3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)(人教A版2019選修第一冊)_第1頁
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文檔簡介

1、3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)(第2課時)第 3 章圓錐曲線的方程人教A版2019選修第一冊01和橢圓有關(guān)的實際問題02求動點(diǎn)軌跡03判斷直線與橢圓的位置關(guān)系04弦長、中點(diǎn)弦問題目錄學(xué)習(xí)目標(biāo)1根據(jù)幾何條件求出橢圓的方程;2.進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用;3.會判斷直線與橢圓的位置關(guān)系焦點(diǎn)位置x軸y軸方程圖形范圍對稱性頂點(diǎn)離心率復(fù)習(xí):橢圓的簡單幾何性質(zhì):F1F2MxyOB2B1A1A2F1F2MxyOB2B1A1A21.和橢圓有關(guān)的實際問題解: 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系, 設(shè)所求橢圓方程為在RtBF1F2中,由橢圓的性質(zhì)知,所以,所求的橢圓方程為1(多選)中國的嫦娥四號探測器,簡稱“四號

2、星”,是世界首個在月球背面軟著陸和巡視探測的航天器.2019年9月25日,中國科研人員利用嫦娥四號數(shù)據(jù)精確定位了嫦娥四號的著陸位置,并再現(xiàn)了嫦娥四號的落月過程,該成果由國際科學(xué)期刊自然通訊在線發(fā)表.如圖所示,現(xiàn)假設(shè)“四號星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后,在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道和的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道和的長軸長,則下列式子正確的是A.a1c1a2c2 B .a1c1a2c2練一練解析由圖可知,a1a2,c1c2所以a1c1a2c2,所以A不正

3、確;在橢圓軌道中可得,a1c1|PF|,在橢圓軌道中可得,|PF|a2c2,所以a1c1a2c2,所以B正確;解決和橢圓有關(guān)的實際問題的思路(數(shù)學(xué)抽象)(1)通過數(shù)學(xué)抽象,找出實際問題中涉及的橢圓,將原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.(2)確定橢圓的位置及要素,并利用橢圓的方程或幾何性質(zhì)求出數(shù)學(xué)問題的解.(3)用解得的結(jié)果說明原來的實際問題.2.求動點(diǎn)軌跡例6 動點(diǎn)M(x, y)與定點(diǎn)F(4, 0)的距離和M到定直線l : 的距離的比是常數(shù) 求動點(diǎn)M的軌跡.OxyMHFld解:證明: 平面內(nèi)的動點(diǎn)M(x, y)到定點(diǎn)F(c, 0)的距離與它到定直線 的距離的比是常數(shù) 則點(diǎn)M的軌跡是橢圓.OxyMHFldl

4、F橢圓的第二定義:(課本117頁)橢圓的第二定義:(課本117頁)OxyMHFldlF 平面內(nèi)的動點(diǎn)M(x, y)到定點(diǎn)F(c, 0)的距離與它到定直線 的距離的比是常數(shù) 則點(diǎn)M的軌跡是橢圓.其中,定點(diǎn)F(c,0)是橢圓的焦點(diǎn); 定直線 叫做橢圓的準(zhǔn)線; 常數(shù) 是橢圓的離心率.3.判斷直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系及判斷1.相離:2.相切:3.相交:直線與橢圓組成的方程組無解直線與橢圓組成的方程組只有一組解直線與橢圓組成的方程組有兩組解例7OxyF2lF1解:練一練總結(jié):判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的方法注意 方程組解的個數(shù)與直線與橢圓的公共點(diǎn)的個數(shù)之間是等價關(guān)系 4.弦長、中點(diǎn)弦問題

5、如圖示,若直線l與橢圓交于A, B兩點(diǎn),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元,得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,然后運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式及根與系數(shù)的關(guān)系,即可求弦長,具體公式為:其中k為直線l的斜率, a是方程組消元后的一元二次方程的二次項系數(shù), 是判別式.弦長公式:OxyF2lF1AB弦長公式弦長公式求弦長的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)間距離公式求弦長.(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程,消元得到關(guān)于一個未知數(shù)的一元二次方程,利用弦長公式:|P1P2| ,其中x1,x2(y1,y2)是上述一元二次方程的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長.中點(diǎn)弦問題 : (點(diǎn)差

6、法)OxyF2lF1PBA已知斜率為1的直線l過橢圓 y21的右焦點(diǎn)F,交橢圓于A,B兩點(diǎn),求弦AB的長.解設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),練一練課本練習(xí)1. 求下列直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo): 2. 經(jīng)過橢圓 的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為60的直線l,直線l與橢圓相交于A, B兩點(diǎn),求線段AB的長.解:隨堂檢測解析最短弦是過焦點(diǎn)F(c,0)且與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直的弦.2.已知直線l:xy30,橢圓 y21,則直線與橢圓的位置關(guān)系是A.相離 B.相切 C.相交 D.相交或相切(24)24532640, 直線與橢圓相離.3.已知F是橢圓 1的一個焦點(diǎn),AB為過橢圓中心的一條弦,則AB

7、F面積的最大值為A.6 B.15 C.20 D.124.(多選)某顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心F為一個焦點(diǎn)的橢圓,如圖所示,已知它的近地點(diǎn)A(離地面最近的點(diǎn))距地面m千米,遠(yuǎn)地點(diǎn)B(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))距地面n千米,并且F,A,B三點(diǎn)在同一直線上,地球半徑約為R千米,設(shè)該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a,2b,2c,則解析地球的中心是橢圓的一個焦點(diǎn),acmR ,故A正確;acnR,故B正確;(*)中兩式相加mn2a2R,可得2amn2R,故C不正確;a2c2b2 ,123455.已知橢圓4x2y21及直線yxm,當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時,則實數(shù)m的取值范圍是_.當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時,4m245(m21)0,整理得5x28mx4m240.(8m)245(4m24)16(5m2).7.某海域有A,B兩個島嶼,B島在A島正東4海里處,經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn),某種魚群洄游的路線是曲線C,曾有漁船在距A島、B島距離和為8海里處發(fā)現(xiàn)過魚群.以A,B所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;解由題意知曲線C是以A,B為焦點(diǎn)且長軸長為8的橢圓,(2)某日,研究人員在A,B兩島同時用聲納探測儀發(fā)出不同頻率的探測信號(傳播速度相同),A,B兩島收到魚群在P處反射信號的時間比為53,問你能否確定P處的位置(即

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