《因式分解》常見題型例析

1、PAGE10因式分解常見題型例析因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)分式、根式、和一元二次方程的重要基礎(chǔ)，是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要“工具”，也是各級(jí)考試的一個(gè)熱點(diǎn)，現(xiàn)將關(guān)于這部分知識(shí)的常見題型介紹如下。題型一：分解因式的意義此類考題多數(shù)以選擇題的形式出現(xiàn)。解決此類問(wèn)題需要對(duì)分解因式的概念正確的理解。例1下列從左到右的變形是分解因式的是（）（A）-44=2-16B2-y22=y-y2C2ab2ac=2abcD-1-2=-2-1分析:根據(jù)多項(xiàng)式分解因式的概念:把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式,叫做分解因式所以要判斷從左道右的變形是否是分解因式,關(guān)鍵是看左邊是否是多項(xiàng)式,右邊是否是整式的積解:選

2、C練習(xí):下面由左邊到右邊的變形中,是分解因式的是（）Aa-y=a-ayB2-24=-123C82-4=42Dy2-y=y-2答案:D題型二、直接提公因式分解此類題大多以選擇或填空題的形式出現(xiàn)，其中找出公因式是關(guān)鍵。求解時(shí)應(yīng)按照提公因式法則將公因式提出即可。例2分解因式2ab-c-3cb-c分析:把b-c看作一個(gè)整體,則b-c就是此多項(xiàng)式的公因式解:2ab-c-3cb-c=b-c2a-3b練習(xí):分解因式:2-3yabab3-2y答案:5ab-y題型三、直接利用公式因式分解求解此類題掌握所學(xué)的幾個(gè)公式的特點(diǎn)是關(guān)鍵，求解時(shí)應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)選擇合適的公式求解。例3、分解因式:a21=_析解：本題符合平

3、方差公式的特點(diǎn)，故可直接利用平方差公式求解。其結(jié)果為：（a1）（a1）練習(xí)：分解因式：=_答案：（2y）（2y）題型四、提公因式后再用公式此類題大多以填空或選擇題的形式出現(xiàn)，求解時(shí)應(yīng)首先將公因式提出，再選擇有關(guān)公式求解。例4、把a(bǔ)3ab2分解因式的正確結(jié)果是（）A、aabaabB、aa2b2C、aababD、aab2析解：本題首先將公因式a提出，提出公因式后發(fā)現(xiàn)余下的部分符合平方差公式，故再利用平方差公式求解，其結(jié)果應(yīng)選C練習(xí)分解因式：_答案：y（2）2題型五、利用因式分解進(jìn)行數(shù)字計(jì)算此類題求解時(shí)，應(yīng)首先觀察題目的特點(diǎn)，利用有關(guān)法則或公式將所求式巧妙的組合，再運(yùn)用因式分解求解。例5、計(jì)算：22

4、223218219220,析解：我們注意到：219220=219（21）=219，而219218=218。按此規(guī)律采用“逆序”的方法，將218再與前面的數(shù)字作減法運(yùn)算，并以此規(guī)律采用同樣的方法繼續(xù)運(yùn)算下去，直至求出最后的結(jié)果為止。其結(jié)果為：6。練習(xí)：答案：A題型六、利用因式分解求值此類題的常見的求解方法有（1）利用因式分解的方法，求出求值中各字母的值，再將其代入求值式求解。如本考點(diǎn)例6。（2）不需求出求值式中字母的值，而是先將求值式進(jìn)行因式分解，將其進(jìn)行改造，以使其能充分的應(yīng)用已知條件，再將已知條件整體代入求解，如本考點(diǎn)例7。（3）與完全平方式有關(guān)的求值問(wèn)題，求解此類題時(shí)，應(yīng)緊密結(jié)合完全平方式

5、的定義，根據(jù)各項(xiàng)的特點(diǎn)求解，注意求解時(shí)不要丟解。如本考點(diǎn)例8。例6、若非零實(shí)數(shù)a、b滿足4a2b2=4ab，則=_析解：因本題已知條件符合完全平方公式的特點(diǎn)，故應(yīng)首先將已知條件變?yōu)椋海?ab）2=0，據(jù)此得出a、b的關(guān)系：b=2a，再將其代入求值式即得結(jié)果：=2。練習(xí)：已知：24y244y5=0,求：y的值。答案：例7、已知：y=1,求的值。解析：本題無(wú)法直接求出字母、y的值，可首先將求值式進(jìn)行因式分解，使求值式中含有已知條件式，再將其整體代入求解。因=（y）2，所以將y=1代入該式得：=練習(xí)：已知ab=13,ab=40,求a2bab2的值。答案：520例8、已知：多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，求m

