人教A版新教材必修第一冊《3.2.1 第2課時 函數(shù)的最大(小)值》教案（定稿）

1、第2課時函數(shù)的最大(小)值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義.2.能夠借助函數(shù)圖象的直觀性得出函數(shù)的最值.3.會借助函數(shù)的單調(diào)性求最值.4.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決日常生活中的問題導(dǎo)語108這個數(shù)字大家也許并不陌生：封神榜里面總共有108位神仙；在水滸傳中，講述的是齊聚水泊梁山的108位英雄好漢；在紅樓夢中，設(shè)置了108個章節(jié)，等等這些，足以說明108在古人心中認(rèn)為是數(shù)字之最，今天我們也來一次穿越，和古人一起探討一下我們的函數(shù)之最吧一、直觀感知函數(shù)的最大值和最小值問題1如圖所示是函數(shù)yx22x，y2x1(x1，)，yf(x)的圖象觀察并描述這三個圖象的共同特征提示函數(shù)yx22

2、x的圖象有最高點A，函數(shù)y2x1，x1，)的圖象有最高點B，函數(shù)yf(x)的圖象有最高點C，也就是說，這三個函數(shù)的圖象的共同特征是都有最高點問題2你是怎樣理解函數(shù)圖象最高點的？提示圖象最高點的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值中的最大值，即函數(shù)的最大值知識梳理函數(shù)的最值一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M.那么，我們稱M是函數(shù)yf(x)的最大值一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M.那么，我們稱M是函數(shù)yf(x)的最小值注意點：(1)最大(小)值的幾何意

3、義：最高(低)點的縱坐標(biāo)(2)并不是所有的函數(shù)都有最大(小)值，比如yx，xR.(3)一個函數(shù)至多有一個最大(小)值(4)研究函數(shù)最值需先研究函數(shù)的定義域和單調(diào)性(5)對于定義域內(nèi)的任意x都滿足f(x)M(f(x)M)，那么M不一定是函數(shù)f(x)的最大(小)值，只有定義域內(nèi)存在一點x0，使f(x0)M時，M才是函數(shù)的最大(小)值，否則不是比如f(x)x23成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值例1已知函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，1x1，,f(1,x)，x1.)求f(x)的最大值、最小值解作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖由圖象可知，當(dāng)x1時，f(x)取最大值為

4、f(1)f(1)1.當(dāng)x0時，f(x)取最小值為f(0)0，故f(x)的最大值為1，最小值為0.反思感悟圖象法求函數(shù)最值的一般步驟跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2x，0 x2，,f(2,x1)，x2，)求函數(shù)f(x)的最大值、最小值解作出f(x)的圖象如圖由圖象可知，當(dāng)x2時，f(x)取最大值為2；當(dāng)xeq f(1,2)時，f(x)取最小值為eq f(1,4).所以f(x)的最大值為2，最小值為eq f(1,4).二、利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值問題3若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，則f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值分別是多少？提示最大值為f

5、(b)，最小值為f(a)問題4若f(x)x2的定義域為1,2，則f(x)的最大值和最小值一定在端點上取到嗎？提示不一定，需要考慮函數(shù)的單調(diào)性例2已知函數(shù)f(x)eq f(3,2x1).(1)證明：函數(shù)f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)上單調(diào)遞減；(2)求函數(shù)f(x)在1,5上的最值(1)證明設(shè)x1，x2是區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)上的任意兩個實數(shù)，且x2x1eq f(1,2)，f(x1)f(x2)eq f(3,2x11)eq f(3,2x21)eq f(6x2x1,2x112x21).由于x2x1eq f(1,2)，所以x2

6、x10，且(2x11)(2x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函數(shù)f(x)eq f(3,2x1)在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)上單調(diào)遞減(2)解由(1)知，函數(shù)f(x)在1,5上單調(diào)遞減，因此，函數(shù)f(x)eq f(3,2x1)在區(qū)間1,5的兩個端點處分別取得最大值與最小值，即最大值為f(1)3，最小值為f(5)eq f(1,3).反思感悟(1)利用單調(diào)性求最值的一般步驟判斷函數(shù)的單調(diào)性利用單調(diào)性寫出最值(2)函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系若函數(shù)在閉區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，則f(x)在a，b上的最大值為f(a)，最小值為f(b)若函數(shù)在

