人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8課件

1、2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和第1課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8課件等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式【思考】對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn= 一定成立嗎?提示:不一定,當(dāng)q=1時(shí)不成立.【思考】【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“”,錯(cuò)的打“”)(1)若等比數(shù)列的首項(xiàng)a1=1,公比為2,則前n項(xiàng)和Sn= ()(2)已知等比數(shù)列的a1,q,an,則Sn= ()(3)等比數(shù)列1,-1,1,-1,的前n項(xiàng)和等于0.()【素養(yǎng)小測(cè)】提示:(1).Sn= (2).Sn= (3).Sn= 人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8提示:

2、(1).Sn= 人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2.等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn.若a3=4,a2a6=64,則S5=()A.32B.31C.64D.63人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列82.等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn.人教【解析】選B.方法一:設(shè)首項(xiàng)為a1,公比為q,因?yàn)閍n0,所以q0,由條件得 ,解得 所以S5=31;人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8【解析】選B.方法一:設(shè)首項(xiàng)為a1,公比為q,人教A版高中數(shù)方法二:設(shè)首項(xiàng)為a1,公比為q,由a2a6= =64,又a3=4,所以q=2,又因?yàn)?/p>

3、a1q2=4,所以a1=1,所以S5=31.人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8方法二:設(shè)首項(xiàng)為a1,公比為q,由a2a6= =64,又3.在等比數(shù)列an中,a2=1,a5=8,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=_.人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列83.在等比數(shù)列an中,a2=1,a5=8,則數(shù)列an【解析】因?yàn)閍2=1,a5=8,所以a5=a2q3,即q3= =8,即q=2,首項(xiàng)a1= ,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 答案:2n-1- 人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8【解析】因?yàn)閍2=1,a5=8,所以a5=a2

4、q3,人教A版類型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算【典例】1.(2019汕頭高一檢測(cè))已知Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a1=1,a2a3=-8,則S6=()A. B.-24C.-21D.11人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8類型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2.(2019廣州高一檢測(cè))設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若S3=6,S6=54,則a1=_.人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列82.(2019廣州高一檢測(cè))設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n【思維引】1.利用項(xiàng)的關(guān)系求出公比代入公式求S6;2.先求出數(shù)列的公比,代入前n

5、項(xiàng)和公式求首項(xiàng).人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列8【思維引】1.利用項(xiàng)的關(guān)系求出公比代入公式求S6;人教A版【解析】1.選C.設(shè)等比數(shù)列an公比為q,a1=1,a2a3=-8,則a2a3= =q3=-8,解得q=-2,所以S6= =-21.【解析】1.選C.設(shè)等比數(shù)列an公比為q,a1=1,2.因?yàn)镾3= =6,S6= =54,所以 =1+q3=9,解得q3=8,則q=2,所以 =6,解得a1= .答案: 2.因?yàn)镾3= =6,S6= =【內(nèi)化悟】本例2中的消元方法是什么?有什么優(yōu)點(diǎn)?提示:利用兩式相除消元,消去a1的同時(shí)起到了降低次數(shù)的作用.【內(nèi)化悟】【類題通】

6、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的運(yùn)算技巧(1)注意考查條件,公比為1時(shí)是否成立.(2)涉及的基本量有a1,q,n,an,Sn共五個(gè),“知三求二”,常常列方程組來(lái)求解.(3)消元解方程組的過(guò)程中,常常用到兩式相除、整體代入的方法.【類題通】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的運(yùn)算技巧【習(xí)練破】1.(2019全國(guó)卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a1=1,S3= ,則S4=_.【習(xí)練破】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2= ,即q2+q+ =0,解得q=- ,所以S4= 答案: 【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知2.(2019石景山高一檢測(cè))等比數(shù)列an中a1=2,a4=16,則

7、其前n項(xiàng)和Sn=_.2.(2019石景山高一檢測(cè))等比數(shù)列an中a1=2,【解析】設(shè)數(shù)列an的公比為q,因?yàn)閍1=2,a4=16.所以2q3=16,解得q=2,所以Sn= =2n+1-2.答案:2n+1-2【解析】設(shè)數(shù)列an的公比為q,因?yàn)閍1=2,a4=16.【加練固】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an其前n項(xiàng)和為Sn,若a2=2,S3=7,則a6=()A.26B.28C.30D.32【加練固】【解析】選D.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,若a2=2,S3=7,則 +2+2q=7,解可得q=2或 ,又由數(shù)列an為單調(diào)遞增的數(shù)列,則q=2,則a6=a2q4=32.【解析】選D.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,類型

8、二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用【典例】(2019宜春高二檢測(cè))中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見(jiàn)次日行數(shù)里,請(qǐng)公仔細(xì)算相還”.其意思為:“有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天類型二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地”,請(qǐng)問(wèn)從第幾天開(kāi)始,走的路程少于30里世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.3B.4C.5D.6【思維引】首先判斷數(shù)列類型,其次確定數(shù)列的基本量計(jì)算.走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地”,請(qǐng)問(wèn)從第幾天【解析】選B.此人每天走的步數(shù)構(gòu)成以 為公比的等比數(shù)列,所

