第九章-多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用例題課件-

1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用9-1多元函數(shù)的基本概念例1 .指出集合的所有聚點(diǎn)及其邊界。第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用9-1多元函數(shù)的基本概念例例2 判別是開區(qū)域還是閉區(qū)域，是有界集還是無(wú)界集。第九章-多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用例題課件-例3指出下列點(diǎn)集是開區(qū)域，還是 閉區(qū)域，是有界集，還是無(wú)界 集，并指出它的邊界例3指出下列點(diǎn)集是開區(qū)域，還是 例4求函數(shù) 的定義域，并用圖形表示。例4求函數(shù)例5設(shè) 求證例5設(shè)例6 設(shè)證明例6 設(shè)例設(shè)函數(shù)證明當(dāng)點(diǎn) 沿通過原點(diǎn)的任意直線 趨于 時(shí)函數(shù) 皆存在極限，且極限都相等，但是此函數(shù)在原點(diǎn)不存在極限。例設(shè)函數(shù)例求例求例求例求例10求 例10求 例11設(shè) ，證明

2、是 上的連續(xù)函數(shù)。例11設(shè) 例12為了使函數(shù)在原點(diǎn)連續(xù)，怎樣定義 的值，其中例12為了使函數(shù)在原點(diǎn)例13證明函數(shù)分別對(duì)每個(gè)自變量 （另一個(gè)看作常數(shù)）都連續(xù)，但作為二元函數(shù)在原點(diǎn) 不連續(xù)。 例13證明函數(shù)例14求函數(shù)的間斷點(diǎn)。例14求函數(shù)例15 求例15 求例16求 例16求 9-2偏導(dǎo)數(shù)例1求函數(shù)9-2偏導(dǎo)數(shù)例1求函數(shù)例2求的偏導(dǎo)數(shù)。例2求例3設(shè) 求證 例3設(shè) 例4求的偏導(dǎo)數(shù)。例4求例5求在點(diǎn) 處的偏導(dǎo)數(shù)。例5求例6已知理想氣體的狀態(tài)方程 （R是常量） 求證 例6已知理想氣體的狀態(tài)方例7函數(shù)說明此函數(shù)在點(diǎn) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在但在 不連續(xù)。例7函數(shù)例8設(shè) 求 例8設(shè) 例9證明函數(shù)滿足方程 ，其中

3、。例9證明函數(shù)例10設(shè) 求 并證明例10設(shè) 9-3 全微分例1證明函數(shù)在點(diǎn) 處連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存 在，但不可微。9-3 全微分例1證明函數(shù)例2已知函數(shù)說明 在 可微，但偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)。例2已知函數(shù)例3計(jì)算函數(shù) 的全微分。例4計(jì)算函數(shù) 在點(diǎn) 的全微分。例3計(jì)算函數(shù)例5計(jì)算函數(shù) 的全微分。例6計(jì)算函數(shù)在點(diǎn) 的全微分。例5計(jì)算函數(shù)9-4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例1設(shè) 而 求全導(dǎo)數(shù)9-4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例1設(shè) 例2設(shè) 而 求 。例2設(shè)例3設(shè) 而 求 。例3設(shè) 例4設(shè) 具 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 求例4設(shè)例5設(shè) 的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系中的形式 例5設(shè) 的所有二階例6利用全微

4、分形式的不變 性，求 。 設(shè)例6利用全微分形式的不變例7設(shè) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 求 。例7設(shè) 例8設(shè) 其中 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 二階可導(dǎo)，求 例8設(shè) 9-5 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式例1驗(yàn)證方程 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，當(dāng) 時(shí) 的隱函數(shù) ，并求這個(gè)函數(shù)的一階及二階導(dǎo)數(shù)在 的值。9-5 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式例1驗(yàn)證方程 隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且則方程 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 它滿足條件 并有 隱函數(shù)存在定理2 例2設(shè) 求 。例2設(shè) 例3設(shè) 為由方程 所確定的隱函數(shù)，求 。例3設(shè) 例4設(shè)函數(shù) 由方程 確定， 且 可微， 求

5、。例4設(shè)函數(shù) 由隱函數(shù)存在定理3 設(shè) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又且偏導(dǎo)數(shù)所組成的 函數(shù)行列式（或稱雅可比 式）隱函數(shù)存在定理3 在點(diǎn) 不等于零，則方程組在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ，它們滿足條件在點(diǎn) 不等于零，并有并有例5設(shè) 求 。例5設(shè) 例6設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 。（1）證明方程組 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù) （2）求反函數(shù)對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)。例6設(shè)函數(shù) 例7設(shè) 求 。例7設(shè) 9-6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用9-6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用（三）向量值函數(shù)的極限1.定義：設(shè)向量值函數(shù)

