相似三角形培優(yōu)訓練含答案

1、相似三角形分類提高訓練一、相似三角形中的動點問題1.如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，過點B作射線BB1AC動點D從點A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動過點D作DHAB于H，過點E作EFAC交射線BB1于F，G是EF中點，連接DG設點D運動的時間為t秒1）當t為何值時，AD=AB，并求出此時DE的長度；2）當DEG與ACB相似時，求t的值2.如圖，在ABC中，ABC90，AB=6m，BC=8m，動點P以2m/s的速度從A點出發(fā)，沿AC向點C搬動同時，動點Q以1m/s的速度從C點出發(fā)，沿CB向點B搬動當其中有

2、一點到達終點時，它們都停止搬動設搬動的時間為t秒（1）當t=2.5s時，求CPQ的面積；求CPQ的面積S（平方米）關于時間t（秒）的函數(shù)解析式；（2）在P，Q搬動的過程中，當CPQ為等腰三角形時，求出t的值3.如圖1，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，點D在邊AB上運動，DE均分CDB交邊BC于點E，EMBD，垂足為M，ENCD，垂足為N1）當ADCD時，求證：DEAC；2）研究：AD為何值時，BME與CNE相似4.以下列圖，在ABC中，BABC20cm，AC30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，當P點

3、到達B點時，Q點隨之停止運動設運動的時間為x1）當x為何值時，PQBC2）APQ與CQB可否相似若能，求出AP的長；若不能夠說明原由如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從A開始向點B以2cm/s的速度搬動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度搬動若是P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示搬動的時間（0t6）。1）當t為何值時，QAP為等腰直角三角形2）當t為何值時，以點Q、A、P為極點的三角形與ABC相似二、構造相似輔助線雙垂直模型在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(2，1)，正比率函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45，求這個正比率函數(shù)的表達式7.在AB

4、C中，AB=，AC=4，BC=2，以AB為邊在C點的異側作ABD，使ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長8.在ABC中，AC=BC，ACB=90，點M是AC上的一點，點N是BC上的一點，沿著直線MN折疊，使得點C恰好落在邊AB上的P點求證：MC：NC=AP：PB如圖，在直角坐標系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為（1，3），將矩形沿對角線AC翻折B點落在D點的地址，且AD交y軸于點E那么D點的坐標為（）A.B.C.D.10.已知，如圖，直線y=2x2與坐標軸交于A、B兩點以AB為短邊在第一象限做一個矩形ABCD，使得矩形的兩邊之比為12。求C、D兩點的坐標。三、構

5、造相似輔助線A、X字型如圖：ABC中，D是AB上一點，AD=AC，BC邊上的中線AE交CD于F。求證：四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比率中項，且AC均分DAB。求證：在梯形ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E為AD邊上的任意一點，EFAB，且EF交BC于點F，某同學在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)以下事實：(1)當時，EF=；(2)當時，EF=；(3)當時，EF=當時，參照上述研究結論，請你猜想用a、b和k表示EF的一般結論，并給出證明已知：如圖，在ABC中，M是AC的中點，E、F是BC上的兩點，且BEEFFC。求BN：NQ：QM證明：（1）重心定理：三角形極點到重心的距離等于該極點對邊上中線

6、長的（注：重心是三角形三條中線的交點）（2）角均分線定理：三角形一個角的均分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比率四、相似類定值問題如圖，在等邊ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點，D為MN上任意一點，BD、CD的延長線分別交AC、AB于點E、F求證：已知：如圖，梯形ABCD中，AB/DC，對角線AC、BD交于O，過O作EF/AB分別交AD、BC于E、F。求證：18.如圖，在ABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形EFGH的四個極點分別在ABC上。求證：19.已知，在ABC中作內(nèi)接菱形CDEF，設菱形的邊長為a求證：五、相似之共線線段的比率問題（1）如圖1，點在平行四邊形ABCD

7、的對角線BD上，素來線過點P分別交BA，BC的延長線于點Q，S，交于點求證：（2）如圖2，圖3，當點在平行四邊形ABCD的對角線或的延長線上時，可否依舊成立若成立，試給出證明；若不成立，試說明原由（要求僅以圖2為例進行證明或說明）；已知：如圖，ABC中，ABAC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CFAB，延長BP交AC于E，交CF于F求證：BP2PEPF如圖，已知ABC中，AD，BF分別為BC，AC邊上的高，過D作AB的垂線交AB于E，2交BF于G，交AC延長線于H。求證：DE=EG?EH已知如圖，P為平行四邊形ABCD的對角線AC上一點，過P的直線與AD、BC、CD的延長線、AB的延長線分

