高考數(shù)學專題復習精課件-反函數(shù)

1、反函數(shù)一、定義 設函數(shù) y=f(x) 定義域為 A, 值域為 C. 如果從式子 y=f(x) 解得 x=(y), 且對于 y 在 C 中的任何一個值, x 在 A 中都有唯一確定的值和它對應, 那么式子 x=(y) 就表示 x 是變量 y 的函數(shù), 把 x=(y) 叫做函數(shù) y=f(x) 的反函數(shù), 記作: x=(y)=f-1(y).x=f-1(y) 一般改寫成 y=f-1(x), 其定義域為 C, 值域為 A.二、定義理解1.函數(shù)存在反函數(shù)的條件: 映射 f: AC 為一一映射. 2.函數(shù)在其定義域區(qū)間上可能不存在反函數(shù), 但可以在定義域區(qū)間的某個子區(qū)間上存在反函數(shù).3.反函數(shù)的定義域和值域

2、分別是原函數(shù)的值域和定義域. 注意: 反函數(shù)的定義域不能由其解析式來求.三、簡單性質1.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖像關于直線 y=x 對稱; 2.單調函數(shù)一定存在反函數(shù), 但有反函數(shù)的函數(shù)不一定是單調函數(shù);3.奇函數(shù)不一定有反函數(shù), 偶函數(shù)在一般情況下無反函數(shù); 4.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)在各自的定義域區(qū)間上具有相同的 單調性;5.若 b=f(a), 則 a=f-1(b); 若 a=f-1(b), 則 b=f(a), 即: 若 aA, bC, 則 f-1f(a)=a, ff-1(b)=b.四、求函數(shù)的反函數(shù)的步驟2.由 y=f(x) 解出 x=f-1(y) (即用 y 表示 x);3.交換 x=f

3、-1(y) 中的字母 x, y, 得 f(x) 反函數(shù)的表達式 y=f-1(x), 1.求函數(shù) y=f(x) 中 y 的取值范圍, 得其反函數(shù)中 x 的取值范圍;五、函數(shù)與其反函數(shù)圖像的交點問題 如果一個函數(shù)與其反函數(shù)的圖像有公共點, 則公共點在直線 y=x 上, 或者關于直線 y=x 對稱地成對出現(xiàn).4. 標出 y=f-1(x) 中 x 的取值范圍.例如函數(shù) y = -3x+7 ; 又如函數(shù) y =( ) . 161x六、典型例題例1 函數(shù) y= (xR, 且 x ) 的反函數(shù)是 ( ) 2x-1 x-2 12(A) y= (xR, 且 x ) 2x-1 x-2 12(B) y= (xR,

4、且 x 2) 2x-1 x-2 (C) y= (xR, 且 x ) 2x-1 x+2 12(D) y= (xR, 且 x-2) 2x-1 x+2 -11xoy-11xoy1xoy1-11xoy(D)(A)(B)(C) 例2 設函數(shù) f(x)=1- 1-x2 (-1x0), 則函數(shù) y=f-1(x)的圖像可能是 ( )AB例3 求下列函數(shù)的反函數(shù):(2) y=x|x-2|+4x. (1) y =( )2( x ). x+1 3x-2 2332(2) y = x+1 -1 (x8), 3- 9-x (x8). (1) y= (0 x1); 3- x2+ x 例4 解答下列關于反函數(shù)的問題: (1)

5、已知函數(shù) f(x) = 的圖像關于直線 y=x 對稱, 求實數(shù)a 的值;3x+2 x+a (2)求函數(shù) y= 1-x 與它的反函數(shù)圖像的交點坐標.例5 已知 f(x)= , xR, 求 f-1( ) 的值.1+2x 2x 134.(1)a=-3; 5. f-1( )= -1. 13答 案 (2)( , ); (1, 0); (0, 1). 5-1 2 5-1 2 七、課堂練習2.試求使函數(shù)y=4x-2x+1 存在反函數(shù)的定義域區(qū)間, 并求相應區(qū)間上的反函數(shù).1.若映射 f: A B 中, A=B=(x, y) | xR, yR, f: (x, y) (x+2y+2, 4x+y), 試求: (1

