框架結構內力與位移計算

1、高層建筑結構與抗震輔導材料四框架結構內力與位移計算學習目標1、熟悉框框架結構構在豎向向荷載和和水平荷荷載作用用下的彎彎矩圖形形、剪力力圖形和和軸力圖圖形；2、熟悉框框架結構構內力與與位移計計算的簡簡化假定定及計算算簡圖的的確定；3、掌握豎豎向荷載載作用下下框架內內力的計計算方法法分層法法；4、掌握水水平荷載載作用下下框架內內力的計計算方法法反彎點點法和D值法，掌掌握框架架結構的的側移計計算方法法。學習重點1、豎向荷荷載作用用下框架架結構的的內力計計算；2、水平荷荷載作用用下框架架結構的的內力及及側移計計算?？蚣茉诮Y構構力學中中稱為剛剛架，剛剛架的內內力和位位移計算算方法很很多，可可分為精精確算

2、法法和近似似算法。精精確法是是采用較較少的計計算假定定，較為為接近實實際情況況地考慮慮建筑結結構的內內力、位位移和外外荷載的的關系，一一般需建建立大型型的代數(shù)數(shù)方程組組，并用用電子計計算機求求解；近近似算法法對建筑筑結構引引入較多多的假定定，進行行簡化計計算。由由于近似似計算簡簡單、易易于掌握握，又能能反映剛剛架受力力和變形形的基本本特點，因因此近似似的計算算方法仍仍為工程程師們所所常用。本章內容主主要介紹紹框架結結構在荷荷載作用用下內力力與位移移的近似似計算方方法。其其中分層層法用于于框架結結構在豎豎向荷載載作用下下的內力力計算，反反彎點法法和D值法用用于框架架結構在在水平荷荷載作用用下的內

3、內力計算算。既然然是近似似計算，就就需要熟熟悉框架架結構的的計算簡簡圖和各各種計算算方法的的簡化假假定。一、框架結結構計算算簡圖的的確定一般情況下下，框架架結構是是一個空空間受力力體系，可可以按照照第四章章所述的的平面結結構假定定的簡化化原則，忽忽略結構構縱向和和橫向之之間的空空間聯(lián)系系，忽略略各構件件的抗扭扭作用，將將框架結結構簡化化為沿橫橫方向和和縱方向向的平面面框架，承承受豎向向荷載和和水平荷荷載，進進行內力力和位移移計算。結構設計時時一般取取中間有有代表性性的一榀榀橫向框框架進行行分析，若若作用于于縱向框框架上的的荷載各各不相同同，則必必要時應應分別進進行計算算?？蚣芙Y構的的節(jié)點一一般

4、總是是三向受受力的，但但當按平平面框架架進行結結構分析析時，則則節(jié)點也也相應地地簡化。在在常見的的現(xiàn)澆鋼鋼筋混凝凝土結構構中，梁梁和柱內內的縱向向受力鋼鋼筋都將將穿過節(jié)節(jié)點或錨錨入節(jié)點點區(qū)，這這時節(jié)點點應簡化化為剛接接節(jié)點；對于現(xiàn)現(xiàn)澆鋼筋筋混凝土土柱與基基礎的連連接形式式，一般般也設計計成固定定支座，即即為剛性性連接。作用于框架架結構上上的荷載載有豎向向荷載和和水平荷荷載兩種種。豎向向荷載包包括結構構自重及及樓（屋屋）面活活荷載，一一般為分分布荷載載，有時時也有集集中荷載載。水平平荷載包包括風荷荷載和水水平地震震作用，一一般均簡簡化成節(jié)節(jié)點水平平集中力力。二、豎向荷荷載作用用下框架架內力的的計

5、算框架結構在在豎向荷荷載作用用下的內內力計算算采用分分層法。1基本假假定（1）在豎豎向荷載載作用下下，不考考慮框架架的側移移；（2）每層層梁上的的荷載對對其他各各層梁的的影響可可忽略不不計。2計算步步驟（1）計算算單元的的確定 根據計計算假定定，計算算時先將將各層梁梁及其上上下柱所所組成的的框架作作為一個個獨立的的計算單單元，而而按無側側移的框框架進行行計算（上上下柱的的遠端均均假設為為固定端端）。（2）各桿桿件彎矩矩的計算算 一般用用結構力力學中的的彎矩分分配法，分分別計算算每個單單層框架架中梁與與柱的彎彎矩。在用彎矩分分配法計計算各桿桿件的彎彎矩之前前，應先先計算各各桿件在在節(jié)點處處的彎矩

