用好法向量巧解高考題

1、用好法向量，巧解高考題為了和國(guó)際數(shù)學(xué)接軌，整日制一般高級(jí)中學(xué)教科書(shū)中增添了向量的內(nèi)容，跟著課程改革的進(jìn)行，向量的應(yīng)用將會(huì)更為寬泛，這在2004年高考數(shù)學(xué)試題中獲得了充分的表現(xiàn)。向量在研究空間幾何問(wèn)題中為學(xué)生供給了新的視角，但在教課中，我們的應(yīng)用還不夠，特別是法向量的應(yīng)用，教科書(shū)中只給了一個(gè)觀點(diǎn)：假如非零向量，那么叫做平面的法向量，實(shí)質(zhì)上，法向量的靈巧應(yīng)用，將使得本來(lái)很繁瑣的推理，變得思路清楚且規(guī)范。本文將介紹法向量在空間幾何證明、計(jì)算中的應(yīng)用。（一）直線的方向向量和平面的法向量分別為，則直線和平面所成的角等于向量所成的銳角（若所成的角為鈍角，則為其補(bǔ)角）的余角，即。(2003全國(guó)（理）18題)

2、如圖，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形,，側(cè)棱，分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面上的射影是的重心，（）求與平面所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（）求點(diǎn)到平面的距離。（）解：認(rèn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，成立如下圖的坐標(biāo)系，設(shè)，則，,，由得，設(shè)平面的法向量為，則，由，得，令得，平面的一個(gè)法向量為，與的夾角的余弦值是，與平面所成角為。當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線與平面所成的角為，此時(shí)直線的方向向量與平面的法向量垂直，我們可利用這一特點(diǎn)來(lái)證明直線與平面平行。（二）假如不在平面內(nèi)一條直線與平面的一個(gè)法向量垂直，那么這條直線和這個(gè)平面平行。（2004年高考湖南（理）19題）如圖，在底面是菱形的四棱錐中，,，點(diǎn)在上，且，I）

3、證明：；II）求認(rèn)為棱，與為面的二面角的大??；（）在棱上能否存在一點(diǎn)，使證明你的結(jié)論。（）解：認(rèn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸、軸，過(guò)點(diǎn)垂直平面的直線為軸，成立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題設(shè)條件，有關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，設(shè)平面的法向量為，則由題意可知，由得，令得，平面的一個(gè)法向量為設(shè)點(diǎn)是棱上的點(diǎn)，則，由得，當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，。相同，當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，直線與平面所成的角為，此時(shí)直線的方向向量與平面的法向量平行，我們可利用這一特點(diǎn)來(lái)證明直線與平面垂直。（三）設(shè)二面角的兩個(gè)半平面和的法向量分別為，設(shè)二面角的大小為，則二面角的平面角與兩法向量所成的角相等或互補(bǔ)，當(dāng)二面角的銳角時(shí)，；當(dāng)二面角為鈍角時(shí)，。我們?cè)賮?lái)

4、看2004年高考湖南（理）19題：（）解：由題意可知，,為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則由題意可知，,由得，令得，平面的一個(gè)法向量為，向量與夾角的余弦值是，由題意可知，認(rèn)為棱，與為面的二面角是銳角，所求二面角的大小為。我們知道當(dāng)兩個(gè)平面的法向量相互垂直時(shí)，兩個(gè)平面所成的二面角為直角，此時(shí)兩個(gè)平面垂直，我們可用這一特點(diǎn)來(lái)證明兩個(gè)平面垂直。（四）設(shè)兩個(gè)平面和的法向量分別為，若，則這兩個(gè)平面垂直。（1996年全國(guó)（文）23題）在正三棱柱中，分別是上的點(diǎn)，且，求證：平面平面。證明：認(rèn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，成立如下圖的坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則由題意可知，由得，令得，平面的一個(gè)法向量為，由題意可知，

5、平面的一個(gè)法向量為平面平面（五）設(shè)平面的法向量為，是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于在法向量上的投影的絕對(duì)值，即。我們?cè)賮?lái)看2003年全國(guó)（理）18題：（）解：設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，由，得，令得，平面的一個(gè)法向量為，而，點(diǎn)到平面的距離。我們知道直線與平面、兩個(gè)平面的距離都?xì)w納為點(diǎn)到平面的距離，故此法相同能夠解決直線與平面、兩個(gè)平行平面的距離。（六）設(shè)向量與兩異面直線都垂直（我們也把向量稱為兩異面直線的法向量），分別為異面直線上的點(diǎn)，則兩異面直線的距離等于法向量上的投影的絕對(duì)值，即。（1999年全國(guó)（理）21題）如圖，已知正四棱柱中，點(diǎn)在棱上，截面，且面與底面所成的角為，求異面直線與之間的距離。解：認(rèn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，成立如下圖的坐標(biāo)系，連接交于，連接，則就是面與底面所成的角的平面角，=，又截面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，設(shè)向量與兩異面直線都垂直，由，得，異面直線與之間的距離前面介紹了利用法向量解決空間幾何的證明與計(jì)算問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了幾何問(wèn)題的代數(shù)化