7、閉區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，則f(x)在a，b上的最大值為f(b)，最小值為f(a)求最值時一定要注意所給區(qū)間的開閉，若是開區(qū)間，則不一定有最大(小)值跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)xeq f(1,x).(1)求證f(x)在1，)上單調(diào)遞增；(2)求f(x)在1,4上的最大值及最小值(1)證明設(shè)1x1x2，則f(x1)f(x2)eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(1,x1)eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(1,x2)eq f(x1x2x1x21,x1x2).1x1x2，x1x21，x1x210，eq f(x1x2x1x21,x1x2)0，即f(x1)400，)其中x(單位

8、：臺)是儀器的月產(chǎn)量(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益總成本利潤)解(1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺，則總成本為20 000100 x元，從而f(x)eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)x2300 x20 000，0 x400，,60 000100 x，x400.)(2)當(dāng)0 x400時，f(x)eq f(1,2)(x300)225 000.當(dāng)x300時，f(x)max25 000；當(dāng)x400時，f(x)60 000100 x單調(diào)遞減，f(x)60 00010040025 000.當(dāng)x300時，f(x)max25 0

9、00.即月產(chǎn)量為300臺時利潤最大，最大利潤為25 000元反思感悟本題主要考查二次函數(shù)的最值問題，以及應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題的能力解應(yīng)用題的步驟是審清題意；建立數(shù)學(xué)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；總結(jié)結(jié)論，回歸題意跟蹤訓(xùn)練3將進(jìn)貨單價為40元的商品按50元一個出售時，能賣出500個，已知這種商品每漲價1元，其銷售量就減少10個，為得到最大利潤，售價應(yīng)為多少元？最大利潤為多少？解設(shè)售價為x元，利潤為y元，單個漲價(x50)元，銷量減少10(x50)個，銷量為50010(x50)(1 00010 x)個，則y(x40)(1 00010 x)10(x70)29 000.故當(dāng)x70時，ymax9

10、000.即售價為70元時，利潤最大，最大利潤為9 000元1.知識清單：(1)函數(shù)的最大值、最小值定義(2)求解函數(shù)最值的方法2方法歸納：配方法、分類討論法、數(shù)形結(jié)合法3常見誤區(qū)：(1)在利用單調(diào)性求最值時，勿忘求函數(shù)的定義域(2)求含參數(shù)的二次函數(shù)的最值時不要忘記按對稱軸與區(qū)間的位置分類討論1函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則其最大值、最小值分別為()Afeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)Bf(0)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)Cfeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(

11、0)Df(0)，f(3)答案B解析觀察函數(shù)圖象可知，f(x)的最大值、最小值分別為f(0)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2).2設(shè)函數(shù)f(x)2x1(x0)，則f(x)()A有最大值B有最小值C既有最大值又有最小值D既無最大值又無最小值答案D解析f(x)在(，0)上單調(diào)遞增，f(x)f(5)6，最大值為f(3)22，得函數(shù)的值域為3,22根據(jù)以上的討論可得區(qū)間A不可能為3,57函數(shù)yax1在區(qū)間1,3上的最大值為4，則a_.答案1解析若a0，則函數(shù)yax1在區(qū)間1,3上單調(diào)遞減，并且在區(qū)間的左端點處取得最大值，即a14，解得a3，不滿足a0，則函數(shù)yax1在區(qū)間1,3上

12、單調(diào)遞增，并且在區(qū)間的右端點處取得最大值，即3a14，解得a1.綜上，a1.8函數(shù)f(x)eq f(1,x3)，x1,2，則f(x)的最大值為_，最小值為_答案eq f(1,2)1解析f(x)eq f(1,x3)在1,2上單調(diào)遞減，f(2)f(x)f(1)，即1f(x)eq f(1,2).9畫出函數(shù)yx(|x2|2)，x1,5的圖象，并根據(jù)圖象指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值、最小值解原函數(shù)化為yeq blcrc (avs4alco1(x2，1x2，,x24x，2x5，)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出其圖象，如圖觀察圖象得，函數(shù)yx(|x2|2)的單調(diào)遞減區(qū)間是1,0，2,5，單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)，當(dāng)x

