高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.6 空間向量及其運(yùn)算精品課件 新人教A

1、8.6 空間向量及其運(yùn)算要點(diǎn)梳理1.空間向量的有關(guān)概念 (1)空間向量：在空間中，具有 和 的量 叫做空間向量. (2)相等向量：方向 且模 的向量. (3)共線向量：表示空間向量的有向線段所在直 線互相 于同一平面的向量. (4)共面向量： 的向量.大小方向相同相等平行平行或重合基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)2.共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理 （1）共線向量定理 對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(b0),ab的充要條 件是 . 推論 如圖所示，點(diǎn)P在l上的充要條 件是： 其中a叫直線l的方向向量，tR, 在l上取 ,則可化為存在實(shí)數(shù)，使得a=b（2）共面向量定理的向量表達(dá)式：p= ，其中x,yR,a,

2、b為不共線向量，推論的表達(dá)式為 或?qū)臻g任意一點(diǎn)O有,其中x+y+z=1.(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使得p= ，把a(bǔ),b,c叫做空間的一個(gè)基底.xa+ybxa+yb+zc3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 （1）數(shù)量積及相關(guān)概念 兩向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)O, 作 =a， =b，則 叫做向量a與b的 夾角，記作 ,其范圍是 , 若a,b= ,則稱a與b ,記作ab. 兩向量的數(shù)量積 已知空間兩個(gè)非零向量a,b,則 叫做向量a,b的數(shù)量積,記作 ,即 .AOBa,b0a,b互相垂直|a|b|cosa,b

3、abab=|a|b|cosa,b (2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 結(jié)合律:(a)b= ； 交換律：ab= ; 分配律：a（b+c）= .4.空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用 （1）數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 則ab= . （2）共線與垂直的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 則ab , , ,（ab）baab+aca1b1+a2b2+a3b3a=ba1=b1a2=b2a3=b3(R)ab (a,b均為非零向量）.（3）模、夾角和距離公式設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則|a|= ，cosa,b= .若A（a

4、1，b1，c1），B（a2，b2，c2），則dAB= = .ab=0a1b1+a2b2+a3b3=0基礎(chǔ)自測1.下列命題中是真命題的是( ) A.分別表示空間向量的有向線段所在的直線是 異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量 B.若|a|=|b|，則a，b的長度相等且方向相同或 相反 C.若向量 ， 滿足 且 與 同向，則 D.若兩個(gè)非零向量 與 滿足 + =0， 則 解析 A錯(cuò).因?yàn)榭臻g任兩向量平移之后可共面，所以空間任意兩向量均共面.B錯(cuò).因?yàn)閨a|=|b|僅表示a與b的模相等，與方向無關(guān).C錯(cuò).因?yàn)榭臻g向量不研究大小關(guān)系，只能對(duì)向量的長度進(jìn)行比較,因此也就沒有 這種寫法.D對(duì). + =0,

5、=- ， 與 共線，故 正確.答案 D2.已知空間四邊形OABC中，點(diǎn)M在線段OA上， 且OM=2MA,點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，設(shè) =a, =b, =c，則 等于( ) 解析B3.下列命題： 若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有 |a|-|b|=|a+b|是a、b共線的充要條件； 若a、b共線，則a與b所在直線平行； 對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C， 若 （其中x、y、zR）,則P、 A、B、C四點(diǎn)共面.其中不正確命題的個(gè)數(shù)是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4解析 中四點(diǎn)恰好圍成一封閉圖形，正確；中當(dāng)a、b同向時(shí)，應(yīng)有|a|+|b|=|a+b|；中a、b所在直線可能重合；中需滿足x+

6、y+z=1，才有P、A、B、C四點(diǎn)共面.答案 C4.A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17) 這四個(gè)點(diǎn) (填共面或不共面). 解析 =（3，4，5）， =（1，2，2）， =（9，14，16）， 即（9，14，16）=（3x+y，4x+2y，5x+2y），共面B題型一 空間向量的線性運(yùn)算 如圖所示，在平行六面體ABCD- A1B1C1D1中，設(shè) =a， =b， =c， M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)， 試用a，b，c表示以下各向量： （1） ；（2） ；（3） . 根據(jù)空間向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算的法則和運(yùn)算律即可.題型分類 深度剖析解 （1）P是