6、) A 中的元素 (5, 5) 的象; (2) B 中的元素 (5, 5) 的原象. 3.已知 f(x) = (x-a, a ). (1) 求 f(x) 的反函數(shù) f-1(x); (2) 若f(x)=f-1(x), 求 a 的值; (3)作出滿足(2)中條件的 y=f-1(x) 的圖象. 2x+1 x+a 12答 案 1. (17, 25); (1, 1) 2.(-, 0, f-1(x)=log2(1- x+1 )(-1x0); 0, +), f-1(x)=log2(1+ x+1 )(x-1). 3. f-1(x)= (x2); x-2 1-ax a=-2. 4.求函數(shù) y=x|x|+2x 的

7、反函數(shù). 解: 原函數(shù)可寫成: y= x2+2x, x0, -x2+2x, x0. 即 y= (x+1)2-1, x0, -(x-1)2+1, x0. 當 x0 時, y0, 由 y=(x+1)2-1 得: x=-1+ y+1 ; 當 x0 時, y0, 由 y=-(x-1)2+1 得: x=1- 1-y . 故所求反函數(shù)為 y= -1+ x+1, x0, 1- 1-x , x0. 解得 a=-1.-4f(x)1. 5.已知點 (-2, -4) 在函數(shù) f(x)=1- ax2+25 (-5x0) 的反函數(shù) f-1(x) 的圖象上, 試討論 f-1(x) 的單調性.解: 由已知, 點 (-4,

8、-2) 在函數(shù) f(x)=1- ax2+25 的圖象上. -2=1- 16a+25 . f(x)=1- 25-x2 .-5x0, x=- 25-(y-1)2 (-4y1). 由 y=f(x)=1- 25-x2 得 f-1(x) =- 25-(x-1)2 (-4x1). 令 t(x)=25-(x-1)2, 易知, t(x) 是 -4, 1 上的增函數(shù). 又 y=- t 是減函數(shù), f-1(x) =- 25-(x-1)2 是 -4, 1 上的減函數(shù). 解: (1) x1, 故 f-1(x) 的定義域是 0, 1). f(x) 的值域是 0, 1).又對任意的 x1, x20, 1), 且 x1x2

9、, 有: 6.已知函數(shù) f(x)=( )2 (x1), f-1(x) 是 f(x) 的反函數(shù), g(x)= + x +2, 求: (1) f-1(x) 的定義域和單調區(qū)間; (2) g(x) 的最小值.x+1 x-1 f-1(x)1 0 1. x+1 x-1 0( )21. x+1 x-1 即 0f(x)1. 由 y=( )2(x1)得: x+1 x-1 = y , x+1 x-1 解得: x= (0y1). 1+ y 1- y f-1(x)= (0 x1). 1+ x 1- x x1 x2 1- x2 0, 1- x121- x2 2 . 1- x121- x2 2 -1+ -1+ . 即為

10、: f-1(x1)f-1(x2). 0, 1) 是 f-1(x) 的單調增區(qū)間. 解: (2) 由已知 g(x)= + x +21- x 1+ x 2 2 . 僅當 x=3-2 2 時取等號. 當 x=3-2 2 時, g(x) 取得最小值 2 2 . 2 1+ x +1+ x (0 x0, 解不等式:f-1(x)log2 . 1+2x a2x-1 k 1+x 解: (1) 由已知 f(0)=0, 解得 a=1; (2) 當 a=1 時, f(x)= (xR), 2x+1 2x-1 設 y=f(x), 則 2xy+y=2x-1, 2x(1-y)=1+y (y1), 2x= , 1-y 1+y 1-y 1+y x=log2 , 2x+1 2x-1 =1- (-1, 1), 2x+1 2 又 f-1(x)=log2 (-1xlog2 , 得 k 1+x k 1+x 1-x 1+x , -1x1. -1x1-k, 又 k0, 當 0k2 時, 1-kx1, 原不等式的解集為 (1-k, 1); 當 k2 時, -1x0) 和定義在 R 上的奇函數(shù) g(x), 當 x0時, g(x)=f(x), 試求 g(x) 的反函數(shù).