初三數(shù)學(xué)弦切角 相交弦定理 割線定理 切割線定理知識(shí)精講 首師大版下載

1、初三數(shù)學(xué)弦切角 相交弦定理 割線定理 切割線定理知識(shí)精講一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 弦切角、相交弦定理、割線定理、切割線定理（一）弦切角： 1. 定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。 滿足三個(gè)條件：（1）頂點(diǎn)在圓上；（2）一邊和圓相交；（3）一邊和圓相切。 判斷下列圖形中的BAC是不是弦切角： 圖A中，缺少“頂點(diǎn)在圓上”的條件； 圖B中，缺少“一邊和圓相交”的條件； 圓C中，缺少“一邊和圓相切”的條件； 圓D中，缺少“頂點(diǎn)在圓上”和“一邊和圓相切”兩個(gè)條件。 所以，圖中的BAC都不是弦切角。 2. 分類（以圓心的位置分）： （1）圓心在角的外部；（2）圓心在角的一邊上；（3

2、）圓心在角的內(nèi)部。 3. 弦切角的度理定理： 弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。 推論1：弦切角定理： 弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。 推論2：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等。（二）相交弦定理 圓的兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 如圖1（1），在O中，AB、CD相交于點(diǎn)P，則PAPBPCPD。（三）割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 如圖1（3），有PAPBPCPD。（四）切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 如圖1（4），有PA2P

3、CPD。 當(dāng)點(diǎn)P從圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)到圓上、圓外時(shí)（從圖1（1）到圖1（3），總有PAPBPCPD，圖1（2）中，點(diǎn)B、D與點(diǎn)P重合，PBPD0，PAPBPCPD同樣成立。 當(dāng)割線PBA繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到切線PA的位置時(shí)，點(diǎn)B與A重合，結(jié)論不變，仍有PAPBPCPD，此時(shí)PAPB，所以PA2PCPD。 當(dāng)割線PDC也變?yōu)榍芯€PC時(shí)，總有PAPBPCPD，因?yàn)镻CPD，PAPB，所以PA2PC2，即PAPC，此為切線長(zhǎng)定理。 當(dāng)圖1（1）中的兩條相交弦的位置調(diào)整為：其中一條為直徑，另一條弦與直徑垂直，根據(jù)相交弦定理，同樣有PAPBPCPD，又根據(jù)垂徑定理，有PAPB，所以有PA2PCPD。 在上面的圖形變化中

4、，點(diǎn)P的位置和AB、CD的位置在不斷地變化，而變化中有不變量，即PAPBPCPD的關(guān)系是不變的。我們應(yīng)抓住圖形的本質(zhì)特征，我們把相交弦定理、割線定理、切割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理。二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)是弦切角及其應(yīng)用，相交弦、割線、切割線定理及其應(yīng)用。 難點(diǎn)是靈活應(yīng)用三個(gè)定理證明等積線段問題，及三個(gè)定理之間的內(nèi)在聯(lián)系。 例1. 如圖2，已知PA與O切于點(diǎn)A，PO交O于點(diǎn)B，ABBP，求P的度數(shù)。 解：連結(jié)OA PA切O于點(diǎn)A 例2. 如圖3（1），已知AB是O的直徑，C在AB的延長(zhǎng)線上，CD切O于D，DEAB于E。 求證：12 分析：要證12，能否直接應(yīng)用定理去證？或者轉(zhuǎn)化，找中間量，尋找第三

5、角。 證法一：連結(jié)OD，如圖3（2） CD切O于D 在O中，ODOB 證法二：連結(jié)AD，如圖3（3） AB是O的直徑 又CD切O于D 證法三：延長(zhǎng)DE交O于F，連結(jié)BF，如圖3（4） AB是O的直徑，且ABDF DBBF 則1F CD是O的切線 2F（弦切角定理） 12 證法四：過點(diǎn)B作O的切線，交CD于M，如圖3（5） AB是O的直徑 ABBM（切線的性質(zhì)） 又DEAB DEMB 1DBM 又CD切O于D 2MBD（弦切角定理推論） 12 證法五：連結(jié)OD，過B作BNCD于N，如圖3（6） CD切O于D ODCD（切線的性質(zhì)） ODBN 則ODBDBN 在O中，ODOB ODBOBD DBN