7、C1D1的中點(diǎn)， 用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則.在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立.知能遷移1 如圖，在長方體ABCDA1B1 C1D1中，O為AC的中點(diǎn). (1)化簡：解y題型二 共線、共面向量定理的應(yīng)用 已知E、F、G、H分別是空間 四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA 的中點(diǎn)， （1）求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面； （2）求證：BD平面EFGH； （3）

8、設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一 點(diǎn)O，有 (1）要證E、F、G、H四點(diǎn)共面，可 尋求x,y使 （2）由向量共線得到線線平行，進(jìn)而得到線面 平行.證明 （1）連接BG，則由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面.（2）因?yàn)樗訣HBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.（3）連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.所以 ，即EH FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.所以EG，F(xiàn)H交于一點(diǎn)M且被M平分. 在求一個(gè)向量由其他向量來表示的時(shí)候，通常是利用向量的三角形法則、平行四邊形法則和共線向量的特點(diǎn),把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，進(jìn)行求解.若

9、要證明兩直線平行，只需判定兩直線所在的向量滿足線性a=b關(guān)系，即可判定兩直線平行，如第（1）（2）問即是如此.知能遷移2 設(shè)A，B，C及A1，B1，C1分別是異面 直線l1，l2上的三點(diǎn)，而M，N，P，Q分別是線 段AA1，BA1，BB1，CC1的中點(diǎn).求證：M、N、 P、Q四點(diǎn)共面. 證明 依題意有M、N、P、Q四點(diǎn)共面.(*)題型三 空間向量的模、夾角及數(shù)量積 （12分）如圖所示，已知空間 四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長都 等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn). （1）求證：MNAB，MNCD； （2）求MN的長； （3）求異面直線AN與CM所成角的余弦值. 把 用 ， ， 表示出來，

10、然后 計(jì)算數(shù)量積，求模和夾角.（1）證明 由題意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量兩兩夾角均為60.(q+r-p)(q+r-p)p(qp+rp-p2）2分4分（2）解(q+r-p)(q+r-p)2q2+r2+p2+2（qr-pq-rp） 8分(3)解(q+r)10分 （1）用基向量解決問題，首先要選取一組基底，該基底的模與夾角應(yīng)已知或可求.（2）注意兩向量夾角與異面直線所成的角的區(qū)別與聯(lián)系.11分12分知能遷移3 已知平行六面體ABCDA1B1C1D1 中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1=2， A1AB=A1AD=120. （1）求線段AC1的長； （2）求異面直線A

11、C1與A1D所成角的余弦值； （3）證明：AA1BD. （1）解 如圖所示，設(shè) =a， 則|a|=|b|=1，|c|=2. ab=0，ac=bc =21cos 120=-1.=a+b+c. =（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1+1+22-2-2=2.（2）解 =a+b+c， =b-c， =（a+b+c）（b-c）=ab-ac+b2-bc+bc-c2=1+12-22=-2.又 =（b-c）2=b2+c2-2bc=1+4+2=7.異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為（3）證明 b-a， =c（b-a）=cb-ca=-1-（-1）=0.題型四 空間向量坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)

12、向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),計(jì)算2a+3b, 3a-2b,ab以及a與b所成角的余弦值,并確定, 應(yīng)滿足的條件，使a+b與z軸垂直. 代入向量坐標(biāo)運(yùn)算的公式求2a+3b,3a- 2b，ab，利用數(shù)量積求a與b的夾角余弦值,利 用（a+b）（0，0，1）=0，確定,的 關(guān)系. 解 2a+3b=2（3，5，-4）+3（2，1，8） =（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）. 3a-2b=3（3，5，-4）-2（2，1，8） =（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28）. ab=（3，5，-4）（2，1，8）=6+5-32=-21.（a+b）（

13、0，0，1）=（3+2，5+，-4+8）（0，0，1）=-4+8=0，即=2，當(dāng)，滿足=2時(shí)，可使a+b與z軸垂直. 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是要注意向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，并熟練掌握運(yùn)算公式.知能遷移4 已知ABC的頂點(diǎn)A（1，1，1）， B（2，2，2），C（3，2，4），試求 （1）ABC的重心坐標(biāo)；（2）ABC的面積； （3）ABC的AB邊上的高. 解 （1）設(shè)重心坐標(biāo)為（x0,y0,z0）,方法與技巧1.熟練掌握空間向量的運(yùn)算、性質(zhì)及基本定理是 解決空間向量問題的基礎(chǔ)，特別是共線向量定 理、共面向量定理、空間向量基本定理、數(shù)量 積的性質(zhì)等.2.利用向量解立體幾何題的一般方法：把線