13、2時，ymax4，當(dāng)x5時，ymin5，所以原函數(shù)最大值為4，最小值為5.10某商場經(jīng)營一批進(jìn)價是每件30元的商品，在市場試銷中發(fā)現(xiàn)，該商品銷售單價x(不低于進(jìn)價，單位：元)與日銷售量y(單位：件)之間有如下關(guān)系：x4550y2712(1)確定x與y的一個一次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)(注明函數(shù)定義域)；(2)若日銷售利潤為P元，根據(jù)(1)中的關(guān)系式寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出當(dāng)銷售單價為多少元時，才能獲得最大的日銷售利潤？解(1)因為f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)axb(a0)，由表格得方程組eq blcrc (avs4alco1(45ab27，,50ab12，)解得eq blcrc (avs

14、4alco1(a3，,b162，)所以yf(x)3x162.又y0，所以30 x54，故所求函數(shù)關(guān)系式為y3x162，x30,54(2)由題意得，P(x30)y(x30)(1623x)3x2252x4 8603(x42)2432，x30,54當(dāng)x42時，日銷售利潤最大，最大值為432元，即當(dāng)銷售單價為42元時，獲得最大的日銷售利潤11已知函數(shù)yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是()A1，) B0,2C(，2 D1,2答案D解析f(x)(x1)22，f(x)min2，f(x)max3，且f(1)2，f(0)f(2)3，1m2.12函數(shù)f(x)eq f(1,1x1x)

15、的最大值是()A.eq f(5,4) B.eq f(4,5) C.eq f(4,3) D.eq f(3,4)答案C解析因為1x(1x)x2x1eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2eq f(3,4)eq f(3,4)，所以eq f(1,1x1x)eq f(4,3).故f(x)的最大值為eq f(4,3).13已知函數(shù)f(x)2x2ax1，x1，a，且f(x)的最大值為f(a)，則實數(shù)a的取值范圍為()A(，4 B(，12，)C2，) D4，)答案C解析函數(shù)f(x)2x2ax1圖象的對稱軸方程為xeq f(a,4)，當(dāng)10時，要使f(x)的最大值為f(a)，則f(a)f(1)

16、，即2a2a212a1，解得a1(舍)或a2.14用mina，b表示a，b兩個數(shù)中的最小值設(shè)f(x)minx2，10 x(x0)，則f(x)的最大值為_答案6解析在同一個平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)yx2和y10 x的圖象根據(jù)minx2,10 x(x0)的含義可知，f(x)的圖象應(yīng)為圖中的實線部分解方程x210 x，得x4，此時y6，故兩圖象的交點為(4,6)所以f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，0 x4，,10 x，x4，)其最大值為交點的縱坐標(biāo)，所以f(x)的最大值為6.15(多選)已知f(x)x，g(x)x22x，F(xiàn)(x)eq blcrc (avs4alco1(gx，fx

17、gx，,fx，fxgx，)則F(x)的最值情況是()A最大值為3 B最小值為1C無最小值 D無最大值答案CD解析由f(x)g(x)得0 x3；由f(x)g(x)，得x3，所以F(x)eq blcrc (avs4alco1(x22x，0 x3，,x，x3.)作出函數(shù)F(x)的圖象(圖略)，可得F(x)無最大值，無最小值16函數(shù)f(x)eq f(x2a,x)(aR)的定義域為(0,2(1)當(dāng)a1時，求函數(shù)yf(x)的值域；(2)求函數(shù)yf(x)在定義域上的最大值及最小值，并求出函數(shù)取得最值時x的值解(1)當(dāng)a1時，f(x)eq f(x21,x)xeq f(1,x)2eq r(xf(1,x)2，當(dāng)且

18、僅當(dāng)xeq f(1,x)，即x1時等號成立f(2)2eq f(1,2)eq f(5,2)，當(dāng)x0且x趨向于0時，eq f(1,x)趨向于，所以f(x)xeq f(1,x)趨向于，所以函數(shù)yf(x)的值域為2，)(2)當(dāng)a0時，f(x)eq f(x2a,x)xeq f(a,x)，則函數(shù)yf(x)在(0,2上單調(diào)遞增，無最小值，當(dāng)x2時取得最大值2eq f(a,2)；f(x)eq f(x2a,x)xeq f(a,x)，任取x1，x2(0,2，且x1x2，則f(x1)f(x2)x1eq f(a,x1)x2eq f(a,x2)(x1x2)eq f(x1x2a,x1x2)，當(dāng)a4時，函數(shù)yf(x)在(0,2上單調(diào)遞減，無最大值，當(dāng)x2時取得最