《數(shù)值計算方法》課程教學(xué)大綱

1、PAGE PAGE 8A：數(shù)值計算方法課程教學(xué)大綱授課專業(yè)：信息與計算科學(xué)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)學(xué)時數(shù)：64+16學(xué)分?jǐn)?shù)：5一、課程的性質(zhì)和目的數(shù)值計算方法是綜合性大學(xué)信息與計算科學(xué)專業(yè)的一門主要專業(yè)基礎(chǔ)課程，同時也是許多理工科本科的專業(yè)課?！皵?shù)值計算方法”，它是以各類數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法作為研究對象，并結(jié)合現(xiàn)代計算機科學(xué)與技術(shù)為解決科學(xué)與工程中遇到的各類數(shù)學(xué)問題提供算法，它是平行于理論分析和科學(xué)實驗的重要科學(xué)研究手段。本課程的教學(xué)目的在于通過教與學(xué)，使學(xué)生系統(tǒng)掌握數(shù)值計算方法的基本概念和分析問題的基本方法，并通過上機實習(xí)為數(shù)值計算方法的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和解決科學(xué)與工程中的實際問題打好基礎(chǔ)，使學(xué)生具

2、備基本的算法分析、算法設(shè)計的能力和較強的編程能力。 二、課程教學(xué)的基本要求本課程的教學(xué)環(huán)節(jié)包括課堂講授，實驗（包括上機實驗），習(xí)題課，答疑和期末考試。通過上述基本教學(xué)步驟，要求學(xué)生理解并掌握數(shù)值計算中誤差的概念、函數(shù)的數(shù)值逼近（多項式插值問題與函數(shù)的最佳逼近）、數(shù)值積分與數(shù)值微分、數(shù)值線性代數(shù)問題（線性方程組的數(shù)值解、數(shù)值求解矩陣的特征值與特征向量）、非線性方程的數(shù)值解法以及常微分方程（初、邊值問題）的數(shù)值解法。并通過上機實習(xí)，深入理解和掌握各類數(shù)學(xué)問題數(shù)值算法及了解數(shù)值計算中應(yīng)注意的問題，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。本課程以課堂講授為主（總共授課64學(xué)時），每章后配有一定數(shù)量的習(xí)題，鞏固

3、課堂所學(xué)的知識。每一類算法應(yīng)選做一定數(shù)量的實習(xí)題（全部安排16學(xué)時上機實習(xí)），以便深入理解數(shù)值算法的內(nèi)容?？己朔绞綖殚]巻考試。三、課程教學(xué)內(nèi)容第一章 引論 （3學(xué)時）要求理解與熟練掌握的內(nèi)容有：數(shù)值計算中誤差的基本概念；算法的數(shù)值穩(wěn)定性問題。一般理解與掌握的內(nèi)容有：計算機中數(shù)的浮點表示。難點：算法的數(shù)值穩(wěn)定性。第二章 函數(shù)基本逼近（一）插值逼近 （10學(xué)時）要求理解與熟練掌握的內(nèi)容有：代數(shù)多項式插值；差商；牛頓插值多項式； 埃爾米特插值。要求一般理解與掌握的內(nèi)容有： 樣條函數(shù)插值；要求了解的內(nèi)容有： B-樣條及其性質(zhì)。難點：多項式插值理論，樣條函數(shù)插值。第三章 函數(shù)基本逼近（二）最佳逼近 （9

4、學(xué)時）要求理解與熟練掌握的內(nèi)容有： 最佳平方逼近； 數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法要求一般理解與掌握的內(nèi)容有： 最佳一致逼近多項式； 內(nèi)積空間的最佳逼近； 正交多項式。難點：最佳平方逼近與最小二乘法第四章 數(shù)值積分方法與數(shù)值微分 （9學(xué)時）要求理解與熟練掌握的內(nèi)容有： NewtonCotes求積公式； 復(fù)化求積公式；Gauss型求積公式； 數(shù)值微分法。要求一般理解與掌握的內(nèi)容有： 基于復(fù)化求積公式的高精度求積算法。難點：數(shù)值積分方法與數(shù)值微分方法。第五章 線性方程組的解法 （12學(xué)時）要求理解與熟練掌握的內(nèi)容有：Gauss消去法與矩陣的三角分解；向量與矩陣的范數(shù)；迭代方法（Jacobi迭代法、Gauss

5、-Seidel迭代法及SOR迭代法的計算格式與收斂的充分條件）。要求一般理解與掌握的內(nèi)容有：共軛梯度方法。難點：直接方法和迭代解法。第六章 矩陣特征值問題的數(shù)值解法 （8學(xué)時）要求理解與熟練掌握的內(nèi)容有：求矩陣特征值的乘冪方法；反乘冪法；矩陣的約化；求對稱矩陣特征值的二分法。要求一般理解與掌握的內(nèi)容有：QR方法。難點：矩陣特征值及其特征向量的數(shù)值求解方法的基本原理。第七章 非線性方程數(shù)值解法 （4學(xué)時）要求深刻理解與熟練掌握的重點內(nèi)容有：簡單迭代法；牛頓迭代法；非線性方程組的牛頓迭代法。要求一般理解與掌握的內(nèi)容有：求根的閉區(qū)間套方法；割線法；高次代數(shù)方程求根。難點：牛頓迭代法；非線性方程組的牛

