人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列4課件

1、2.3等差數(shù)列的前n項和第1課時等差數(shù)列的前n項和2.3等差數(shù)列的前n項和人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列4課件1.數(shù)列的前n項和(1)定義:對于數(shù)列an,一般地,我們稱a1+a2+a3+an為數(shù)列an的前n項和.(2)表示:常用符號Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+an.1.數(shù)列的前n項和【思考】由Sn=a1+a2+an想一想,a1,an,Sn,Sn-1之間是什么關(guān)系?提示:S1=a1,當(dāng)n2時,an=Sn-Sn-1.【思考】2.等差數(shù)列前n項和公式2.等差數(shù)列前n項和公式【思考】對于公式二,若將Sn看成關(guān)于n的函數(shù),試判斷此函數(shù)是什么函數(shù)?其解析式具有什么特點?人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)

2、列4人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列4【思考】人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列4人教A版高中數(shù)學(xué)必修提示:公式二可變形為Sn= 當(dāng)d0時可以看作不含常數(shù)項的關(guān)于n的一元二次式,反之,若一個數(shù)列的前n項和是不含常數(shù)項的一元二次式,則此數(shù)列是等差數(shù)列.人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列4人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列4提示:公式二可變形為Sn= 當(dāng)d0【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“”,錯的打“”)(1)對于an=Sn-Sn-1成立的條件是nN*.()(2)等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法我們稱為“倒序相加法”.()人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列4人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列4【素養(yǎng)小測】人教A版高中數(shù)

3、學(xué)必修5同步數(shù)列4人教A版高中數(shù)學(xué)(3)若數(shù)列an的前n項和為Sn,則a3+a4+a5=S5-S2. ()(4)1+3+5+7+9= .() 人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列4人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列4(3)若數(shù)列an的前n項和為Sn,則a3+a4+a5=S提示:(1).n1且nN*.(2).等差數(shù)列具有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=特征,可用倒序相加法.(3).由數(shù)列的前n項和的定義可知此說法正確.(4).1+3+5+7+9= 人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列4人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列4提示:(1).n1且nN*.人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步2.在數(shù)列an中,Sn=2n2

4、-3n(nN+),則a4等于()A.11 B.15 C.17 D.20【解析】選A.a4=S4-S3=242-34-(232-33)=11.人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列4人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列42.在數(shù)列an中,Sn=2n2-3n(nN+),則a43.設(shè)an是等差數(shù)列,若a2=3,a7=13,則數(shù)列an的前8項和為()A.128 B.80 C.64 D.56人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列4人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列43.設(shè)an是等差數(shù)列,若a2=3,a7=13,則數(shù)列a【解析】選C.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,則S8=人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列4人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列

5、4【解析】選C.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,則S8=人教A4.在等差數(shù)列an中,首項a1=3,公差d=2,則它的前n項和Sn=_.人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列4人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列44.在等差數(shù)列an中,首項a1=3,公差d=2,則它的前【解析】Sn=3n+ 2=n2+2n.答案:n2+2n【解析】Sn=3n+ 2=n2+2n.類型一有關(guān)等差數(shù)列前n項和的計算【典例】1.(2019賀州高一檢測)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和,若a1=-2 017,S6-2S3=18,則S2 019=()A.-2 017B.2 017C.2 018D.2 019類型一有關(guān)等差數(shù)列前n項和的計算2.在

6、等差數(shù)列an中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10.(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.2.在等差數(shù)列an中:【思維引】1.根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式,解方程,求出公差,即可得到相應(yīng)的值.2.根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式列方程組,解方程組,可得到相應(yīng)的值.【思維引】1.根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式,解方程,求出公差,【解析】1.選D.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因為a1=-2 017,S6-2S3=18,所以6a1+ 化為:9d=18,解得d=2.則S2 019=2 019(-2 017)+ 2=2 019.【解析】1.選D.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d

7、,2.(1)方法一:由已知條件得 所以S10=10a1+ 方法二:由已知條件得 所以a1+a10=42,所以S10= =542=210.2.(1)方法一:由已知條件得 (2)S7= =7a4=42,所以a4=6.所以Sn= 所以n=20. (2)S7= =7a4=42,所以a4=6.【內(nèi)化悟】解與等差數(shù)列前n項和有關(guān)的問題時,常用到哪些公式?體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用?提示:常用到等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式,體現(xiàn)了方程思想的運用.【內(nèi)化悟】【類題通】等差數(shù)列前n項和公式的運算方法與技巧類型“知三求二型”基本量a1,d,n,an,Sn方法運用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式建立方程(組)

8、,通過解方程(組)求出未知量思想方程的思想【類題通】類型“知三求二型”基本量a1,d,n,an,Sn類型“知三求二型”注意利用等差數(shù)列的性質(zhì)簡化計算;注意已知與未知條件的聯(lián)系;有時運用整體代換的思想.類型“知三求二型”注意利用等差數(shù)列的性質(zhì)簡化計算;【習(xí)練破】1.(2019全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和.已知S4=0,a5=5,則()A.an=2n-5 B.an=3n-10C.Sn=2n2-8n D.Sn= n2-2n【習(xí)練破】【解析】選A.由題知, 解得 所以an=2n-5,故選A.【解析】選A.由題知, 2.已知等差數(shù)列an中,(1)a1= ,S4=20,求S6.(2)a1= ,d