6、OBD 12（等角的余角相等） 習(xí)題：由此題的各種解法可以得出圓中哪些常用的輔助線？ 如圖3（7），學(xué)習(xí)過程中要不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行知識(shí)的歸納總結(jié)，從而得到提高。 例3. 已知AB是O的弦，TA切O于點(diǎn)A，TAB110，點(diǎn)C在圓周上，但與A、B兩點(diǎn)不重合，求ACB的度數(shù)。 分析：本題應(yīng)分為兩種情況，如圖4（1）所示： 所以，ACB的度數(shù)等于70或110 例4. 如圖5（1），已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)C，A28。 （1）求ACM的度數(shù)； （2）在MN上是否存在一點(diǎn)D，使ABCDACBC，為什么？ 分析：（1）由弦切角定理可得：ACMB 又AB是直徑，B90A 而A已知，故ACM可求

7、。 另外也可作CEAB于E，在RtABC中，可得ABCEACBC 則只需在MN上截取CDCE，即可得ABCDACBC 解：（1）AB是直徑 MN是切線，C為切點(diǎn) （2）證法一：在MN上存在符合條件的點(diǎn)D 過點(diǎn)A作ADMN，垂足為D，如圖5（1） MN切半圓ACB于點(diǎn)C BACD ABCDACBC 證法二：過點(diǎn)C作CEAB，垂足為E，在MN上截取CDCE，如圖5（2）： 例5. 已知點(diǎn)P不在O上，過點(diǎn)P作直線交O于A、B兩點(diǎn)，若O的半徑為r，OPd。 求證：PAPB為定值 分析：由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知，點(diǎn)P與O的位置有兩種情況：點(diǎn)P在O內(nèi)和O外。由相交弦定理和割線定理計(jì)算PAPB的值為常數(shù)。 解

8、：當(dāng)點(diǎn)P在O內(nèi)時(shí)，如圖6（1）： 延長(zhǎng)PO交O于C點(diǎn)，延長(zhǎng)OP交O于D點(diǎn) 根據(jù)相交弦定理，得： 當(dāng)點(diǎn)P在O外時(shí)，如圖6（2）： 設(shè)OP與O交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)PO交O于點(diǎn)C 由割線定理，得： 即PAPB為定值 例6. 已知：如圖7，O1、O2相交于A、B兩點(diǎn)，直線TD交O1于M、D兩點(diǎn)，切O2于T點(diǎn)，M為TD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA交TD于點(diǎn)C，若CT4cm，求CM的長(zhǎng)。 分析：依題意，由切割線定理和割線定理可得： 又CT已知，且M為TD的中點(diǎn)，所以 解這個(gè)關(guān)于CM的方程即可求出CM的長(zhǎng)。 解：CT切O2于點(diǎn)T 又CMCDCACB（割線定理） M是TD的中點(diǎn) DMMT 一. 選擇題。 1. 已知弦切角等于3

9、6，它所夾的弧對(duì)的圓心角的度數(shù)是（ ） A. 72B. 54C. 36D. 18 2. 在O中，則弦AB所對(duì)的圓周角等于（ ） A. 42B. 84C. 84或96D. 42或48 3. 兩條弦相交，其中一條弦長(zhǎng)為8cm，且被交點(diǎn)平分，另一條弦被交點(diǎn)分為1：4兩部分，則這條弦長(zhǎng)為（ ） A. 12cmB. 10cmC. 8cmD. 2cm 4. 從圓外一點(diǎn)向半徑為8的圓作切線，若切線長(zhǎng)為16，則這點(diǎn)到圓的最短距離是（ ） A. B. C. D. 8 5. 如圖，PC切O于點(diǎn)C，PAB和PDE是O的割線，弦CG交PB于點(diǎn)F，則下列等式：（1），（2）CFFGAFFB，（3）PAABPDDE，（4

10、）PAPBPDPE，正確的個(gè)數(shù)是（ ） A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè) 6. 已知圓外切四邊形的周長(zhǎng)為24cm，相鄰三邊的比為5：4：7，則這個(gè)四邊形的最長(zhǎng)邊為（ ） A. 16cmB. 11cmC. 10cmD. 8cm 7. 如圖，PAD和PCB是O的兩割線，AB、CD交于O內(nèi)一點(diǎn)Q，連結(jié)AC、BD，則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)有（ ）對(duì) A. 2B. 3C. 4D. 5 8. 如圖，在O中，AB是弦，AC是O的切線，過點(diǎn)B作BDAC于D，BD交O于點(diǎn)E，若AE平分BAD，則ABD的度數(shù)是（ ） A. B. C. D. 9. 如圖，已知四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形，AD為O的直徑，直

