（2）13或【解析】兩題目中的邊長可能為兩直角邊或一條直角邊和一條斜邊【總結(jié)】考察勾股定理的應(yīng)用ABCDEF如圖，將長方形ABCD沿AE折疊，使得點D落在BC上的點F處，AB=8，ADABCDEF【難度】【答案】【解析】由翻折性質(zhì)，可知：，設(shè)，解得：【總結(jié)】考察勾股定理的應(yīng)用ABCD如圖，在四邊形ABCD中，ABBC，AB=9，BC=12，CD=15，DA=求四邊形ABCD【難度】【答案】【解析】聯(lián)結(jié)AC，過C作

21、CEADABBC，AB = 9，BC=12，CD=15，為直角三角形 【總結(jié)】考察勾股定理及其逆定理的綜合運用ABDCE如圖，在ABC中，AD為BC邊上的中線，AB=5，AC=3，AD=ABDCE【難度】【答案】6【解析】延長AD至E，使得DF=AD，聯(lián)結(jié)CE，DF=AD，【總結(jié)】考察勾股定理逆定理的應(yīng)用和等底同高的面積相等的應(yīng)用若a、b、c是三角形的邊長且關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷這個三角形的形狀【難度】【答案】直角三角形【解析】由題意可知：，這個三角形為直角三角形【總結(jié)】考察勾股定理逆定理的應(yīng)用ABQPM如圖，在一條公路上有P、Q兩個車站，相距27，A、B是兩個村莊，APPQ，B

22、QPQ，且AP=15，BQ=24，現(xiàn)在要在公路上建立一個商場M使得A、B兩個村莊到商場M的距離相等，求PMABQPM【難度】【答案】【解析】設(shè)，解得：， 【總結(jié)】考察勾股定理的應(yīng)用及對最小值的應(yīng)用已知點,點C在軸上，使為直角直角三角形，求滿足條件的點C的坐標【難度】【答案】或或或【解析】設(shè)，則，當(dāng)時，則，解得：，或；當(dāng)時，則，解得：， ；當(dāng)時，則，解得：， 綜上所述，滿足條件的C點的坐標為：或或或 【總結(jié)】考察兩點之間的距離公式的運用，注意分類討論ABCMD如圖，在中，是ABCMD,求的度數(shù)【難度】【答案】135【解析】在過點C作CDCM于點C，在CD上截取一點D，使得CD=CM，連接BD，

23、【總結(jié)】考察旋轉(zhuǎn)輔助線的作法和勾股定理逆定理的應(yīng)用若在ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，ACB=90，則試用兩種方法證明【難度】【答案】見解析【解析】方法一：如圖，CDEADE，且B、C、D在一條直線上，聯(lián)結(jié)AECDEADE，梯形ABDE的面積為整理得：，即得證方法二、如圖，由四個ABC拼成以下圖形，則四邊形BCEG和四邊形ADFH都為正方形四邊形BCEG的面積為，四邊形ADFH的面積為，整理得：，即得證【總結(jié)】本題主要考查學(xué)生對勾股定理的理解及通過幾何說理方法說明定理的正確性課后作業(yè)課后作業(yè)下列命題中，正確的有()個腰長及底邊上的高對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等有一直角邊和斜邊對應(yīng)相等的

24、兩個直角三角形全等有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等A0B1C2D3【難度】【答案】C【解析】（1）（2）正確，（3）錯誤，分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況故選C【總結(jié)】考察三角形全等的判定如圖，圖中的字母、數(shù)代表正方形的面積，則A=_【難度】【答案】22【解析】根據(jù)勾股定理得A的面積等于另外兩正方形面積之差【總結(jié)】考察勾股定理的應(yīng)用如圖，中，斜邊，則的值是_【難度】【答案】2【解析】【總結(jié)】考察勾股定理的應(yīng)用已知點，點B的橫坐標為-3，且A、B兩點之間的距離為10，那么點B的坐標是_【難度】【答案】【解析】設(shè)，BA=10，解得：，【總結(jié)】考察兩點之間的距離公式的應(yīng)用現(xiàn)將直角三角形

25、ABC的直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，點C與點E重合，已知AC=3，BC=4，則CD等于_.【難度】【答案】【解析】由翻折性質(zhì)，可得：，設(shè)，解得：，【總結(jié)】考察翻折性質(zhì)及勾股定理的綜合應(yīng)用如果的周長為12，而那么的形狀是_【難度】【答案】直角三角形【解析】，聯(lián)立方程，解得：，為直角三角形【總結(jié)】考察勾股定理逆定理的應(yīng)用已知等腰直角三角形斜邊BC的長為2，為等邊三角形，那么A、D兩點的距離為_.【難度】【答案】或【解析】，垂直平分設(shè)DA交BC于E，等腰直角三角形斜邊BC的長為2，為等邊三角形，根據(jù)勾股定理和直角三角形的性質(zhì)可得：當(dāng)A點在內(nèi)部時，；當(dāng)A點在外部時，【總結(jié)】考察勾股定理和直角三角形的性質(zhì)的綜合運用，注意分類討論ABCQPD已知：如圖，已知在中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到，若，則兩個三角形重疊部分的面積為_.ABCQPD【難度】【答案】【解析】設(shè)AC與PQ相交于D由題意可得：，設(shè)，解得：【總結(jié)】考察