9、=- ,Sn=-15,求n及an.(3)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d.2.已知等差數(shù)列an中,【解析】(1)S4=4a1+ d=4a1+6d=2+6d=20,所以d=3.故S6=6a1+ d=6a1+15d=3+15d=48.【解析】(1)S4=4a1+ d=4a1+6d(2)因為Sn=n 整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),所以a12= (2)因為Sn=n (3)由Sn= =-1 022,解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.(3)由Sn= =-1 【加練固】1.將含有k項的等差數(shù)列插入4和67

10、之間,結(jié)果仍成一新的等差數(shù)列,并且新的等差數(shù)列所有項的和是781,則k的值為()A.20B.21C.22D.24【加練固】【解析】選A.由數(shù)列前n項和公式可得: 解得k=20.【解析】選A.由數(shù)列前n項和公式可得:2.已知等差數(shù)列an.(1)a1= ,a15=- ,Sn=-5,求d和n.(2)a1=4,S8=172,求a8和d.2.已知等差數(shù)列an.【解析】(1)因為a15= +(15-1)d=- ,所以d=- .又Sn=na1+ d=-5,解得n=15或n=-4(舍).(2)由已知,得S8= =172,解得a8=39,又因為a8=4+(8-1)d=39,所以d=5.【解析】(1)因為a15=

11、 +(15-1)d=- ,所以類型二等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)【典例】1.(2019諸暨高一檢測)已知兩個等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為An和Bn,且 則使得 為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.5類型二等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)2.在項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列an中,所有奇數(shù)項的和為165,所有偶數(shù)項的和為150,則n等于()A.9 B.10 C.11 D.123.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且S10=100,S100=10,試求S110.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號2.在項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列an中,所有奇數(shù)項的和為1【思維引】1.用等差數(shù)列前n項和公式(含首項、末項、項數(shù))和等差

12、數(shù)列的性質(zhì)可用n表示 .2.綜合利用等差數(shù)列的性質(zhì)及其前n項和公式推出與n的關(guān)系.【思維引】1.用等差數(shù)列前n項和公式(含首項、末3.方法一:依據(jù)S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差數(shù)列解答;方法二:依據(jù)數(shù)列 是等差數(shù)列解答;方法三:直接分析S110,S100,S10之間的關(guān)系.3.方法一:依據(jù)S10,S20-S10,S30-S20,【解析】1.選D.由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:只有n=1,2,3,5,11時, 為整數(shù),可得使 為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是5.【解析】1.選D.由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:2.選B.因為等差數(shù)列有2n+1項,所以S奇= ,S偶= .

13、又a1+a2n+1 =a2+a2n,所以 所以n=10.2.選B.因為等差數(shù)列有2n+1項,3.方法一:因為S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,前10項的和為:10100+ d=10,所以d=-22,所以前11項的和S110=11100+ d=11100+ (-22)=-110.3.方法一:因為S10,S20-S10,S30-S20,方法二:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則 (n-1)+a1,所以數(shù)列 成等差數(shù)列.所以 所以S110=-110.方法二:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,方法三:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,S110=a1+a2+a

14、10+a11+a12+a110=(a1+a2+a10)+(a1+10d)+(a2+10d)+(a100+10d)=S10+S100+10010d,又S100-10S10= =10-10100,即100d=-22,所以S110=-110.方法三:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,【素養(yǎng)探】在關(guān)于等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理,靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項和的性質(zhì),或構(gòu)造新的等差數(shù)列,達到簡化運算的目的.將本例1的條件“ ”改為“ ”,應(yīng)如何解答?【素養(yǎng)探】【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得: 只有n=1,2,3,6,9,18時, 為整數(shù),可得使 為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是6.【解

15、析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:【類題通】等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1)等差數(shù)列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也構(gòu)成等差數(shù)列.(2)若an與bn均為等差數(shù)列,且前n項和分別為Sn與Sn,則 【類題通】(3)若等差數(shù)列an的前n項和為Sn,則數(shù)列 是等差數(shù)列,且首項為a1,公差為 .(4)項的個數(shù)的“奇偶”性質(zhì).an為等差數(shù)列,公差為d.若共有2n項,則S2n=n(an+an+1);S偶-S奇=nd; (3)若等差數(shù)列an的前n項和為Sn,則數(shù)列 是等若共有2n+1項,則S2n+1=(2n+1)an+1;S偶-S奇=-an+1; (5)等差數(shù)列an中,若Sn=m,Sm=n(mn),則Sm+n

