數(shù)學(xué)立體幾何高考試題及答案

1、PABCD 中，AP平面 PCD，APABCD 中，AP平面 PCD，ADBC，AB=BC=證明：（）連接 CE，則AD，E為線段 AD 的中點，AD，E，F(xiàn)分別為線1.如圖所示， PA矩形 ABCD 所在平面， M、N 分別是 AB、PC 的中點. (1)求證： MN平面 PAD. (2)求證： MNCD. (3)若PDA45，求證： MN平面 PCD. 2如圖，四棱錐段 AD，PC的中點（）求證： AP平面 BEF；（）求證： BE平面 PAC解答ADBC，BC=四邊形 ABCE 是平行四邊形， BCDE 是平行四邊形，設(shè) ACBE=O，連接 OF，則 O是 AC 的中點，F(xiàn)為線段 PC的

2、中點，PAOF，PA?平面 BEF，OF?平面 BEF，AP平面 BEF；（） BCDE 是平行四邊形，BECD，AP平面 PCD，CD?平面 PCD，APCD，BEAP，AB=BC ，四邊形 ABCE 是平行四邊形，四邊形 ABCE 是菱形，BEAC，APAC=A ，BE平面 PACPA=3；，E、F分別是 AB、PD3如圖，在三棱錐 PABC 中，D，E，F(xiàn)分別為棱 PC，AC，AB PA=3；，E、F分別是 AB、PDPA=6，BC=8，DF=5求證：（1）直線 PA平面 DEF；（2）平面 BDE平面 ABC解答：證明：（1）D、E為 PC、AC 的中點， DEPA，又PA?平面 DE

3、F，DE?平面 DEF，PA平面 DEF；（2）D、E為 PC、AC 的中點， DE=又E、F為AC、AB 的中點， EF= BC=4；DE2+EF2=DF2，DEF=90，DEEF；DEPA，PAAC，DEAC；ACEF=E，DE平面 ABC ；DE?平面 BDE，平面 BDE平面 ABC4如圖， PA垂直于矩形 ABCD 所在的平面， AD=PA=2，CD=2的中點（1）求證： AF平面 PCE；（2）求證：平面 PCE平面 PCD；（3）求四面體 PEFC的體積FG，EG，CD，AE，GF= CD=CD ，解答：解：（1）證明：設(shè) G為 FG，EG，CD，AE，GF= CD=CD ，F(xiàn)為

4、 PD 的中點， E為 AB 的中點，F(xiàn)GFG AE，AFGE GE?平面 PEC，AF平面 PCE；（2）證明： PA=AD=2 ，AFPD 又PA平面 ABCD ，CD?平面 ABCD ，PACD，ADCD，PAAD=A ，CD平面 PAD，AF?平面 PAD，AFCDPDCD=D，AF平面 PCD，GE平面 PCD，GE?平面 PEC，平面 PCE平面 PCD；（3）由（ 2）知， GE平面 PCD，所以 EG 為四面體 PEFC的高，又 GFCD，所以 GFPD，EG=AF=SPCF= PD?GF=2得四面體 PEFC的體積 V= SPCF?EG=5如圖，在四棱錐 PABCD 中，AB

5、CD，ABAD，CD=2AB ，平面 PAD底面 ABCD ，PAADE和 F分別是 CD 和 PC的中點，求證：中，側(cè)棱 A1A底面A1ABB所成角的正弦值1C1，連接是平行四邊形，所以1；EFDA1，（） PA底中，側(cè)棱 A1A底面A1ABB所成角的正弦值1C1，連接是平行四邊形，所以1；EFDA1，（） BE平面 PAD；（）平面 BEF平面 PCD解答：解：（） PAAD，平面 PAD平面 ABCD ，平面 PAD平面 ABCD=AD ，由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得 PA平面 ABCD （） ABCD，ABAD，CD=2AB ，E和 F分別是 CD 和 PC的中點，故四邊形ABED

6、為平行四邊形，故有 BEAD又 AD?平面 PAD，BE 不在平面 PAD 內(nèi)，故有 BE平面 PAD（）平行四邊形 ABED 中，由 ABAD 可得， ABED 為矩形，故有 BECD 由 PA平面 ABCD ，可得 PAAB，再由 ABAD 可得 AB平面 PAD，CD平面 PAD，故有 CDPD再由 E、F分別為 CD 和 PC 的中點，可得 EFPD，CDEF 而 EF和 BE 是平面 BEF 內(nèi)的兩條相交直線，故有 CD平面 BEF由于 CD?平面 PCD，平面 BEF平面 PCD6如圖，三棱柱 ABCA1B1C1 ABC，且各棱長均相等 D，E，F(xiàn)分別為棱 AB，BC，A1C1的中