8、別訂交于點E、F、G、H.求證：24.已知，如圖，銳角ABC中，ADBC于D，H為垂心（三角形三條高線的交點）；在AD2上有一點P，且BPC為直角求證：PDADDH。六、相似之等積式種類綜合已知如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，E為BC的中點，ED的延長線交CA于F。求證：26如圖，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，點M在CD上，DHBM且與AC的延長線交于點E.求證：（1）AEDCBM；（2）如圖，ABC是直角三角形，ACB=90，CDAB于D，E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F.（1）求證：.（2）若G是BC的中點，連接GD，GD與EF垂直嗎并說明原由.如圖，四邊形

9、ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG訂交于點M，CG與AD訂交于點N求證：如圖，BD、CE分別是ABC的兩邊上的高，過D作DGBC于G，分別交CE及BA的延長線于2F、H。求證：（1）DGBGCG；（2）BGCGGFGH七、相似基本模型應用ABC和DEF是兩個等腰直角三角形，A=D=90，DEF的極點E位于邊BC的中點上（1）如圖1，設DE與AB交于點M，EF與AC交于點N，求證：BEMCNE；（2）如圖2，將DEF繞點E旋轉，使得DE與BA的延長線交于點M，EF與AC交于點N，于是，除（1）中的一對相似三角形外，可否再找出一對相似三角形并證明你的結論如圖，四邊形ABCD和

10、四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、Q1）請寫出圖中各對相似三角形（相似比為1除外）；2）求BP：PQ：QR如圖，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。求證：答案：1.答案：解：（1）ACB=90，AC=3，BC=4AB=5又AD=AB，AD=5tt=1，此時CE=3，DE=3+3-5=12）如圖當點D在點E左側，即：0t若DEG與ACB相似，有兩種狀況：DEGACB，此時，即：，求得：t=；DEGBCA，此時，即：，求得：t=；時，DE=3t+3-5t=3-2t如圖，當點D在點E右側，即：t若DEG與ACB相似，有兩種狀況：DEGACB

11、，此時，即：，求得：t=；DEGBCA，此時，時，DE=5t-(3t+3)=2t-3即：，求得：t=綜上，t的值為或或或答案：解：（1）證明：AD=CDA=ACDDE均分CDB交邊BC于點ECDE=BDECDB為CDB的一個外角CDB=A+ACD=2ACDCDB=CDE+BDE=2CDEACD=CDEDEAC2）NCE=MBEEMBD，ENCD，BMECNE，如圖NCE=MBEBD=CD又NCE+ACD=MBE+A=90ACD=AAD=CDAD=BD=AB在RtABC中，ACB90，AC6，BC8AB=10AD=5NCE=MEBEMBD，ENCD，BMEENC，如圖NCE=MEBEMCDCDA

12、B在RtABC中，ACB90，AC6，BC8AB=10A=A，ADC=ACBACDABC綜上：AD=5或時，BME與CNE相似4.答案：解（1）由題意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，當PQBC時，即：解得：（2）能，AP=cm或AP=20cmAPQCBQ，則解得：或此時：AP=cm（舍），即APQCQB，則，即解得：（吻合題意）此時：AP=cm故AP=cm或20cm時，APQ與CQB能相似5.答案：解：設運動時間為t，則DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t1）若QAP為等腰直角三角形，則AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（吻合題意）t=2時，QAP為等腰直角三角形

13、2）B=QAP=90當QAPABC時，即：，解得：（吻合題意）；當PAQABC時，即：，解得：（吻合題意）當或時，以點Q、A、P為極點的三角形與ABC相似答案：解：分兩種狀況第一種狀況，圖象經(jīng)過第一、三象限過點A作ABOA，交待求直線于點B，過點A作平行于y軸的直線交x軸于點C，過點B作BDAC則由上可知：90由雙垂直模型知：OCAADBA（2，1），45OC2，AC1，AOABADOC2，BDAC1D點坐標為（2，3）B點坐標為（1，3）此時正比率函數(shù)表達式為：y3x第二種狀況，圖象經(jīng)過第二、四象限過點A作ABOA，交待求直線于點B，過點A作平行于x軸的直線交y軸于點C，過點B作BDAC則由

14、上可知：90由雙垂直模型知：OCAADBA（2，1），45OC1，AC2，AOABADOC1，BDAC2D點坐標為（3，1）B點坐標為（3，1）此時正比率函數(shù)表達式為：yx答案：解：狀況一：狀況二：狀況三：答案：證明：方法一：連接PC，過點P作PDAC于D，則PD/BC依照折疊可知MNCP2+PCN=90，PCN+CNM=902=CNMCDP=NCM=90PDCMCNMC：CN=PD：DCPD=DAMC：CN=DA：DCPD/BCDA：DC=PA：PBMC：CN=PA：PB方法二：如圖，過M作MDAB于D，過N作NEAB于E由雙垂直模型，能夠推知PMDNPE，則，依照等比性質可知，而MD=DA

