數(shù)學(xué)物理方法：第十二章 格林函數(shù)(積分法)

1、第十二章 格林函數(shù)(積分法)一、泊松方程的格林函數(shù)法二、電像法求格林函數(shù)三、含時(shí)間的格林函數(shù)四、用沖量定理法求格林函數(shù)注：參考教材數(shù)學(xué)物理方法，梁昆淼等編 授課對(duì)象：（物信學(xué)院）數(shù)理綜合班 或（數(shù)計(jì)學(xué)院）實(shí)驗(yàn)班一、第二曲面積分，高斯系數(shù)，及Gauss 定理（散度形式）課前預(yù)習(xí)四、計(jì)算推導(dǎo)下式：三、第一曲面積分中值定理二、點(diǎn)電荷的靜電場(chǎng)的電勢(shì)計(jì)算公式及p119式（7.1.46）（1）（2）其中及（3）1 高斯公式記其中表示T外法向量。12.1 泊松方程的格林函數(shù)法則由第二曲面積分定義 高斯定理: 設(shè)T是 中由光滑的封閉曲面 所圍成的三維連通閉區(qū)域，函數(shù) , 和 在T上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則成立等式：

2、推論1（廣義牛頓萊布尼茨公式）：推論2（高維分部積分公式）：高斯公式：其中表示的第i個(gè)分量。注：廣義牛頓萊布尼茨公式可推導(dǎo)出 一維牛頓萊布尼茨公式。2 格林公式注：第一格林公式第二格林公式高斯公式：設(shè) ， 由高斯公式，得3 泊松方程邊值問題泊松方程邊界條件定義在泊松方程+條件(1)=第一邊值問題(狄里克雷問題)；泊松方程+條件(2)=第二邊值問題(諾依曼問題)；泊松方程+條件(3)=第三邊值問題(混合邊值問題)。第一類邊界條件 條件(1) 第二類邊界條件條件(2) 第三類邊界條件條件(3) 4 源問題（無界空間）產(chǎn)生的電勢(shì):(連續(xù)分布)總電荷的電勢(shì):處 電荷在 注：可證橢圓位勢(shì)理論：C-Z定理

3、L積分控制收斂定理則其滿足點(diǎn)源泊松方程： 給定 點(diǎn) 負(fù)電荷在產(chǎn)生的電場(chǎng)位勢(shì)注：把點(diǎn)源泊松方程一般化，以后約定 點(diǎn)源泊松方程：為此在T中挖掉以為球心，以 為半徑的小球 ，邊界記 。一般泊松方程：奇異，注意：5 泊松方程的基本積分公式第一曲面積分中值定理稱為泊松方程的基本積分公式。對(duì)（1）式取極限，可得：6 邊值問題的格林函數(shù)泊松方程第一邊值問題稱為第一(邊值問題)格林函數(shù)。稱為點(diǎn)源泊松方程第一邊值問題，其解記為泊松方程第三邊值問題，其邊值條件：稱為第三(邊值問題)格林函數(shù)。則基本公式變?yōu)椋豪碛桑毫钇浣庥洖樽ⅲ焊窳趾瘮?shù)是對(duì)稱的可作變換：再用格林函數(shù)對(duì)稱性，可得：小結(jié)：12.2 用電像法求格林函數(shù)類

4、比點(diǎn)電荷電勢(shì)+感應(yīng)電荷電勢(shì)：注：稱為L(zhǎng)aplace方程基本解！ 第一格林函數(shù)G:分別滿足例1半空間第一邊值問題解：先算上半空間第一格林函數(shù) （3D情況）由積分公式知 的解為 將（1）式代入上式可得 （3D情況）（3D情況）定義在球上的第一格林函數(shù)：同理可得對(duì)應(yīng)的2D情況：其定義在圓上的第一（邊值）格林函數(shù)為：例2球內(nèi)第一邊值問題解：由求解公式知其中球坐標(biāo)處理？將其代入解的表達(dá)式：12.3 含時(shí)間的格林函數(shù)0 引例特別當(dāng)形式上有：1 一般強(qiáng)迫振動(dòng)的定解問題（2）把單位脈沖力所引起的振動(dòng)記作 ，稱之為波動(dòng)問題的（帶時(shí)間）格林函數(shù)。求得了G，就可用疊加的方法求出任意力f(r,t)所引起的振動(dòng)。（）改

5、寫f:思路：（3）含時(shí)間格林函數(shù)滿足的方程“一般波動(dòng)問題”化成對(duì)應(yīng)的“齊次邊值的點(diǎn)源問題”強(qiáng)迫振動(dòng)問題的解的表達(dá)式（形式推導(dǎo)）注：帶時(shí)間格林函數(shù)的對(duì)稱性其中對(duì)泛定方程交錯(cuò)相乘后相減，并由 的選取性，可得：利用第二格林公式及可得：令 ，可得3 輸運(yùn)問題的解的表達(dá)式類似上面的討論，同樣可得到其解的積分表式：12.4 用沖量定理法求格林函數(shù)例1 求解一維無界空間中的受迫振動(dòng)解 這個(gè)問題的格林函數(shù)G滿足定解問題按照沖量定理方法，G的定解問題可以轉(zhuǎn)化為由上述關(guān)系式可以看出這是因?yàn)橛蛇_(dá)朗貝爾公式可得（其中t應(yīng)換為 ）按(12.3.21)（P316，邊界取零），u的解為注：上述思路對(duì)于有源輸運(yùn)問題以及對(duì)應(yīng)的齊次邊值情況，仍然成立。例2 求解定解問題解 格林函數(shù)G滿足 由沖量定理，可轉(zhuǎn)化為求利用分離變數(shù)法，可求得(參考P149) 以此代入(12.3.21)(P 316)，得例 3 求解一維無界空間的有源輸運(yùn)問題解 格林函數(shù)G滿足定解問題與P169結(jié)果一致格林函數(shù)G滿足定解問題利用13.1例2結(jié)果，t要換為 ，于是無界空間輸運(yùn)問題的格林函數(shù)為：從而所求的解高斯正態(tài)分布例4 求解一維半無界空間x0的有源輸運(yùn)問題解 進(jìn)行奇延拓到x0的有源輸運(yùn)問題解 偶延拓到x0的半無界空間中去：引用例3的結(jié)果，得齊次邊界條件下1D半無界空間中