7、點（）證明： EF平面 A1CD；（）證明：平面 A1CD平面（）求直線 BC 與平面 A1CD解答：證明：（I）三棱柱 ABCA1B1C1中，ACA1C1，AC=A ED，可得 DEAC，DE= AC，又 F為棱 A1C1的中點 A1F=DE，A1FDE，所以 A1DEF1?1平面1CD，又 1AB=A1，又A1ABB交 A1D 于 G，A1ABB A1ABB，由A1AD1?1平面1CD，又 1AB=A1，又A1ABB交 A1D 于 G，A1ABB A1ABB，由A1ADBGD，得 BG=所成角的正弦值中，A1B1=A1C1，D，E分別是棱 BC，CC1上的點（點的中點求證：ADE，1；1，

8、且平面 1=A1D，（II）D 是 AB 的中點， CDAB，又 AA ABC，CD?平面 ABC，AA AACD面 A1ABB CD?面 A1CD，平面 A1CD平面（III）過 B作 BGA1D平面 A1CD平面 A1CD平面BGA1D，BG面 A1CD，則BCG 為所求的角，設(shè)棱長為 a，可得 A1D=在直角 BGC 中，sinBCG=直線 BC 與平面 A1CD7如圖，在直三棱柱 ABCA1B1C1D 不同于點 C），且 ADDE，F(xiàn)為 B1C1（1）平面 ADE平面 BCC1B1；（2）直線 A1F平面解答：解：（1）三棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面 ABC，AD?平

9、面 ABC，ADCC1又ADDE，DE、CC1是平面 BCC1B1內(nèi)的相交直線1C1，F(xiàn)平面 A1B1C1，BCC平面 ADE1C1，F(xiàn)平面 A1B1C1，BCC平面 ADE，AD?平面 ADE，ADEPO=1，由PO平面 ABCD ，得 MN，所以1B1，AD?平面 ADE 平面 ADE 平面 BCC1B1；（2） A1B1C1中，A1B1=A 為 B1C1的中點A1FB1C1，CC1平面 A1B1C1，A1F?A1FCC1又B1C1、CC1是平面 BCC1B1內(nèi)的相交直線A1F平面又AD平面 BCC1B1，A1FAD A1F?直線 A1F平面8如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD

10、 為平行四邊形， ADC=45，AD=AC=1 ，O為 AC 中點，PO平面 ABCD，PO=2，M 為PD 中點（）證明： PB平面 ACM ；（）證明： AD平面 PAC；（）求直線 AM 與平面 ABCD 所成角的正切值解答：解：（I）證明：連接 BD，MO 在平行四邊形 ABCD 中，因為 O 為 AC 的中點，所以 O為 BD 的中點，又 M 為 PD 的中點，所以 PBMO 因為 PB?平面 ACM ，MO?平面 ACM 所以 PB平面 ACM （II）證明：因為 ADC=45 ，且 AD=AC=1 ，所以 DAC=90 ，即 ADAC 又 PO平面 ABCD ，AD?平面 ABC

11、D ，所以 POAD，ACPO=O，AD平面 PAC （III）解：取 DO 中點 N，連接 MN，AN 因為 M 為 PD 的中點，所以 MNPO，且 MN=平面 ABCD 所以 MAN 是直線 AM 與平面 ABCD 所成的角在 RtDAO 中，=DOPA，CD=，=DOPA，CD=在 RtANM 中，即直線 AM 與平面 ABCD 所成的正切值為9三棱錐 PABC 中，PC平面 ABC，PC=AC=2，AB=BC ，D 是 PB上一點，且 CD平面 PAB（1）求證： AB平面 PCB；（2）求二面角 CPAB 的大小的余弦值解答：（1）證明： PC平面 ABC，AB?平面 ABC，PC

