(新高考)高考數(shù)學一輪復習考點復習講義第19講《導數(shù)的應用-利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題》（解析版）

1、第19講 導數(shù)的應用利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題思維導圖知識梳理1.判斷、證明或討論函數(shù)零點個數(shù)的方法：利用零點存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0.直接法：判斷一個零點時，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明f(a)f(b)0；分類討論法：判斷幾個零點時，需要先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標準，再利用零點存在性定理，在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f(a)f(b)0.2.已知函數(shù)有零點求參數(shù)范圍常用的方法：(1)分離參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從f(x)中分離出參數(shù)，然后利用求導的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設條

2、件構(gòu)建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分類討論法：一般命題情境為沒有固定區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍.題型歸納題型1 討論函數(shù)的零點個數(shù)【例1-1】（2020漳州三模）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 （1）當 SKIPIF 1 0 時，證明： SKIPIF 1 0 ；（2）當 SKIPIF 1 0 時，討論函數(shù) SKIPIF 1 0 的零點個數(shù)【分析】（1）利用函數(shù)的導數(shù)的應用求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進一步證明出結(jié)果（2）利用分類討論

3、思想的應用和函數(shù)的二次求導的應用及構(gòu)造函數(shù)的應用求出函數(shù)零點的個數(shù)【解答】解：（1）證明：當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，所以： SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 單調(diào)遞減，所以 SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增，所以 SKIPIF 1 0 所以 SK

4、IPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上單調(diào)遞增， SKIPIF 1 0 綜上所述： SKIPIF 1 0 當且僅當 SKIPIF 1 0 時，等號成立（2）由于 SKIPIF 1 0 ，所以0為函數(shù) SKIPIF 1 0 的一個零點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0 時，由（1）知函數(shù) SKIPIF 1 0 僅有一個零點， SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0 時，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 單調(diào)遞減， SKIPIF 1 0 所以當 SK

5、IPIF 1 0 時，函數(shù) SKIPIF 1 0 無零點當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增由于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所以在 SKIPIF 1 0 上存在唯一的 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 單調(diào)遞減有 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 無零點當 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

6、0 時， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增又 SKIPIF 1 0 ，設 SKIPIF 1 0 （a） SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （a） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （a）在 SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增，有 SKIPIF 1 0 （a） SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 （a）在 SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增，有 SKIPIF 1 0 （a） SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0

7、 ，即 SKIPIF 1 0 因此函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 有一個零點所以當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 有兩個零點 SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0 時，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增， SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上無零點當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 有 SKI

8、PIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 無零點當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所以存在唯一的 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 單調(diào)遞減當 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SK

9、IPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 有1個零點所以當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 有2個零點綜上所述：當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 有一個零點，當 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 時，函數(shù) SKIPIF 1 0 有2個零點【跟蹤訓練1-1】（2020宜賓模擬）函數(shù) SKIPIF 1 0 的零點個數(shù)為 【分析】先求出導函數(shù) SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 求出極值點，進而求出函數(shù)的極值，根據(jù)

10、單調(diào)性和極值畫出函數(shù)的大致圖象，從而得到函數(shù)的零點個數(shù)【解答】解： SKIPIF 1 0 函數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 得： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增；當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 0 單調(diào)遞減；當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增， SKIPIF 1 0 函數(shù) SKIPIF 1 0 的極大值為 S

11、KIPIF 1 0 ，極小值為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 函數(shù) SKIPIF 1 0 的大致圖象如圖所示：，由圖象可知，函數(shù) SKIPIF 1 0 有2個零點，故答案為：2【跟蹤訓練1-2】（2020西安二模）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 為實數(shù)， SKIPIF 1 0 為自然對數(shù)的底數(shù)， SKIPIF 1 0 （1）求函數(shù) SKIPIF 1 0 的單調(diào)區(qū)間；（2）當 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時，判斷函數(shù) SKIPIF 1 0 零點的個數(shù)并證明【分析】（1）先對函數(shù)求導，然后結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性關系即可求解；（2）先由導數(shù)與

12、單調(diào)性關系分析函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)零點判定定理即可求解【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 恒成立，故 SKIPIF 1 0 的單調(diào)遞增區(qū)間 SKIPIF 1 0 ，沒有單調(diào)遞減區(qū)間； SKIPIF 1 0 時，易得，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 SKIPIF 1 0 ，單調(diào)遞減區(qū)間 SKIPIF 1 0 ，（2）當 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 的零點個數(shù)為2個，證明如下：由（1）在

13、 SKIPIF 1 0 單調(diào)遞減，且 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 有且僅有1個零點，又因為 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上單調(diào)遞增且 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上連續(xù)不間斷，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上有且僅有1個零點綜上 SKIPIF 1 0 有且僅有2個零點【名師指導】根據(jù)參數(shù)確定函數(shù)的零點個數(shù)有兩種解決方法：一種

14、是利用單調(diào)性與零點存在性定理求解，另一種是化原函數(shù)為兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的交點來求解題型2 由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【例2-1】（2020新課標）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 （1）當 SKIPIF 1 0 時，討論 SKIPIF 1 0 的單調(diào)性；（2）若 SKIPIF 1 0 有兩個零點，求 SKIPIF 1 0 的取值范圍【分析】（1）當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，求出導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對定義域分段，再由導函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號求得原函數(shù)的單調(diào)性；（2）當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 恒成立， SKIPIF 1 0 在

