人教A版高中數學必修5同步數列4課件

1、2.3等差數列的前n項和第1課時等差數列的前n項和2.3等差數列的前n項和人教A版高中數學必修5同步數列4課件1.數列的前n項和(1)定義:對于數列an,一般地,我們稱a1+a2+a3+an為數列an的前n項和.(2)表示:常用符號Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+an.1.數列的前n項和【思考】由Sn=a1+a2+an想一想,a1,an,Sn,Sn-1之間是什么關系?提示:S1=a1,當n2時,an=Sn-Sn-1.【思考】2.等差數列前n項和公式2.等差數列前n項和公式【思考】對于公式二,若將Sn看成關于n的函數,試判斷此函數是什么函數?其解析式具有什么特點?人教A版高中數學必修5同步數

2、列4人教A版高中數學必修5同步數列4【思考】人教A版高中數學必修5同步數列4人教A版高中數學必修提示:公式二可變形為Sn= 當d0時可以看作不含常數項的關于n的一元二次式,反之,若一個數列的前n項和是不含常數項的一元二次式,則此數列是等差數列.人教A版高中數學必修5同步數列4人教A版高中數學必修5同步數列4提示:公式二可變形為Sn= 當d0【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“”,錯的打“”)(1)對于an=Sn-Sn-1成立的條件是nN*.()(2)等差數列前n項和公式的推導方法我們稱為“倒序相加法”.()人教A版高中數學必修5同步數列4人教A版高中數學必修5同步數列4【素養(yǎng)小測】人教A版高中數

3、學必修5同步數列4人教A版高中數學(3)若數列an的前n項和為Sn,則a3+a4+a5=S5-S2. ()(4)1+3+5+7+9= .() 人教A版高中數學必修5同步數列4人教A版高中數學必修5同步數列4(3)若數列an的前n項和為Sn,則a3+a4+a5=S提示:(1).n1且nN*.(2).等差數列具有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=特征,可用倒序相加法.(3).由數列的前n項和的定義可知此說法正確.(4).1+3+5+7+9= 人教A版高中數學必修5同步數列4人教A版高中數學必修5同步數列4提示:(1).n1且nN*.人教A版高中數學必修5同步2.在數列an中,Sn=2n2

4、-3n(nN+),則a4等于()A.11 B.15 C.17 D.20【解析】選A.a4=S4-S3=242-34-(232-33)=11.人教A版高中數學必修5同步數列4人教A版高中數學必修5同步數列42.在數列an中,Sn=2n2-3n(nN+),則a43.設an是等差數列,若a2=3,a7=13,則數列an的前8項和為()A.128 B.80 C.64 D.56人教A版高中數學必修5同步數列4人教A版高中數學必修5同步數列43.設an是等差數列,若a2=3,a7=13,則數列a【解析】選C.設數列an的前n項和為Sn,則S8=人教A版高中數學必修5同步數列4人教A版高中數學必修5同步數列

5、4【解析】選C.設數列an的前n項和為Sn,則S8=人教A4.在等差數列an中,首項a1=3,公差d=2,則它的前n項和Sn=_.人教A版高中數學必修5同步數列4人教A版高中數學必修5同步數列44.在等差數列an中,首項a1=3,公差d=2,則它的前【解析】Sn=3n+ 2=n2+2n.答案:n2+2n【解析】Sn=3n+ 2=n2+2n.類型一有關等差數列前n項和的計算【典例】1.(2019賀州高一檢測)設Sn是等差數列an的前n項和,若a1=-2 017,S6-2S3=18,則S2 019=()A.-2 017B.2 017C.2 018D.2 019類型一有關等差數列前n項和的計算2.在

6、等差數列an中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10.(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.2.在等差數列an中:【思維引】1.根據等差數列前n項和公式,解方程,求出公差,即可得到相應的值.2.根據等差數列的通項公式和前n項和公式列方程組,解方程組,可得到相應的值.【思維引】1.根據等差數列前n項和公式,解方程,求出公差,【解析】1.選D.設等差數列an的公差為d,因為a1=-2 017,S6-2S3=18,所以6a1+ 化為:9d=18,解得d=2.則S2 019=2 019(-2 017)+ 2=2 019.【解析】1.選D.設等差數列an的公差為d

7、,2.(1)方法一:由已知條件得 所以S10=10a1+ 方法二:由已知條件得 所以a1+a10=42,所以S10= =542=210.2.(1)方法一:由已知條件得 (2)S7= =7a4=42,所以a4=6.所以Sn= 所以n=20. (2)S7= =7a4=42,所以a4=6.【內化悟】解與等差數列前n項和有關的問題時,常用到哪些公式?體現了什么數學思想方法的應用?提示:常用到等差數列的通項公式和前n項和公式,體現了方程思想的運用.【內化悟】【類題通】等差數列前n項和公式的運算方法與技巧類型“知三求二型”基本量a1,d,n,an,Sn方法運用等差數列的通項公式和前n項和公式建立方程(組)

