高考數(shù)學一輪復習 5.1 平面向量的概念及其線性運算精品課件 新人教A

1、要點梳理1.向量的有關概念 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向 量的大小叫做向量的 （或模）. (2)零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的. (3)單位向量：長度等于 的向量.第五編 平面向量5.1 平面向量的概念及其線性運算大小方向長度長度為0任意1個單位基礎知識 自主學習(4)平行向量：方向 或 的 向量.平行向量又叫 ，任一組平行向量都可以移到同一條直線上.規(guī)定：0與任一向量 .(5)相等向量：長度 且方向 的向量.(6)相反向量：長度 且方向 的向量.相同相反非零共線向量平行相等相同相等相同2.向量的加法和減法 （1）加法 法則：服從三角形法則、平行四邊形法則. 運算性質：

2、a+b= (交換律）； (a+b)+c= （結合律）； a+0= = . (2)減法 減法與加法互為逆運算； 法則：服從三角形法則.b+aa+(b+c)0+aa3.實數(shù)與向量的積 （1）長度與方向規(guī)定如下： | a|= ; 當 時， a與a的方向相同；當 時， a與a的方向相反；當 =0時， a= . (2)運算律：設 、R，則： (a)= ;( +)a= ; (a+b)= .| |a| 0 00( )a a+a a+ b4.兩個向量共線定理 向量b與a(a0)共線的充要條件是 .有且只有一個實數(shù) ，使得b= a基礎自測1.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是（） A. B.

3、C. D. =0 解析 A顯然正確，由平行四邊形法則知B正確. ，故C錯誤.D中 =0.C2.如圖所示，D是ABC的邊AB上的中點，則向量 等于（） A. B. C. D. 解析 D是AB的中點， A3.（2009北京理，2）已知向量a、b不共線，c=ka+b(kR),d=a-b.如果cd，那么（） A.k=1且c與d同向 B.k=1且c與d反向 C.k=-1且c與d同向 D.k=-1且c與d反向 解析 cd,c= d,即ka+b= (a-b).又a、b不共線， k= , =-1, 1=- , k=-1.c=-d,c與d反向.D4.下列各命題中，真命題的個數(shù)為（） 若|a|=|b|，則a=b或

4、a=-b； 若 ，則A、B、C、D是一個平行四邊形的四個頂點； 若a=b,b=c，則a=c; 若ab,bc,則ac. A.4B.3C.2D.1解析 由|a|=|b|可知向量a,b模長相等但不能確定向量的方向，如在正方形ABCD中，| |=| |，但 與 既不相等也不互為相反向量，故此命題錯誤.由 可得| |=| |且 ，由于 可能是A，B，C，D在同一條直線上，故此命題不正確.正確.不正確.當b=0時， ac不一定成立.答案 D5.在四邊形ABCD中， =a+2b， =-4a-b， =-5a-3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為（） A.梯形 B.平行四邊形 C.菱形 D.矩形 解析 由

5、已知得 =-8a-2b， 故 ，由共線向量知識知ADBC， 且|AD|=2|BC|，故四邊形ABCD為梯形，所以選A.A題型一 平面向量的有關概念【例1】給出下列命題 向量 的長度與向量 的長度相等； 向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反； 兩個有共同起點并且相等的向量，其終點必相同； 兩個有共同終點的向量，一定是共線向量； 向量 與向量 是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上； 有向線段就是向量，向量就是有向線段. 其中假命題的個數(shù)為（）題型分類 深度剖析A.2B.3C.4D.5 熟練掌握向量的有關概念并進行判斷.解析 中，向量 與 互為相反向量，它們的長度相等，此命題正確.

6、中若a或b為零向量，則滿足a與b平行，但a與b的方向不一定相同或相反，此命題錯誤.由相等向量的定義知，若兩向量為相等向量，且起點相同，則其終點也必定相同，該命題正確.由共線向量知，若兩個向量僅有相同的終點，則不一定共線，該命題錯誤.思維啟迪共線向量是方向相同或相反的向量，若 與 是共線向量，則A、B、C、D四點不一定在一條直線上，該命題錯誤.零向量不能看作是有向線段，該命題錯誤.答案 C （1）本題涉及的主要內容有向量的概念、向量的表示、零向量、平行向量、相等向量、共線向量.（2）搞清楚向量的含義.向量不同于我們以前學習過的數(shù)量，學習時應結合物理中位移等向量進行觀察、抽象、分析、比較，逐步理解

7、向量是既有大小又有方向的量.探究提高知能遷移1 下列結論中，不正確的是（） A.向量 ， 共線與向量 同義 B.若向量 ，則向量 與 共線 C.若向量 = ，則向量 = D.只要向量a，b滿足|a|=|b|，就有a=b 解析 根據(jù)平行向量（或共線向量）定義知A、B均正確；根據(jù)向量相等的概念知C正確；D不正確.D題型二 平面向量的線性運算【例2】在ABC中，D、E分別為 BC、AC邊上的中點，G為BE上 一點，且GB=2GE，設 =a， =b，試用a、b表示 ， . 結合圖形性質，準確靈活運用三角形法則和平行四邊形法則是向量加減運算的關鍵. 解思維啟迪ab （1）解題的關鍵在于搞清構成三角形的三

8、個問題間的相互關系，能熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化. （2）用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧是：觀察各向量的位置；尋找相應的三角形或多邊形；運用法則找關系；化簡結果.探究提高ab知能遷移2 （2009山東理，7）設P是ABC所在平面內的一點， ，則（） A. B. C. D. 解析 因為 ，所以點P為線段AC的中點，即 ，如圖.B00000題型三 共線向量問題【例3】 （12分）設兩個非零向量a與b不共線， (1)若 =a+b， =2a+8b， =3（a-b）. 求證：A、B、D三點共線；（2）試確定實數(shù)k，使ka+b和a+kb共線. （1）由已知求