6、矩分配系系數(shù)及傳傳遞系數(shù)數(shù)。對底底層基礎礎處，可可按原結結構確定定其支座座形式，若若為固定定支座，傳傳遞系數(shù)數(shù)為1/2；若為為鉸支座座，傳遞遞系數(shù)為為0。至于于其余柱柱端，在在分層計計算時，假假定上下下柱的遠遠端為固固定端，而而實際上上，上下下柱端在在荷載作作用下會會產生一一定轉角角，是彈彈性約束束端。對對這一問問題，可可在計算算分配系系數(shù)時，用用調整柱柱的線剛剛度來考考慮支座座轉動影影響。因因此，對對這類柱柱子的線線剛度應應乘一個個折減系系數(shù)0.9，相應應的傳遞遞系數(shù)為為1/3。（3）彎矩矩匯總 分層計計算所得得的梁的的彎矩即即為最后后的彎矩矩，由于于每一層層柱屬于于上、下下兩層，因因此每一

7、一根柱的的彎矩需需由上、下下兩層計計算所得得的彎矩矩值疊加加得到。（4）不平平衡彎矩矩的再分分配 疊加后后的彎矩矩圖為原原框架的的近似彎彎矩圖，由由于柱為為上、下下兩層之之和，因因此疊加加后的彎彎矩圖往往往在框框架節(jié)點點處不平平衡，一一般相差差很小，若若欲進一一步修正正，則可可將這些些不平衡衡力矩再再進行一一次彎矩矩分配。分層法的的具體計計算過程程和計算算要點，可可參見課課本中的的例5-1。三、水平荷荷載作用用下框架架內力的的計算作用在框架架上的水水平荷載載主要有有風荷載載和地震震作用，它它們均可可簡化成成作用在在框架節(jié)節(jié)點上的的水平集集中力。由于水平荷荷載均可可簡化為為水平集集中力的的形式，

8、所所以高層層多跨框框架在水水平荷載載作用下下的彎矩矩圖通常常如圖X-1所示。各各桿的彎彎矩圖均均為直線線，且均均有一彎彎矩為零零的點，稱稱為反彎彎點。該該點彎矩矩為零，但但有剪力力，如圖圖X-1中所示示的。如如果能求求出各柱柱的剪力力及其反反彎點位位置，則則各柱端端彎矩就就可算出出，進而而根據節(jié)節(jié)點力矩矩平衡可可算出梁梁端彎矩矩。因此此必須確確定各柱柱間剪力力的分配配比和確確定各柱柱的反彎彎點的位位置。圖X-1 水平荷荷載作用用下框架架的彎矩矩圖框架結構在在水平荷荷載作用用下的內內力計算算方法主主要反彎彎點法和和D值法，兩兩種計算算方法的的計算步步驟相同同，只是是在確定定各柱間間剪力的的分配比

9、比和確定定各柱的的反彎點點的位置置時有所所區(qū)別。下下面通過過反彎點點法來具具體介紹紹框架結結構在水水平力作作用下的的計算過過程，至至于D值法，僅僅介紹其其與反彎彎點法的的不同之之處。1反彎點點法反彎點法的的適用條條件為梁梁的線剛剛度與柱柱的線剛剛度之比比大于3，其計計算過程程如下：（1）反彎彎點位置置的確定定 若梁梁的線剛剛度無限限大，則則柱兩端端產生相相對水平平位移時時，柱兩兩端無任任何轉角角，且彎彎矩相等等，反彎彎點在柱柱中點處處。當梁梁柱線剛剛度之比比大于3時，柱柱端轉角角很小，反反彎點接接近柱中中。因此此反彎點點法假定定：對于于上部各各層柱，反反彎點在在柱中點點；對于于底層柱柱，由于于

10、柱腳為為固定端端，轉角角為零，但但柱上端端轉角不不為零，且且上端彎彎矩較小小，反彎彎點上移移，故取取反彎點點在距固固定端2/3高度處處。（2）柱的的側移剛剛度 側移移剛度d表示框框架柱兩兩端有相相對單位位側移時時柱中產產生的剪剪力，它它與柱兩兩端的約約束情況況有關。由由于反彎彎點法中中梁的剛剛度非常常大，可可近似認認為節(jié)點點轉角為為零，則則根據兩兩端無轉轉角但有有單位水水平位移移時桿件件的桿端端剪力方方程，最最后得 （X-1）式中，V為為柱中剪剪力，為為柱層間間位移，h為層高高。（3）同同一樓層層各柱剪剪力的分分配 根據據力的平平衡條件件、變形形協(xié)調條條件和柱柱側移剛剛度的定定義，可可以得出出