16、=-(m+n).(6)等差數(shù)列an中,若Sn=Sm(mn),則Sm+n=0.若共有2n+1項,則S2n+1=(2n+1)an+1;【習(xí)練破】1.(2019晉江高一檢測)等差數(shù)列an的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前3m項和是()A.130B.170C.210D.260【習(xí)練破】【解析】選C.因為Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列,所以Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm),所以30+S3m-100=2(100-30),所以S3m=210.【解析】選C.因為Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)2.(1)一個等差數(shù)列共2 019項,求它的奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比.(2)

17、一個等差數(shù)列前20項和為75,其中的奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比為12,求公差d.2.(1)一個等差數(shù)列共2 019項,求它的奇數(shù)項和與偶數(shù)項【解析】(1)等差數(shù)列an共有1 010個奇數(shù)項,1 009個偶數(shù)項,所以S奇= ,S偶= 因為a1+a2 019=a2+a2 018,所以 【解析】(1)等差數(shù)列an共有1 010個奇數(shù)項,1 0(2)前20項中,奇數(shù)項和S奇= 75=25,偶數(shù)項和S偶= 75=50,又S偶-S奇=10d,所以d= =2.5. (2)前20項中,奇數(shù)項和S奇= 75=25,偶數(shù)項和S【加練固】1.已知等差數(shù)列an,bn的前n項和分別為Sn,Tn,若對于任意的自然數(shù)n,都有

18、則 =()【加練固】【解析】選A.因為等差數(shù)列中,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq;等差數(shù)列的前n項和為:Sn= 所以 【解析】選A.因為等差數(shù)列中,若m+n=p+q,所以所以2.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于()A.63 B.45 C.36 D.272.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若S3=9,S6=3【解析】選B.因為a7+a8+a9=S9-S6,而由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,S3,S6-S3,S9-S6構(gòu)成等差數(shù)列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=236-39=45.【解析】選B.因為a7+a

19、8+a9=S9-S6,而由等差數(shù)列類型三等差數(shù)列前n項和的最值【典例】1.(2019大慶高一檢測)設(shè)an是等差數(shù)列,Sn是其前n項和,且S5S8,則下列結(jié)論錯誤的是()A.dS5 D.S6和S7均為Sn的最大值類型三等差數(shù)列前n項和的最值2.(2018全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和,已知a1=-7,S3=-15.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)求an的通項公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.2.(2018全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和【思維引】1.由已知條件分析a6,a7,a8的符號,求Sn的最大值,作差比較S9與S5的大小.2.(1)解方程組即可求出首項、公差,進而得到an的通項公式;

20、【思維引】1.由已知條件分析a6,a7,a8的符號,求Sn(2)可以把Sn看作關(guān)于n的二次函數(shù)從函數(shù)角度求最值;也可以分析等差數(shù)列的項從哪一項開始由負(fù)變正,推出Sn的最小值.(2)可以把Sn看作關(guān)于n的二次函數(shù)從函數(shù)角度求最值;也可以【解析】1.選C.因為S5S8,所以a60,a7=0,a80,可得d0,S6和S7均為Sn的最大值,S9= =9a5,S5= =5a3.S9-S5=9(a1+4d)-5(a1+2d)=4a1+26d=4a7+2d0,所以S9S5.因此C錯誤.【解析】1.選C.因為S5S8,所以a60,2.(1)設(shè)an的公差為d,由題意得3a1+3d=-15.又a1=-7,所以d=

21、2.所以an的通項公式為an=2n-9.2.(1)設(shè)an的公差為d,由題意得3a1+3d=-15(2)方法一:(二次函數(shù)法)由(1)得Sn= =n2-8n=(n-4)2-16,所以當(dāng)n=4時,Sn取得最小值,最小值為-16. (2)方法一:(二次函數(shù)法)由(1)得Sn= 方法二:(通項變號法)由(1)知an=2n-9,則Sn= =n2-8n.由Sn最小 所以 又nN*,所以n=4,此時Sn的最小值為S4=-16.方法二:(通項變號法)由(1)知an=2n-9,則Sn= 【內(nèi)化悟】等差數(shù)列的前n項和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)(缺常數(shù)項),如何利用對應(yīng)函數(shù)的圖象分析等差數(shù)列正、負(fù)項的分界點?【內(nèi)化悟】提示:利用到y(tǒng)=ax2+bx(a0)的對稱軸距離最近的左側(cè)的一個正數(shù)或離對稱軸最近且關(guān)于對稱軸對稱的兩個整數(shù)對應(yīng)項即為正、負(fù)項的分界點.提示:利用到y(tǒng)=ax2+bx(a0)的對稱軸距離最近的左側(cè)【類題通】等差數(shù)列前n項和最值的兩種求法(1)符號轉(zhuǎn)折點法.當(dāng)a10,d0時,由不等式組 可求得Sn取最大值時的n值.【類題通】當(dāng)a10時,由不等式組 可求得Sn取最小值時的n值.當(dāng)a10時,由不等式組 (2)利用二次函數(shù)求Sn的最值.知道公差不為0的等差數(shù)列的前n項和Sn可以表示成Sn=an2+bn(a0)的形式,我們可將其變形為Sn=若a0,則當(dāng) 最小時,Sn有最