9、以 =378,解得a1=192,所以an=192 =384 ,【解析】選B.此人每天走的步數(shù)構(gòu)成以 為公比因?yàn)?84 12.8,經(jīng)驗(yàn)證可得n4,即從第4天開(kāi)始,走的路程少于30里.因?yàn)?84 30,【內(nèi)化悟】從本例條件中可以提取哪些等比數(shù)列的基本量?提示:Sn=378,q= ,n=6.【內(nèi)化悟】【類題通】解答數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題的方法(1)判斷、建立數(shù)列模型變化“量”是同一個(gè)常數(shù):等差數(shù)列;變化“率”是同一個(gè)常數(shù):等比數(shù)列.【類題通】(2)提取基本量從條件中提取相應(yīng)數(shù)列的基本量a1,q(d),n,an,Sn,列出方程(組)求解.(2)提取基本量【習(xí)練破】古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問(wèn)題:“今有女子善織,

10、日自倍,五日織五尺,問(wèn)日織幾何?”意思是:“一女子善于織布,每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問(wèn)這女子每天分別織布多少?”根據(jù)上題的已知條件,該女子第二天織布多少尺?()【習(xí)練破】古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問(wèn)題:“今有女子善【解析】選B.等比數(shù)列an中, 公比q=2,S5=5,S5= =(25-1)a1=5,所以a1= 所以a2=a1q= 【解析】選B.等比數(shù)列an中, 公比q=2,S5=5,【加練固】一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了30 m的高度,在以后的每一分鐘內(nèi),它上升的高度都是它在前一分鐘內(nèi)上升高度的 .這個(gè)熱氣球上升的高度能超過(guò)150 m嗎?【加練固】【解析】用an表示熱氣

11、球在第n分鐘內(nèi)上升的高度,由題意,數(shù)列an是首項(xiàng)a1=30,公比q= 的等比數(shù)列.熱氣球在前n分鐘內(nèi)上升的總高度Sn=a1+a2+an= =150 150,即這個(gè)熱氣球上升的高度不可能超過(guò)150 m.【解析】用an表示熱氣球在第n分鐘內(nèi)上升的高度,類型三等比數(shù)列前n項(xiàng)和的簡(jiǎn)單性質(zhì)角度1前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征【典例】(2019桂林高一檢測(cè))已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n-1-1(R),則 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()A. B.3C.6D.9類型三等比數(shù)列前n項(xiàng)和的簡(jiǎn)單性質(zhì)【思維引】利用前n項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)特征求出及公比,再利用Sn的表達(dá)式計(jì)算;也可由Sn表示出a1,a2,a3后求及公比,再利用Sn的表

12、達(dá)式計(jì)算.【思維引】利用前n項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)特征求出及公比,再利用S【解析】選D.方法一:Sn=3n-1-1= 3n-1,所以 =1,=3且q=3,又a1=S1=33n-1-1=2,【解析】選D.方法一:Sn=3n-1-1= 3n-1方法二:等比數(shù)列an滿足Sn=3n-1-1,當(dāng)n=1時(shí),有a1=S1=-1,有a2=S2-S1=(3-1)-(-1)=2,a3=S3-S2=(9-1)-(3-1)=6,則有6(-1)=(2)2,解可得=3或0(舍),首項(xiàng)a1=2,則 方法二:等比數(shù)列an滿足Sn=3n-1-1,【素養(yǎng)探】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式實(shí)質(zhì)是關(guān)于n的函數(shù),再利用其結(jié)構(gòu)特征可以確定系數(shù)之間的關(guān)系

13、,這用到了核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象.將本例中的條件變?yōu)椤癝n=32n+a”,則S5=_.【素養(yǎng)探】【解析】數(shù)列an是等比數(shù)列,若q=1,顯然Sn=32n+a,不成立.故數(shù)列an的公比q1,所以Sn= 故q=2, =-3,故a=-3.【解析】數(shù)列an是等比數(shù)列,所以S5=325-3=93.答案:93所以S5=325-3=93.角度2前n項(xiàng)和的性質(zhì)【典例】設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=8,S6=7,則a7+a8+a9=世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()【思維引】利用S3,S6-S3,S9-S6的關(guān)系求值.角度2前n項(xiàng)和的性質(zhì)【解析】選A.方法一:由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知S3,S6-S3,S9-S6成等比

14、數(shù)列,又a7+a8+a9=S9-S6,則S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比數(shù)列,從而a7+a8+a9= 【解析】選A.方法一:由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知S3,方法二:因?yàn)镾6=S3+S3q3,所以q3= 所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8 方法二:因?yàn)镾6=S3+S3q3,【類題通】1.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的特征數(shù)列an是非常數(shù)數(shù)列的等比數(shù)列Sn=-Aqn+A(A0,q0,1,nN*).即指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù),其中A= 【類題通】2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列.2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)【習(xí)練破】在等比數(shù)列an中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.【習(xí)練破】【解析】因?yàn)閍n為等比數(shù)列,顯然公比不等于-1,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數(shù)列,所以(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),所以S3n= 【解析】因?yàn)閍n為等比