14、段或 角度轉(zhuǎn)化為向量表示,用已知向量表示未知向量, 然后通過向量的運(yùn)算或證明去解決問題,在這里, 恰當(dāng)?shù)剡x取基底可使向量運(yùn)算簡捷,或者是建立 空間直角坐標(biāo)系,使立體幾何問題成為代數(shù)問 題，在這里,熟練準(zhǔn)確地寫出空間中任一點(diǎn)的坐 標(biāo)是解決問題的基礎(chǔ). 思想方法 感悟提高失誤與防范1.利用坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問題,降低了推理難 度,可以避開一些較復(fù)雜的線面關(guān)系，但較復(fù)雜的 代數(shù)運(yùn)算也容易導(dǎo)致出錯(cuò).因此，在解決問題時(shí)， 可以靈活的選用解題方法，不要生搬硬套.2.用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一 般用向量共線定理；求兩點(diǎn)間距離或某一線段的 長度，一般用向量的模來解決；求異面直線所成 的角，一

15、般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意 兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；解決垂直 問題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零.3.空間向量的加法、減法經(jīng)常逆用,來進(jìn)行向量的分解.4.幾何體中向量問題的解決，選好基底是關(guān)鍵.一、選擇題1.若a,b,c為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能 構(gòu)成基底的一組向量是（ ） A.a,a+b,a-b B.b,a+b,a-b C.c,a+b,a-b D.a+b,a-b,a+2b 解析 若c、a+b、a-b共面， 則c=(a+b)+m(a-b)=(+m)a+(-m)b, 則a、b、c為共面向量，此與a、b、c為空間向 量的一組基底矛盾，故c，a+b，a-b可構(gòu)成空間 向量的一

16、組基底.C定時(shí)檢測2.在正方體ABCDA1B1C1D1中，給出以下向量表達(dá)式： A. B. C. D.( )解析 答案 A3.若向量a=(1,2)，b=(2,-1,2)且a與b的夾角的余 弦值為 ，則等于 ( ) A.2 B.-2 C. D. 解析C4.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若 a,b,c三向量共面，則實(shí)數(shù)等于 ( ) 解析 由題意得c=ta+b =(2t-,-t+4,3t-2),D5.已知直線AB、CD是異面直線,ACCD,BDCD, 且AB=2，CD=1，則異面直線AB與CD所成角的大小 為 ( ) A.30 B.45 C.60 D.75 解析

17、C6.正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，點(diǎn)M在 上 且 N為B1B的中點(diǎn),則 為 ( ) 解析 以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo) 系Dxyz， 則A（a，0，0），C1（0，a，a）， 設(shè)M（x，y，z）答案 A二、填空題7.如圖所示，已知空間四邊形ABCD， F為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，若 則= . 解析 如圖所示,取AC的中點(diǎn)G,連接EG、GF,8.已知a=（1-t，1-t，t），b=（2，t，t），則|b-a| 的最小值為 . 解析 b-a=（1+t，2t-1，0）， |b-a|=9.在正方體ABCDA1B1C1D1中,下面給出四個(gè)命題: 則正確命題的序號(hào)是 （填寫所有正

18、確命題 的序號(hào)）.解析 由三垂線定理知A1CAB1，正確；AD1與A1B兩異面直線的夾角為60，但 的夾角為120, , 注意方向.答案 三、解答題10.證明三個(gè)向量a=-e1+3e2+2e3，b=4e1-6e2+2e3，c= -3e1+12e2+11e3共面. 證明 若e1、e2、e3共面，顯然a、b、c共面； 若e1、e2、e3不共面，設(shè)c=a+b， 即-3e1+12e2+11e3=(-e1+3e2+2e3)+(4e1- 6e2+2e3), 整理得-3e1+12e2+11e3=(4-)e1+(3-6)e2 +(2+2)e3, 11.如圖所示，平行六面體ABCD A1B1C1D1中，點(diǎn)M在AC上，且 |