6、的值。析解：本題的求解應(yīng)緊扣“完全平方式”的特點(diǎn)進(jìn)行分析，注意不要丟解。由完全平方式各項(xiàng)的特點(diǎn)可知本題中my=5y，所以m=5。練習(xí)：已知：22（m3）16是一個(gè)完全平方式，求m的值。答案：7或1。題型七、利用因式分解求解整除問(wèn)題求解此類題時(shí)一般先將所考察的式子進(jìn)行因式分解，看其因式分解后是否能出現(xiàn)作為除數(shù)的因式，再去判斷。例9、設(shè)n為整數(shù)求證：（2n1）225能被4整除。析解：判斷（2n1）225能否被4整除，主要看其因式分解后是否能寫成4與另一個(gè)因式積的形式，因（2n1）225=4（n3）（n2），由此可知該式能被4整除。練習(xí)：證明：817279913能被45整除。（提示：原式=（34）7

7、（33）9（32）13=326（3231）=45324）。題型八、利用因式分解求解矩形、正方形問(wèn)題求解此類問(wèn)題大多首先將所給式子進(jìn)行因式分解，再根據(jù)題意求出矩形或正方形的邊長(zhǎng)求解。例10、已知矩形的面積為6m260m150（m0），長(zhǎng)與寬的比為3：2析解：由于矩形的面積等于長(zhǎng)寬，因此首先考慮將矩形的面積進(jìn)行因式分解，再依據(jù)題意求出矩形的長(zhǎng)與寬，繼續(xù)求解。因6m260m150=6（m5）2=3（m5）2（m5）,又由于該矩形的長(zhǎng)與寬的比為3：2，故知該矩形的長(zhǎng)與寬分別為：3（m5）、2（m5）因此其周長(zhǎng)為10m50練習(xí)：已知：一正方形的面積為：9212y4y2，且0,y0,求該正方形的周長(zhǎng)。答案

8、：128y。題型九、利用因式分解求解實(shí)際問(wèn)題此類題的求解一般是先將求值式進(jìn)行因式分解（大多采用提公因式法），目的是為了計(jì)算簡(jiǎn)便，再將有關(guān)條件代入簡(jiǎn)潔求解。例11、已知電學(xué)公式：U=IR1IR2IR3，當(dāng)R1=,R2=,I=2時(shí)，求U的值。析解：本題直接代入求解較麻煩，可首先將求值式進(jìn)行因式分解，再將字母的值代入求解。因U=IR1IR2IR3=I（R1R2R3），將條件R1=,R2=,I=2代入上式得：原式=100。練習(xí)：某設(shè)計(jì)院在設(shè)計(jì)的建筑物中，需要繞制三個(gè)半徑為0.24m,0.37m,0.39m的鋼筋圓環(huán)，問(wèn)所需鋼筋有多少（?。┐鸢福?.28m題型十、求解數(shù)字規(guī)律探索問(wèn)題求解此類題，應(yīng)注意觀

9、察題目的特點(diǎn)，進(jìn)行深入地分析、對(duì)比、歸納，必要時(shí)可將已知條件進(jìn)行變形，并充分應(yīng)用有關(guān)公式找到其規(guī)律。（如本考點(diǎn)例12）例12、觀察下列各式91=8164=12259=163616=20這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n（n1）表示自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示這個(gè)規(guī)律為。析解：觀察上面各式的左邊均可寫成兩個(gè)數(shù)差的形式，故本題可借助平方差公式巧妙求解。求解時(shí)可首先將上面各數(shù)可寫為：321=84222=125232=166242=20再根據(jù)各式與相應(yīng)等式序數(shù)的關(guān)系，推知本題的規(guī)律為：（n2）2n2=4（n1）。練習(xí)：請(qǐng)先觀察下列各式，再填空321=815232=82（1）7252=8（）（2）92（）=84（3）（）292=85（4）132（）2=8（）通過(guò)觀察歸納，寫出反映這種規(guī)律的一般結(jié)論：。答案：（1）3（2）7（3）11（4）11，6結(jié)論是：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除，或是8的倍數(shù)。題型十一、因式分解開放題此類題的求解方法較靈活，往往解法不唯一，須認(rèn)真分析題意，按要求選擇簡(jiǎn)潔且有把握的式子求解。例13、請(qǐng)任意寫一個(gè)能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的二次三項(xiàng)式（該二次三項(xiàng)式的字母、系數(shù)不限）。析解：本