11、線MN切O于B，DC的延長(zhǎng)線交MN于G，若，則的值為（ ） A. B. C. 1D. 10. 如圖，PA、PB是O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，C是上一點(diǎn)，已知O的半徑為r，PO2r，設(shè)，則與的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 不確定二. 填空題。 11. 在O中，AB是直徑，AD是弦，過B點(diǎn)的切線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若ADDC，則ABD_度。 12. 如圖，AD、CD、CB分別與O相切于A、E、B三點(diǎn)，且AD4，BC7，AB為直徑，則DE_，AB_。 13. 四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB為直徑，MC切O于點(diǎn)C，交AB的延長(zhǎng)線于M，則ABC_，D_，M_。 14. 如圖，的三邊AB、BC

12、、CA分別切O于D、E、F點(diǎn)，AB7，AC5，BC8，則AD_，BE_，EC_。 15. 如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)在上，過點(diǎn)A的切線FA交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，如果，那么_。三. 解答題。 16. 如圖，O是已知線段AB上一點(diǎn)，以O(shè)B為半徑的O交線段AB于點(diǎn)C，以線段OA為直徑的圓交O于點(diǎn)D，EBAB于B交AD的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)。 （1）求證：AE切O于點(diǎn)D； （2）若AC2，且AC、AD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程的兩根，求EB的長(zhǎng)； （3）當(dāng)點(diǎn)O位于線段AB何處時(shí)，恰好是等邊三角形？ 17. 如圖，已知PA切O于A，割線PCD交O于C、D，弦ABPC交PD于E，且AEEC，若O的半徑長(zhǎng)

13、為，求弦AB的長(zhǎng)及。參考答案 HYPERLINK :/ DearEDU 一. 選擇題。 1. A2. D3. B4. B5. C 6. D7. C8. A9. D10. B 提示：2. 如圖，點(diǎn)D可以在上即D1，也可以在上即D2，所以圓周角，或，應(yīng)選D。 3. 設(shè)這條弦被分成的兩部分的長(zhǎng)為x cm和4x cm 根據(jù)相交弦定理，有 （舍負(fù)） 則這條弦長(zhǎng)為 應(yīng)選B 4. 如圖，過O、P作直線，交O于B、C兩點(diǎn)，則點(diǎn)P到O的最短距離即為PB的長(zhǎng) 由切割線定理，得： 設(shè)，則 解方程 得：（舍負(fù)） 應(yīng)選B 5. （3）是錯(cuò)的，不符合割線定理，應(yīng)選C。 6. 如圖，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，有：AEAH，DHDG，

14、CGCF，BFBE 設(shè) 相鄰三邊比AD：CD：BC5：4：7 設(shè) 則有 得： 則 最長(zhǎng)邊8x長(zhǎng)為8cm 應(yīng)選D 7. 應(yīng)選C 8. 依題意，得： 而 應(yīng)選A 9. 連結(jié)BD，由，得 所以 故 應(yīng)選D 10. 如圖，連結(jié)OA、AB 在中，由，得： 所以 而PAPB，所以是等邊三角形 由于，所以 則 又，所以 應(yīng)選B二. 填空題。 11. 4512. 13. 14. 2，5，315. 1 提示：11. 由BC切O于點(diǎn)B可知 又由ADDC，根據(jù)等腰三角形底邊的中線與頂角的平分線重合，得： 12. 由切線長(zhǎng)定理可知： 如圖，過D作DFBC于F，則CFBCAD3 由切線的性質(zhì)，則四邊形ABFD是矩形， 在中， 13. 如圖，連結(jié)AC，由AB是直徑可知 由MC切O于C，得： 則， 14. 設(shè)，由切線長(zhǎng)定理，得： 則有 得： 得： 得： 得： 所以， 15. 如圖，連結(jié)BD 由，由ADBC得： 可證 得： 而，得： 所以，三. 解答題。 16. 如圖，（1）連結(jié)OD AO為小圓的直徑 D在O上 AD切O于點(diǎn)D （2）依題意，有：，而 切O