9、 判斷 與 的關系判斷A、B、D的關系. （2）應用共線向量的充要條件列方程組 解方程組得k值.思維啟迪（1）證明 =a+b, =2a+8b, =3（a-b）， =2a+8b+3（a-b）=2a+8b+3a-3b=5（a+b）=5 . 4分 、 共線，又它們有公共點B，A、B、D三點共線. 6分（2）解 ka+b與a+kb共線，存在實數(shù) ，使ka+b= (a+kb),即ka+b= a+ kb.（k- ）a=( k-1)b. 9分a、b是不共線的兩個非零向量，k- = k-1=0,k2-1=0.k=1. 12分 探究提高 （1）向量共線的充要條件中要注意當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與

10、之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運用和方程思想. （2）證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.知能遷移3 設兩個非零向量e1和e2不共線. (1)如果 =e1-e2, =3e1+2e2, =-8e1-2e2,求證: A、C、D三點共線； （2）如果 =e1+e2, =2e1-3e2, =2e1-ke2,且A、 C、D三點共線，求k的值. （1）證明 =e1-e2, =3e1+2e2, =-8e1-2e2, =4e1+e2= (-8e1-2e2)= , 與 共線，又 與 有公共點C， A、C、D三點共線.（2

11、）解 =（e1+e2）+（2e1-3e2）=3e1-2e2，A、C、D三點共線， 與 共線，從而存在實數(shù) 使得 = ，即3e1-2e2= (2e1-ke2),由平面向量的基本定理， 3=2 -2=- k,解之得 = ,k= .得方法與技巧1.將向量用其他向量（特別是基向量）線性表示，是十分重要的技能，也是向量坐標形式的基礎.2.首尾相連的若干向量之和等于以最初的起點為起點，最后的終點為終點的向量；若這兩點重合，則和為零向量.3.通過向量的共線可以證明三點共線及多點共線，但要注意到向量的平行與直線的平行的區(qū)別. 思想方法 感悟提高失誤與防范1.0與實數(shù)0有區(qū)別，0的模為數(shù)0，它不是沒有方向，而是

12、方向不定.0可以看成與任意向量平行.2.由ab,bc不能得到ac.取不共線的向量a與c，顯然有a0,c0.3.注意向量加法的三角形法則與向量減法的三角形法則的根本區(qū)別與聯(lián)系. 定時檢測 一、選擇題1.（2009湖南理，2）對于非零向量a、b,“a+b=0” 是“ab”的 （ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 當a+b=0時，a=-b,ab; 當ab時，不一定有a=-b. “a+b=0”是“ab”的充分不必要條件.A2.已知O為ABC內一點，且 =0，則AOC與ABC的面積之比是（ ） A.12B.13C.23D.11 解析 設AC的中

13、點為D，則 0， 即點O為AC邊上的中線BD的中點， .A3.(2008全國理，3)在ABC中， =c， =b, 若點D滿足 ，則 等于（） A. B. C. D. 解析 如圖所示,在ABC中, Abcbcbcbc4.（2008廣東理，8）在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD交于點F.若 =a, =b,則 等于（） A. B. C. D.解析 如圖所示,E是OD的中點,又ABEFDE, =3 , = .在AOE中, = = 答案 B5.（2008海南理，8）平面向量a,b共線的充要條件是（） A.a,b方向相同 B.a,b兩向量中至少有一個為零向量

14、 C. R,b= a D.存在不全為零的實數(shù) 1, 2, 1a+ 2b=0 解析 A中,a,b同向則a,b共線;但a,b共線，a,b不一定同向,因此A不是充要條件. 若a,b兩向量中至少有一個為零向量,則a,b共線;但a,b共線時,a,b不一定是零向量,如a=(1,2),b=(2,4),從而B不是充要條件.當b= a時,a,b一定共線；但a,b共線時,若b0,a=0,則b= a就不成立,從而C也不是充要條件.對于D,假設 10,則a= b,因此a,b共線;反之,若a,b共線,則a= b,即ma-nb=0.令 1=m, 2=-n,則 1a+ 2b=0.答案 D6.已知向量a、b、c中任意兩個都不

15、共線，并且a+b與 c共線，b+c與a共線，那么a+b+c等于（ ） A.a B.b C.c D.0 解析 a+b與c共線，a+b= 1c 又b+c與a共線，b+c= 2a 由得：b= 1c-a. b+c= 1c-a+c=（ 1+1）c-a= 2a， 1+1=0 1=-1 2=-1 2=-1D，即,a+b+c=-c+c=0.二、填空題7.設e1、e2是兩個不共線的向量，已知 =2e1+ke2， =e1+3e2， =2e1-e2，若A、B、D三點共線，則實數(shù)k的值為 . 解析 =2， -4 =k.-8則k=-8.8.在ABC中， =a， =b，M是CB的中點，N是AB的中點，且CN、AM交于點P，則 可用a、b表示為 . 解析 如圖所示，ab9.在ABC中，已知D是AB邊上一點，若式 ,則 = . 解析 由圖知 且 =0. +2得:3 三、解答題10.如圖所示，在ABC中， D、F分別是BC、AC的中點， a， =b.（1）用a、b表示向量 、 、 、 、 ；（2）求證：B、E、F三點共線.（1）解 延長AD到G，使 連接BG、CG，得