6、在點(diǎn) 的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在一個(gè)常向量 ，對(duì)于任意給定的正數(shù) ，總存在正數(shù) ，使得當(dāng) t 滿足對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 都滿足不等式 那么，常向量 叫做向量值函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的極限，記作（三）向量值函數(shù)的極限2.性質(zhì)：向量值函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的極限存在的充分必要條件是： 的三個(gè)分量函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的極限存在，在函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的極限存在時(shí)。2.性質(zhì)：向量值函數(shù) 當(dāng) （四）向量值函數(shù) 的連續(xù)性1.定義：設(shè)向量值函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，若則稱向量值函數(shù) 在 連續(xù)。2.性質(zhì)：向量值函數(shù) 在 連續(xù)的充分必要條件是： 的三個(gè)分量函數(shù)都在 連續(xù)。（四）向量值函數(shù) 的連續(xù)性都在 3. 是 上的連續(xù)函數(shù) 設(shè)向量值函數(shù) ,

7、 在 中的每一點(diǎn)處都連續(xù)， 則稱 在 上連續(xù)，并稱 是 上的連續(xù)函數(shù)。3. 是 上的連續(xù)函數(shù)（五）向量值函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)1.定義：設(shè)向量值函數(shù) 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果 存在，那么就稱這個(gè)極限向量為向量函數(shù)在 處的導(dǎo)數(shù)（或?qū)蛄浚?。（五）向量值函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)2.性質(zhì)：向量值函數(shù) 在 可導(dǎo)（即存在導(dǎo)數(shù)）的充分必要條件 是 的三個(gè)分量函數(shù)都在 可導(dǎo)，當(dāng) 在 可導(dǎo)時(shí)，其導(dǎo)數(shù) 。2.性質(zhì)：向量值函數(shù) 在 3. 在 上可導(dǎo) 設(shè)向量值函數(shù) ，若 在 中的每一點(diǎn) 處都存在導(dǎo)向量 ，那么就稱 在 上可導(dǎo)。3. 在 上可導(dǎo)4.向量值函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算法則 設(shè) 是可導(dǎo)的向量值函數(shù)， 是常向量，C是任一常數(shù)， 是可導(dǎo)

8、的數(shù)量函數(shù)，4.向量值函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算法則則 則 例1設(shè) 求 。例1設(shè) 例2設(shè)空間曲線 的向量方程為 求曲線 在與 相應(yīng)點(diǎn)處的單位切向量。例2設(shè)空間曲線 的向量方程為 例3 一個(gè)人在懸掛式滑翔機(jī)上由于快速上升氣流而沿位置向量為的路徑螺旋式向上，求 （1）滑翔機(jī)在任意時(shí)刻t的速度向量 和加速度向量。（2）滑翔機(jī)在任意時(shí)刻t的速率。（3）滑翔機(jī)在任意時(shí)刻的速度和加速 度正交的時(shí)刻。例3 一個(gè)人在懸掛式滑翔機(jī)上由于例4求空間曲線在 處的的切線及法平面方程。例4求空間曲線例5求曲線 上與平面平行的切線方程。例5求曲線 上與平例6求曲線在點(diǎn) 處的切線及法平面方程。例6求曲線例7求曲面上垂直于直線的切平面方程

9、。例7求曲面例8證明曲面 上任意一點(diǎn)的切平面與不在其上的 直線 平行（ 為常數(shù)）。例8證明曲面例6平面與橢球面相切，求 等于多少。例6平面9-7 方向?qū)?shù)與梯度例1說明函數(shù) 在點(diǎn) 處沿任意方向 的方向?qū)?shù)都存在，且有 而偏導(dǎo)數(shù) 都不存在。9-7 方向?qū)?shù)與梯度例1說明函數(shù) 例2求函數(shù) 在點(diǎn) 到點(diǎn) 的方向的方向?qū)?shù)。例2求函數(shù) 例3求 在點(diǎn) 沿方向 的方向 導(dǎo)數(shù)，其中 的方向角分別為 。例3求例4求二元函數(shù)在點(diǎn) 沿方向的方向?qū)?shù)及梯度，并指出 在該點(diǎn)沿哪個(gè)方向減少的最快，沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)為為零。例4求二元函數(shù)例5設(shè)函數(shù) 在 處沿 的方向?qū)?shù)是1，沿的方向?qū)?shù)是-3，求 在 沿 的方向?qū)?shù)。例

10、5設(shè)函數(shù) 在 例6設(shè) 求 （1） 在 處增加最快的方向以及 沿這個(gè)方向的方向?qū)?shù)。 （2） 在 處減少最快的方向以及 沿這個(gè)方向的方向?qū)?shù)。 （3） 在 處的變化率為零的方向。例6設(shè) 例7設(shè) 問 在 處沿什么方向變化最快，在這個(gè)方向的變化率是多少？例7設(shè) 例8求曲面 在點(diǎn) 得切平面和法線 方程。例8求曲面例9設(shè) 求 。例9設(shè)例10試求數(shù)量場(chǎng) 所產(chǎn)生梯度場(chǎng)，其中常數(shù)為原點(diǎn) 間的距離。例10試求數(shù)量場(chǎng) 所產(chǎn)生梯度9-8 多元函數(shù)的極值及其求法例1求函數(shù)的極值。9-8 多元函數(shù)的極值及其求法例1求函數(shù)例2求函數(shù) 的極值。例2求函數(shù)例3某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為 的有蓋長(zhǎng)方體水箱，問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最省。例3某