12、ABCD平面 PAB，AB?平面 PAB，CDAB又 PCCD=C，AB平面 PCB（2）解：取 AP 的中點 O，連接 CO、DOPC=AC=2，C0PA，CO= ，CD平面 PAB，由三垂線定理的逆定理，得COD 為二面角 CPAB的平面角由（1）AB平面 PCB，ABBC，又AB=BC ，AC=2，求得 BC=PB=cosCOD=ABCDA1B1C1D1的棱長為B1，D1，P的平面交底面ABCDA1B1C1D1A1C1D 時，DM_. ABCDA1B1C1D1的棱長為B1，D1，P的平面交底面ABCDA1B1C1D1A1C1D 時，DM_. PABCD 中，PA平面 ABCD，PAAB2

13、，BC4，a，點 P是棱ABCD 中，ADC90，AD 上一點，且 APa3，過于 PQ，Q在直線 CD 上，則 PQ_. 2如圖，在直四棱柱且 AA1ADDC2，M平面 ABCD，當(dāng) D1M平面3如圖，在底面是矩形的四棱錐E是 PD 的中點(1)求證：平面 PDC平面 PAD；(2)求點 B到平面 PCD 的距離；4如圖，PO平面 ABCD，點 O 在AB 上，EAPO，四邊形 ABCD 為直角梯形， BCAB，BCCDBOPO，EAAO12CD. M，使 DM平面 PBC，若存在，求出點2 的正方體 M，使 DM平面 PBC，若存在，求出點2 的正方體 ABCDA1B1C1D1中，E、F1

14、、的體積PABCD 中，PD平面 ABCD，PDDCBC1，AB2，ABM；(2)直線 PE上是否存在點若不存在，說明理由5如圖所示，在棱長為分別為 DD DB 的中點(1)求證： EF平面 ABC1D1；(2)求證： EFB1C；(3)求三棱錐 B1EFC6如圖，四棱錐DC，BCD90(1)求證： PCBC(2)求點 A到平面 PBC 的距離2 2a3232 2 2a3232 2B1D1平面 ABCD，平面 B1D1P平面 ABCDPQ，B1D1PQ，DADCDD1且 DA、DC、DD1兩兩垂直， 故當(dāng)點 M 使四邊形 ADCM 為又 B1D1BD，BDPQ，設(shè) PQABM，ABCD，APM

15、DPQ，PQPMPDAP2，即 PQ2PM，又APMADP，PMBDAPAD13，PM13BD，又 BD 2a，PQ2 a. 2.答案正方形時， D1M平面 A1C1D，DM2 2. (2)過 A作 AFPD，垂足為 F. 42222 5，24 5 4 52 5(1)PO平面 ABCD，M42222 5，24 5 4 52 5(1)PO平面 ABCD，M 與點 E重合(1)證明：連結(jié) BD1，在DD1B中，E、F 分別為 D1D，DB 的中點，則 EFD1B，又 EF平面 ABC1D1，EF平面ABC1D1. 平面 ABC1D1，B1CBD1，5 5AFPDPAAD，AF 4 ，即點 B到平面

16、 PCD 的距離為 .4.解析BC? 平面 ABCD，BCPO，又 BCAB，ABPOO，AB? 平面 ABP，PO? 平面 ABP，BC平面 ABP，又 EAPO，AO? 平面 ABP，EA? 平面 ABP，BC平面 ABPE. (2)點 E即為所求的點，即點取 PO 的中點 N，連結(jié) EN 并延長交 PB于 F，EA1，PO2，NO1，又 EA與 PO 都與平面 ABCD 垂直，EFAB，F(xiàn) 為 PB的中點，NF12OB1，EF2，又 CD2，EFABCD，四邊形 DCFE 為平行四邊形， DECF，CF? 平面 PBC，DE?平面 PBC，DE平面 PBC.當(dāng)M 與 E重合時即可5.?平面 ABC1D1，D1B?(2)證明：B1CAB，B1CBC1，ABBC1B，B1C平面 ABC1D1，又 BD1?1，EF1B1，12BD12 2 3，(1)PD平面 ABCD，BC? 平面 ABCD，PDBC. 1 13SABCPD1，EF1B1，12BD12 2 3，(1)PD平面 ABCD，BC? 平面 ABCD，PDBC. 1 13SABCPD3，222. 3，B1F2BF2BB 212 22 6，B1E2B1D D1E221(3)解：CFBD，CFBB1，CF平面 BDD即 CF平面 EFB1，且 CFBF 2 EF12E