15、，NE=EB，PM=CM，PN=CN，MC：CN=PA：PB9.答案：A解題思路：如圖過點D作AB的平行線交BC的延長線于點M，交x軸于點N，則M=DNA=90，由于折疊，能夠獲取ABCADC，又由B（1，3）BC=DC=1，AB=AD=MN=3，CDA=B=901+2=90DNA=903+2=901=3DMCAND，設CM=x，則DN=3x，AN=1x，DM3x3x，則。答案為A答案：解：過點C作x軸的平行線交y軸于G，過點D作y軸的平行線交x軸于F，交GC的延長線于E。直線y=2x2與坐標軸交于A、B兩點A（1,0），B（0,2）OA=1，OB=2，AB=AB：BC=1:2BC=AD=AB

16、O+CBG=90，ABO+BAO=90CBG=BAO又CGB=BOA=90OABGBCGB=2，GC=4GO=4C（4,4）同理可得ADFBAO，得DF=2，AF=4OF=5D（5,2）答案：證明：（方法一）如圖延長AE到M使得EM=AE，連接CMBE=CE，AEB=MECBEACEMCM=AB，1=BABCMM=MAD，MCF=ADFMCFADFCM=AB，AD=AC（方法二）過D作DGBC交AE于G則ABEADG，CEFDGF，AD=AC，BE=CE答案：證明：過點D作DFAB交AC的延長線于點F，則2=3AC均分DAB1=21=3AD=DFDEF=BEA，2=3BEADEFAD=DFAC

17、為AB、AD的比率中項即又1=2ACDABC答案：解：證明：過點E作PQBC分別交BA延長線和DC于點P和點QABCD，PQBC四邊形PQCB和四邊形EQCF是平行四邊形PBEFCQ，又ABb，CDaAPPB-ABEF-b，DQDC-QCa-EF答案：解：連接MFM是AC的中點，EFFCMFAE且MFAEBENBFMBN：BMBE：BFNE：MFBEEFBN：BMNE：MF1:2BN：NM1:1設NEx，則MF2x，AE4xAN3xMFAENAQMFQNQ：QMAN：MF3:2BN：NM1:1，NQ：QM3:2BN：NQ：QM5:3:2答案：證明：（1）如圖1，AD、BE為ABC的中線，且AD

18、、BE交于點O過點C作CFBE，交AD的延長線于點FCFBE且E為AC中點AEOACF，OBDFCD，AC2AEEAOCAFAEOACFD為BC的中點，ODBFDCBODCFDBOCF同理，可證別的兩條中線三角形極點到重心的距離等于該極點對邊上中線長的2）如圖2，AD為ABC的角均分線過點C作AB的平行線CE交AD的延長線于E則BAD=EAD為ABC的角均分線BAD=CADE=CADACCECEABBADCED答案：證明：如圖，作DPAB，DQAC則四邊形MDPB和四邊形NDQC均為平行四邊形且DPQ是等邊三角形BP+CQMN，DPDQPQM、N分別是邊AB，AC的中點MNBCPQDPAB，D

19、QACCDPCFB，BDQBEC，DPDQPQBCABAB（）17.答案：證明：EF/AB，AB/DCEF/DCAOEACD，DOEDBA，答案：證明：EFCD，EHAB，AFEADC，CEHCABEFEH，答案：證明：EFAC，DEBC，BFEBCA，AEDABC，EFDEa答案：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，ADBC，DRP=S，RDB=DBSDRPBSP同原由ABCD可證PTDPQB2）證明：成立，原由以下：在平行四邊形ABCD中，ADBC，PRD=S，RDP=DBSDRPBSP同原由ABCD可證PTDPQB答案：證明:ABAC，AD是中線，ADBC,BP=CP1=2又ABC=AC

20、B3=4CFAB3=F,4=F又EPC=CPFEPCCPF2BPPEPF即證所求答案：證明：DEAB9090ADEDBEDE2=BFAC9090且BEGHEADE2=EGEH答案：證明：四邊形ABCD為平行四邊形ABCD，ADBC1=2，G=H，5=6PAHPCG又3=4APECPF24.答案：證明：如圖，連接BH交AC于點E，H為垂心BEACEBC+BCA=90ADBC于DDAC+BCA=90EBC=DAC又BDH=ADC=90BDHADC，即BPC為直角，ADBCPD2BDDCPD2ADDH答案：證明：CD是RtABC斜邊AB上的高，E為BC的中點CE=EB=DEB=BDE=FDAB+CAB=90，ACD+CAB=90B=ACDFDA=ACDF=FFDAFCDADC=CDB=90，B=ACDACDCBD即答案：證明：（1）ACBADC90AACD90BCMACD90ABCM同理可得：MDHMBDCMBCDBMBD90MBDADEADCMDH90MDHADECMBAEDCBM（2）由上問可知：，即故只需證明即可A