11、第j層第i根柱的的剪力為為： （X-2）式中，為第第j層各柱柱的剪力力分配系系數(shù)，m為第j層柱子子總數(shù)，為第j層以上所有水平荷載的總和，即第j層由外荷載引起的總剪力。這里，需要特別強調的是，與第j層所承擔的水平荷載是有所區(qū)別的。由式（X-2）可以以看出，在在同一樓樓層內，各各柱按側側移剛度度的比例例分配樓樓層剪力力。（4）柱端端彎矩的的計算 由于于前面已已經求出出了每一一層中各各柱的反反彎點高高度和柱柱中剪力力，那么么柱端彎彎矩可按按下式計計算： （X-3）式中，為第第j層第i根柱的的反彎點點高度，為第j層的柱高。（5）梁端端彎矩的的計算 梁端端彎矩可可由節(jié)點點平衡求求出，如如圖X-2所示。圖

12、X-2 節(jié)點彎彎矩對于邊柱柱 （X-4）對于中柱柱 （X-55a） （X-55b）式中，、分分別為左左邊梁和和右邊梁梁的線剛剛度。（6）其其他內力力的計算算 進一一步，還還可根據據力的平平衡條件件，由梁梁兩端的的彎矩求求出梁的的剪力；由梁的的剪力，根根據節(jié)點點的平衡衡條件，可可求出柱柱的軸力力。綜上所述，反反彎點法法的要點點，一是是確定反反彎點高高度，一一是確定定剪力分分配系數(shù)數(shù)。在確確定它們們時都假假設節(jié)點點轉角為為零，即即認為梁梁的線剛剛度為無無窮大。這這些假設設，對于于層數(shù)不不多的框框架，誤誤差不會會很大。但但對于高高層框架架，由于于柱截面面加大，梁梁柱相對對線剛度度比值相相應減小小，反

13、彎彎點法的的誤差較較大。2修正反反彎點法法D值法反彎點法在在考慮柱柱側移剛剛度d時，假假設節(jié)點點轉角為為0，亦即即橫梁的的線剛度度假設為為無窮大大。對于于高層建建筑，由由于各種種條件的的限制，柱柱子截面面往往較較大，經經常會有有梁柱相相對線剛剛度比較較接近，甚甚至有時時柱的線線剛度反反而比梁梁大。這這樣，上上述假設設將產生生較大誤誤差。另另外，反反彎點法法計算反反彎點高高度y時，假假設柱上上下節(jié)點點轉角相相等，這這樣誤差差也較大大，特別別在最上上和最下下數(shù)層。此此外，當當上、下下層的層層高變化化大，或或者上、下下層梁的的線剛度度變化較較大時，用用反彎法法計算框框架在水水平荷載載作用下下的內力力

14、時，其其計算結結果誤差差也較大大?？紤]到以上上的影響響因素和和多層框框架受力力變形特特點，可可以對反反彎點法法進行修修正，從從而形成成一種新新的計算算方法D值法。D值法相相對于反反彎點法法，主要要從以下下兩個方方面做了了修正：修正柱柱的側移移剛度和和調整反反彎點高高度。修修正后的的柱側移移剛度用用D表示，故故該方法法稱為“D值法”。D值法的的計算步步驟與反反彎點法法相同，計計算簡單單、實用用，精度度比反彎彎點法高高，因而而在高層層建筑結結構設計計中得到到廣泛應應用。D值法也要要解決兩兩個主要要問題：確定側側移剛度度和反彎彎點高度度。（1）修正正后柱的的側移剛剛度 考慮慮柱端的的約束條條件的影影

15、響，修修正后的的柱側移移剛度D用下式式計算： （X-6）式中，為與與梁、柱柱線剛度度有關的的修正系系數(shù)，表表X-1給出了了各種情情況下值值的計算算公式。由表X-11中的公公式可以以看到，梁梁、柱線線剛度的的比值愈愈大，值值也愈大大。當梁梁、柱線線剛度比比值為時時，=1，這時D值等于于反彎點點法中采采用的側側移剛度度d。（2）同一一樓層各各柱剪力力的計算算 求出出了D值以后后，與反反彎點法法類似，假假定同一一樓層各各柱的側側移相等等，則可可求出各各柱的剪剪力： （X-7）式中，為第第j層第i柱所受受剪力，為第j層第i柱的側移剛度。表X-1 值和K值計算算表邊柱中柱一般層底層（3）各層層柱的反反彎

16、點位位置 各層柱柱的反彎彎點位置置與柱兩兩端的約約束條件件或框架架在節(jié)點點水平荷荷載作用用下，該該柱上、下下端的轉轉角大小小有關。影影響柱兩兩端轉角角大小的的因素（影影響柱反反彎點位位置的因因素）主主要有三三個：該層所所在的樓樓層位置置，及梁梁、柱線線剛度比比；上、下下橫梁相相對線剛剛度比值值；上、下下層層高高的變化化。在D值法中中，通過過力學分分析求出出標準情情況下的的標準反反彎點剛剛度比（即即反彎點點到柱下下端距離離與柱全全高的比比值），再再根據上上、下梁梁線剛度度比值及及上、下下層層高高變化，對對進行調調整。因因此，可可以把反反彎點位位置用下下式表達達： （X-8）式中，y為為反彎點點距