8、,通過解方程(組)求出未知量思想方程的思想【類題通】類型“知三求二型”基本量a1,d,n,an,Sn類型“知三求二型”注意利用等差數列的性質簡化計算;注意已知與未知條件的聯系;有時運用整體代換的思想.類型“知三求二型”注意利用等差數列的性質簡化計算;【習練破】1.(2019全國卷)記Sn為等差數列an的前n項和.已知S4=0,a5=5,則()A.an=2n-5 B.an=3n-10C.Sn=2n2-8n D.Sn= n2-2n【習練破】【解析】選A.由題知, 解得 所以an=2n-5,故選A.【解析】選A.由題知, 2.已知等差數列an中,(1)a1= ,S4=20,求S6.(2)a1= ,d

9、=- ,Sn=-15,求n及an.(3)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d.2.已知等差數列an中,【解析】(1)S4=4a1+ d=4a1+6d=2+6d=20,所以d=3.故S6=6a1+ d=6a1+15d=3+15d=48.【解析】(1)S4=4a1+ d=4a1+6d(2)因為Sn=n 整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),所以a12= (2)因為Sn=n (3)由Sn= =-1 022,解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.(3)由Sn= =-1 【加練固】1.將含有k項的等差數列插入4和67

10、之間,結果仍成一新的等差數列,并且新的等差數列所有項的和是781,則k的值為()A.20B.21C.22D.24【加練固】【解析】選A.由數列前n項和公式可得: 解得k=20.【解析】選A.由數列前n項和公式可得:2.已知等差數列an.(1)a1= ,a15=- ,Sn=-5,求d和n.(2)a1=4,S8=172,求a8和d.2.已知等差數列an.【解析】(1)因為a15= +(15-1)d=- ,所以d=- .又Sn=na1+ d=-5,解得n=15或n=-4(舍).(2)由已知,得S8= =172,解得a8=39,又因為a8=4+(8-1)d=39,所以d=5.【解析】(1)因為a15=

11、 +(15-1)d=- ,所以類型二等差數列前n項和的性質【典例】1.(2019諸暨高一檢測)已知兩個等差數列an和bn的前n項和分別為An和Bn,且 則使得 為整數的正整數n的個數是()A.2 B.3 C.4 D.5類型二等差數列前n項和的性質2.在項數為2n+1的等差數列an中,所有奇數項的和為165,所有偶數項的和為150,則n等于()A.9 B.10 C.11 D.123.已知等差數列an的前n項和為Sn,且S10=100,S100=10,試求S110.世紀金榜導學號2.在項數為2n+1的等差數列an中,所有奇數項的和為1【思維引】1.用等差數列前n項和公式(含首項、末項、項數)和等差

12、數列的性質可用n表示 .2.綜合利用等差數列的性質及其前n項和公式推出與n的關系.【思維引】1.用等差數列前n項和公式(含首項、末3.方法一:依據S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差數列解答;方法二:依據數列 是等差數列解答;方法三:直接分析S110,S100,S10之間的關系.3.方法一:依據S10,S20-S10,S30-S20,【解析】1.選D.由等差數列的性質可得:只有n=1,2,3,5,11時, 為整數,可得使 為整數的正整數n的個數是5.【解析】1.選D.由等差數列的性質可得:2.選B.因為等差數列有2n+1項,所以S奇= ,S偶= .

13、又a1+a2n+1 =a2+a2n,所以 所以n=10.2.選B.因為等差數列有2n+1項,3.方法一:因為S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差數列,設公差為d,前10項的和為:10100+ d=10,所以d=-22,所以前11項的和S110=11100+ d=11100+ (-22)=-110.3.方法一:因為S10,S20-S10,S30-S20,方法二:設等差數列an的公差為d,則 (n-1)+a1,所以數列 成等差數列.所以 所以S110=-110.方法二:設等差數列an的公差為d,方法三:設等差數列an的公差為d,S110=a1+a2+a

14、10+a11+a12+a110=(a1+a2+a10)+(a1+10d)+(a2+10d)+(a100+10d)=S10+S100+10010d,又S100-10S10= =10-10100,即100d=-22,所以S110=-110.方法三:設等差數列an的公差為d,【素養(yǎng)探】在關于等差數列前n項和的性質問題中,經常利用核心素養(yǎng)中的數學運算和邏輯推理,靈活應用等差數列前n項和的性質,或構造新的等差數列,達到簡化運算的目的.將本例1的條件“ ”改為“ ”,應如何解答?【素養(yǎng)探】【解析】由等差數列的性質可得: 只有n=1,2,3,6,9,18時, 為整數,可得使 為整數的正整數n的個數是6.【解

15、析】由等差數列的性質可得:【類題通】等差數列前n項和的性質(1)等差數列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也構成等差數列.(2)若an與bn均為等差數列,且前n項和分別為Sn與Sn,則 【類題通】(3)若等差數列an的前n項和為Sn,則數列 是等差數列,且首項為a1,公差為 .(4)項的個數的“奇偶”性質.an為等差數列,公差為d.若共有2n項,則S2n=n(an+an+1);S偶-S奇=nd; (3)若等差數列an的前n項和為Sn,則數列 是等若共有2n+1項,則S2n+1=(2n+1)an+1;S偶-S奇=-an+1; (5)等差數列an中,若Sn=m,Sm=n(mn),則Sm+n