15、SKIPIF 1 0 上單調(diào)遞增，不合題意；當 SKIPIF 1 0 時，利用導數(shù)可得函數(shù)單調(diào)性，得到函數(shù)極值，結(jié)合題意由極小值小于0即可求得 SKIPIF 1 0 的取值范圍【解答】解：由題意， SKIPIF 1 0 的定義域為 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 （1）當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 單調(diào)遞減，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增

16、 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 0 上單調(diào)遞增；（2）當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 恒成立， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上單調(diào)遞增，不合題意；當 SKIPIF 1 0 時，令 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 單調(diào)遞減，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增 SKIPIF 1 0 的極小值也是最小值為 SKIPIF 1 0 又當 SKIPIF 1 0

17、 時， SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 要使 SKIPIF 1 0 有兩個零點，只要 SKIPIF 1 0 即可，則 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 綜上，若 SKIPIF 1 0 有兩個零點，則 SKIPIF 1 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【跟蹤訓練2-1】（2020廣東二模）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 ，若函數(shù) SKIPIF 1 0 有唯一零點，則 SKIPIF 1 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B S

18、KIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】求導，構(gòu)造輔助函數(shù) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1 0 時，可知 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上單調(diào)遞增， SKIPIF 1 0 ，即可判斷 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上為增函數(shù)，在 SKIPIF 1 0 上為減函數(shù)，由 SKIPIF 1 0 ，即可證明，當 SKIPIF 1 0

19、 時， SKIPIF 1 0 有唯一的零點；然后驗證 SKIPIF 1 0 時，函數(shù)的零點的個數(shù)，判斷選項即可【解答】解：因為 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，所以當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上單調(diào)遞增，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上為增函數(shù)，在 SKIPI

20、F 1 0 上為減函數(shù)，又 SKIPIF 1 0 ，所以當 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1 0 ，對 SKIPIF 1 0 恒成立，即當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，且當且僅當 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 有唯一的零點；排除 SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，有無數(shù)解，所以 SKIPIF 1 0 ，不成立，排除 SKIPIF

21、1 0 ，故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓練2-2】（2020新課標）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 （1）討論 SKIPIF 1 0 的單調(diào)性；（2）若 SKIPIF 1 0 有三個零點，求 SKIPIF 1 0 的取值范圍【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論 SKIPIF 1 0 的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，得到關于 SKIPIF 1 0 的不等式組，解出即可【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 遞增， SK

22、IPIF 1 0 時，令 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 遞增，在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 遞減，在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 遞增，綜上， SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 遞增， SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 遞增，在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 遞減，在 SKIPIF 1 0 ，

23、 SKIPIF 1 0 遞增；（2）由（1）得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 有三個零點，只需 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 【名師指導】利用函數(shù)零點求參數(shù)范圍的方法(1)分離參數(shù)(ag(x)后，將原問題轉(zhuǎn)化為yg(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線ya與yg(x)的圖象的交點個數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；(2)利用零點的存在性定理構(gòu)建不等式求解；(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關系問題，從而構(gòu)建不等式求解題型3 函數(shù)的零點與極值點的偏移問題【例3-1】（20

24、20張家口二模）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 是自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點（1）求實數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍；（2）若 SKIPIF 1 0 的兩個零點分別為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 證明： SKIPIF 1 0 【分析】（1）先對函數(shù)求導，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)關系對 SKIPIF 1 0 進行分類討論，然后結(jié)合單調(diào)性及零點判定定理可求；（2）先利用分析法分析與原不等式等價的不等式，然后結(jié)合特點考慮構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導數(shù)可求【解答】解：（1）由題意可得， SKIPIF 1 0 有2個零點，令 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 在 SKIP

25、IF 1 0 時恒成立，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上單調(diào)遞增，所以 SKIPIF 1 0 有2個零點可轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 0 有2個零點，因為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增，不可能有2個零點，當 SKIPIF 1 0 時，由 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增； SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 單調(diào)遞減， SKIPIF 1 0 （a） SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，則

26、 SKIPIF 1 0 （a） SKIPIF 1 0 ，此時 SKIPIF 1 0 恒成立，沒有零點，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 （a） SKIPIF 1 0 ，有一個零點，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 （a） SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上各有1個零點，符合題意，綜上， SKIPIF 1 0 的范圍 SKIPIF 1 0 ；（2）證明：要證 SKIPIF 1 0 ，只要證 SKIPI

27、F 1 0 ，即證 SKIPIF 1 0 ，由（1）可知， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，只要證 SKIPIF 1 0 ，設 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以只要證 SKIPIF 1 0 即證 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，即當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 即

28、 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 【跟蹤訓練3-1】（2020吳忠模擬）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 （1）求函數(shù) SKIPIF 1 0 的最大值；（2）若函數(shù) SKIPIF 1 0 存在兩個零點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，證明： SKIPIF 1 0 【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值即可；（2）要證 SKIPIF 1 0 即證 SKIPIF 1 0 ，只要證明 SKIPIF 1 0 ，即證 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 的定義域是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 遞增，在 SKIPIF 1 0 遞減，故 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ；（2）證明：由（1）得 SKIPIF 1 0 （1） SKIPI