6、頓迭代法。第八章 常微分方程數(shù)值解法 （9學(xué)時）要求一般理解與掌握的內(nèi)容有：Euler方法、線性多步法、Runge-Kutta方法，邊值問題的數(shù)值方法。難點：方法構(gòu)造的基本思想及收斂性和穩(wěn)定性理論。四、建議教材與教學(xué)參考書1黃云清、舒適、陳艷萍、金繼承、文立平主編，數(shù)值計算方法，科學(xué)出版社，2009年。2 王能超，數(shù)值分析簡明教程，高等教育教育出版社，1991。3 關(guān)治，陳景良，數(shù)值計算方法，北京：清華大學(xué)出版社，1990。4 王德人，楊忠華，數(shù)值逼近引論，高等教育出版社，1990。5 馮果忱，劉經(jīng)倫，數(shù)值代數(shù)基礎(chǔ)，吉林大學(xué)出版社，1991。6 李榮華，馮果忱，微分方程數(shù)值解法，人民教育出版社

7、，1980。B: 數(shù)值計算方法實驗一、大綱說明本大綱根據(jù)2006年信息與計算數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)計劃制定。1、適用專業(yè)：信息與計算科學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)2、課程性質(zhì)：必修課3、學(xué)時學(xué)分：2周、1學(xué)分4、主要先修課程與后續(xù)課程 先修課程：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、常微分方程以及算法語言（Fortran 語言或C語言） 后續(xù)課程：最優(yōu)化方法、偏微分方程數(shù)值解法以及小波分析等 二、實驗的目的實驗課是數(shù)值計算方法課程中的重要的實踐環(huán)節(jié)，目的是使學(xué)生得到選擇算法、編寫程序、分析數(shù)值結(jié)果、寫數(shù)值試驗報告、課堂討論等環(huán)節(jié)的綜合訓(xùn)練，鞏固課堂教學(xué)的內(nèi)容，培養(yǎng)使用電子計算機進(jìn)行科學(xué)計算和解決實際問題的能力。三、實驗的的基本

8、內(nèi)容及要求序號項目名稱內(nèi)容提要項目時數(shù)1函數(shù)逼近根據(jù)給出的一組離散的函數(shù)樣本數(shù)據(jù)，構(gòu)造Lagrange插值多項式或Newton插值多項式42數(shù)值積分近似計算In2和圓周率，43求解線性代數(shù)方程組（直接方法）給出一個五階線性代數(shù)方程組44解線性代數(shù)方程組（迭代方法）利用Gauss-Seidel迭代法求解一個10階線性代數(shù)方程組。45用二分法求矩陣的特征值給出一個四階對稱矩陣，用二分法求解它的特征值1、寫出Sturm序列；2、判定矩陣于某區(qū)間中特征值的個數(shù)，用二分法近似計算出全部特征值46解非線性方程或非線性方程組的Newton迭代法給出非線性方程或非線性方程組，用Newton迭代法在給出的精度要

9、求下求其近似解。4四、實驗方式1、由指導(dǎo)教師講清數(shù)值試驗的基本內(nèi)容與要求、實驗?zāi)康暮妥⒁馐马棥?、實驗分小組進(jìn)行，每組上機計算同一題目，上機時間每次四小時，由學(xué)生事先編好程序，獨立操作計算機完成。3、數(shù)值實驗除驗證典型的計算方法外，還要求學(xué)生掌握數(shù)值試驗的方法和程序設(shè)計的基本技能。五、實驗時間安排實驗時間應(yīng)安排在學(xué)完相應(yīng)章節(jié)的課程內(nèi)容后進(jìn)行，時間為16學(xué)時，具體時間分配見上表表格。六、實驗習(xí)題（下面僅做參考，可自選題目）1、函數(shù)逼近目的：通過數(shù)值實驗，掌握函數(shù)逼近的基本方法.題目：求下列各離散函數(shù)的插值多項式：（1）-101/21-3-1/201（2）-101/21-3/2001/2算法：利用

10、Lagrange插值公式或Newton插值公式。 2、數(shù)值積分目的：通過數(shù)值實驗，掌握基本的數(shù)值積分方法.題目：近似計算和圓周率.算法描述：計算下式右端積分的近似值.算法：分別利用自適應(yīng)復(fù)化Simpson求積公式與Romberg方法求上面兩個積分的近似值，要求絕對誤差限不超過：.3、求解線性代數(shù)方程組的直接方法.目的：了解并熟悉用Gauss消元法及基于三角分解的直接方法（Dolittle分解、Crout分解）解線性代數(shù)方程組.題目：求解下面二個84階三對角線性方程組：算法：利用“追趕法”解上述線性代數(shù)方程組，并將結(jié)果與方程組的精確解進(jìn)行比較.4、求解線性代數(shù)方程組的迭代方法.目的：通過數(shù)值實驗

11、，了解并掌握基本的迭代方法.題目：求解線性代數(shù)方程組：其中：算法：要求分別使用Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法解方程組，并比較他們的收斂的快慢.（當(dāng)則停機）.5、求三對角矩陣的特征值.目的：通過數(shù)值實驗，了解并掌握用二分法計算對稱三對角矩陣的特征值.題目：試應(yīng)用二分法于三對角矩陣求出其最大和最小特征值及相應(yīng)的特征向量.算法：首先利用二分法求上面的5050階矩陣的最大與最小特征值，再用冪法和反冪法計算與以上最大特征值和最小特征值相應(yīng)的特征向量。6、求解非線性方程組.目的：通過數(shù)值實驗，了解并掌握求解非線性方程組的迭代解法題目：求解非線性方程組.算法：要求使用Newton迭代法解非線性方程組。（當(dāng)則停機）.七、實習(xí)報告的內(nèi)容與要求實驗完成后，要求學(xué)生提供實驗結(jié)果并寫出報告，分析計算結(jié)果是否符合問題的要求，并找出