16、=-(m+n).(6)等差數列an中,若Sn=Sm(mn),則Sm+n=0.若共有2n+1項,則S2n+1=(2n+1)an+1;【習練破】1.(2019晉江高一檢測)等差數列an的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前3m項和是()A.130B.170C.210D.260【習練破】【解析】選C.因為Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數列,所以Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm),所以30+S3m-100=2(100-30),所以S3m=210.【解析】選C.因為Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數2.(1)一個等差數列共2 019項,求它的奇數項和與偶數項和之比.(2)

17、一個等差數列前20項和為75,其中的奇數項和與偶數項和之比為12,求公差d.2.(1)一個等差數列共2 019項,求它的奇數項和與偶數項【解析】(1)等差數列an共有1 010個奇數項,1 009個偶數項,所以S奇= ,S偶= 因為a1+a2 019=a2+a2 018,所以 【解析】(1)等差數列an共有1 010個奇數項,1 0(2)前20項中,奇數項和S奇= 75=25,偶數項和S偶= 75=50,又S偶-S奇=10d,所以d= =2.5. (2)前20項中,奇數項和S奇= 75=25,偶數項和S【加練固】1.已知等差數列an,bn的前n項和分別為Sn,Tn,若對于任意的自然數n,都有

18、則 =()【加練固】【解析】選A.因為等差數列中,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq;等差數列的前n項和為:Sn= 所以 【解析】選A.因為等差數列中,若m+n=p+q,所以所以2.設等差數列an的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于()A.63 B.45 C.36 D.272.設等差數列an的前n項和為Sn,若S3=9,S6=3【解析】選B.因為a7+a8+a9=S9-S6,而由等差數列的性質可知,S3,S6-S3,S9-S6構成等差數列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=236-39=45.【解析】選B.因為a7+a

19、8+a9=S9-S6,而由等差數列類型三等差數列前n項和的最值【典例】1.(2019大慶高一檢測)設an是等差數列,Sn是其前n項和,且S5S8,則下列結論錯誤的是()A.dS5 D.S6和S7均為Sn的最大值類型三等差數列前n項和的最值2.(2018全國卷)記Sn為等差數列an的前n項和,已知a1=-7,S3=-15.世紀金榜導學號(1)求an的通項公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.2.(2018全國卷)記Sn為等差數列an的前n項和【思維引】1.由已知條件分析a6,a7,a8的符號,求Sn的最大值,作差比較S9與S5的大小.2.(1)解方程組即可求出首項、公差,進而得到an的通項公式;

20、【思維引】1.由已知條件分析a6,a7,a8的符號,求Sn(2)可以把Sn看作關于n的二次函數從函數角度求最值;也可以分析等差數列的項從哪一項開始由負變正,推出Sn的最小值.(2)可以把Sn看作關于n的二次函數從函數角度求最值;也可以【解析】1.選C.因為S5S8,所以a60,a7=0,a80,可得d0,S6和S7均為Sn的最大值,S9= =9a5,S5= =5a3.S9-S5=9(a1+4d)-5(a1+2d)=4a1+26d=4a7+2d0,所以S9S5.因此C錯誤.【解析】1.選C.因為S5S8,所以a60,2.(1)設an的公差為d,由題意得3a1+3d=-15.又a1=-7,所以d=

21、2.所以an的通項公式為an=2n-9.2.(1)設an的公差為d,由題意得3a1+3d=-15(2)方法一:(二次函數法)由(1)得Sn= =n2-8n=(n-4)2-16,所以當n=4時,Sn取得最小值,最小值為-16. (2)方法一:(二次函數法)由(1)得Sn= 方法二:(通項變號法)由(1)知an=2n-9,則Sn= =n2-8n.由Sn最小 所以 又nN*,所以n=4,此時Sn的最小值為S4=-16.方法二:(通項變號法)由(1)知an=2n-9,則Sn= 【內化悟】等差數列的前n項和Sn是關于n的二次函數(缺常數項),如何利用對應函數的圖象分析等差數列正、負項的分界點?【內化悟】提示:利用到y=ax2+bx(a0)的對稱軸距離最近的左側的一個正數或離對稱軸最近且關于對稱軸對稱的兩個整數對應項即為正、負項的分界點.提示:利用到y=ax2+bx(a0)的對稱軸距離最近的左側【類題通】等差數列前n項和最值的兩種求法(1)符號轉折點法.當a10,d0時,由不等式組 可求得Sn取最大值時的n值.【類題通】當a10時,由不等式組 可求得Sn取最小值時的n值.當a10時,由不等式組 (2)利用二次函數求Sn的最值.知道公差不為0的等差數列的前n項和Sn可以表示成Sn=an2+bn(a0)的形式,我們可將其變形為Sn=若a0,則當 最小時,Sn有最