17、柱下下端的高高度與柱柱全高的的比值（簡簡稱反彎彎點高度度比），y1為考慮慮上、下下橫梁線線剛度不不相等時時引入的的修正值值，y2、y3為考慮慮上層、下下層層高高變化時時引入的的修正值值，h為該柱柱的高度度（層高高）。為了方便使使用，系系數(shù)、和已制成成表格，可可通過查查表的方方式確定定其數(shù)值值。（4）彎矩矩圖的繪繪制 當各層層框架柱柱的側移移剛度D和各層層柱反彎彎點位置置yh確定后后，與反反彎點法法一樣，就就可求出出框架的的彎矩圖圖。四、水平荷荷載作用用下框架架側移的的計算框架側移主主要是由由水平荷荷載引起起的，本本節(jié)介紹紹框架側側移的近近似計算算方法。由由于設計計時需要要分別對對層間位位移及頂

18、頂點側移移加以限限制，因因此需要要計算層層間位移移及頂點點側移。1框架側側移的變變形特點點一根懸臂柱柱在均布布荷載作作用下，可可以分別別計算彎彎矩作用用和剪力力作用引引起的變變形曲線線，二者者形狀不不同，如如圖X-3虛線所所示。由由剪切引引起的變變形形狀狀愈到底底層，相相鄰兩點點間的相相對變形形愈大，當q向右時，曲線凹向左。由彎矩引起的變形愈到頂層，變形愈大，當q向右時，曲線凹向右。圖X-3 剪力和和彎矩引引起的側側移對于框架結結構，如如果只考考慮梁柱柱桿件彎彎曲產生生的側移移，則側側移曲線線如圖X-4（a）虛線線所示，它它與懸臂臂柱剪切切變形的的曲線形形狀相似似，可稱稱為剪切切型變形形曲線。

19、如如果只考考慮柱軸軸向變形形形成的的側移曲曲線，如如圖X-4（b）虛線線所示，它它與懸臂臂柱彎曲曲變形形形狀相似似，可稱稱為彎曲曲型變形形曲線。為為了便于于理解，可可以把框框架看成成一根空空腹的懸懸臂柱，它它的截面面高度為為框架跨跨度。如如果通過過反彎點點將某層層切開，空空腹懸臂臂柱的彎彎矩M和剪力V如圖X-5所示。M是由柱柱軸向力力、這一力力偶組成成，V是由柱柱截面剪剪力、組成。梁梁柱彎曲曲變形是是由剪力力、引起，相相當于懸懸臂柱的的剪切變變形，所所以變形形曲線呈呈剪切型型。柱軸軸向變形形由軸力力產生，相相當于彎彎矩M產生的的變形，所所以變形形曲線呈呈彎曲形形。圖X-4 水平荷荷載作用用下框

20、架架變形圖圖圖X-5 空腹懸懸臂柱2框架側側移計算算框架在水平平荷載作作用下的的總側移移，可近近似地看看做由梁梁柱彎曲曲變形和和柱的軸軸向變形形所引起起側移的的疊加。 （X-9）式中，為由由框架梁梁柱彎曲曲變形引引起的側側移，由框架架柱軸向向變形引引起的側側移。（1）由梁梁柱彎曲曲變形引引起的側側移根據框架在在水平荷荷載作用用下的變變形圖，見見圖X-4（a），有有 （X-110）其中，第ii層間相相對側移移 （X-111）式中，為第第i層的樓樓層剪力力，等于于第i層以上上所有水水平力之之和；為為第i層各柱柱側移剛剛度之和和。（2）由柱柱軸向變變形引起起的側移移當房屋層數(shù)數(shù)較多時時，可近近似地將將框架邊邊柱軸向向變形及及水平位位移看做做連續(xù)變變化，見見圖X-4（b）。根根據結構構力學的的知識，框框架在軸軸力作用用下頂點點最大水水平位移移為 （X-112）若為均布荷荷載，則則，代入入式（X-112）得 （X-113）其中為框架架底部總總剪力， （X-114）同理，可求求得頂點點集中力力F作用下下的，用用式（X-113）表達達，即 （X-115）則其中， （X-116）同樣亦可用用式（X-113）表示示在倒三三角形荷荷載作用用下的，其其中， （X-117）式（X-114）、式式（X-116）、式式（X-117）已制制成圖表表