(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第8章§8.10《圓錐曲線中范圍與最值問(wèn)題》(含詳解)

1、8.10圓錐曲線中范圍與最值問(wèn)題題型一范圍問(wèn)題例1(2022臨沂模擬)已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，以PF1為直徑的圓E：x2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,4)2eq f(49,16)過(guò)焦點(diǎn)F2.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的右頂點(diǎn)為A，與x軸不垂直的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)(M，N與A點(diǎn)不重合)，且滿足AMAN，點(diǎn)Q為MN的中點(diǎn)，求直線MN與AQ的斜率之積的取值范圍解(1)在圓E的方程中，令y0，得x23，解得xeq r(3)，所以F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(eq r(3)，0)，

2、(eq r(3)，0)因?yàn)镋eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,4)，又因?yàn)閨OE|eq f(1,2)|F2P|，OEF2P，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(r(3)，f(1,2)，所以2a|PF1|PF2|2eq f(7,4)eq f(1,2)4，得a2，b1，即橢圓C的方程為eq f(x2,4)y21.(2)右頂點(diǎn)為A(2,0)，由題意可知直線AM的斜率存在且不為0，設(shè)直線AM的方程為yk(x2)，由MN與x軸不垂直，故k1.由eq blcrc (avs4alco1(ykx2，,f(x2,4)y21，)得(14k2)x216k2x16k240，設(shè)

3、M(x1，y1)，N(x2，y2)，又點(diǎn)A(2,0)，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得2x1eq f(16k24,14k2)，得x1eq f(8k22,14k2)，y1k(x12)eq f(4k,14k2)，因?yàn)锳MAN，所以直線AN的方程為yeq f(1,k)(x2)，用eq f(1,k)替換k可得，x2eq f(82k2,4k2)，y2eq f(4k,4k2)，所以點(diǎn)Q坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(30k2,14k24k2)，f(6kk21,14k24k2)，所以直線AQ的斜率k1eq f(f(6kk21,14k24k2),f(30k2,14k24k2)2)eq f(3k1k2

4、,22k4k22)，直線MN的斜率k2eq f(y2y1,x2x1)eq f(f(4k,4k2)f(4k,14k2),f(82k2,4k2)f(8k22,14k2)eq f(5k,41k2)，所以k1k2eq f(15k2,82k4k22)eq f(15,8blc(rc)(avs4alco1(2k2f(2,k2)1)，因?yàn)閗20且k21，所以2k2eq f(2,k2)12eq r(2k2f(2,k2)15，所以0eq f(15,8blc(rc)(avs4alco1(2k2f(2,k2)1)0，b0)的左焦點(diǎn)F1的動(dòng)直線l與的左支交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)的右焦點(diǎn)為F2.(1)若ABF2可以是邊長(zhǎng)為4的

5、正三角形，求此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若存在直線l，使得AF2BF2，求的離心率的取值范圍解(1)依題意得|AF1|2，|AF2|4，|F1F2|2eq r(3).2a|AF2|AF1|2，a1，2c|F1F2|2eq r(3)，ceq r(3)，b2c2a22，此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2eq f(y2,2)1.(2)設(shè)l的方程為xmyc，與eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1聯(lián)立，得(b2m2a2)y22b2cmyb40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2eq f(2b2cm,b2m2a2)，y1y2eq f(b4,b2m2a2)，由AF2BF2，eq o(F2A,sup6()

6、eq o(F2B,sup6()0，(x1c)(x2c)y1y20，(my12c)(my22c)y1y20(m21)b44m2c2b24c2(b2m2a2)0(m21)b44a2c2(m21)eq f(4a2c2,b4)14a2c2(c2a2)2，c4a46a2c20e46e210，又e1，1e232eq r(2)，1e1eq r(2)，又A，B在左支且l過(guò)F1，y1y20，eq f(b4,b2m2a2)0m2eq f(a2,b2)m21eq f(4a2c2,b4)eq f(a2,b2)1，4a25.綜上所述，eq r(5)2，由橢圓的定義可知，點(diǎn)Q的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，其中aeq r(

7、2)，c1，b1，則點(diǎn)Q的軌跡方程C：eq f(y2,2)x21.(2)由已知得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ykxm(k0)，聯(lián)立方程eq blcrc (avs4alco1(f(y2,2)x21，,ykxm，)消去y得(k22)x22kmxm220，8k28m2160，解得m2k22，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2eq f(2km,k22)，x1x2eq f(m22,k22)，所以kDAkDBeq f(y1,x11)eq f(y2,x21)eq f(kx1m,x11)eq f(kx2m,x21)eq f(1,6)，化簡(jiǎn)得eq f(2m2k2,mk2)eq f(1,6).

8、當(dāng)mk時(shí)，直線l的方程為ykxk恒過(guò)(1,0)，不符合題意；當(dāng)mk時(shí)，得meq f(13,11)k，直線l的方程為ykxeq f(13,11)k恒過(guò)eq blc(rc)(avs4alco1(f(13,11)，0)，由m2k22得eq f(169,121)k2b0)過(guò)點(diǎn)Aeq blc(rc)(avs4alco1(1，f(r(2),2)，短軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線l(直線l不與x軸垂直)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且O為坐標(biāo)原點(diǎn)求MON的面積的最大值解(1)依題意得eq f(12,a2)eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)2,b2

9、)1，而b1，則eq f(1,a2)eq f(1,2)1eq f(1,a2)1eq f(1,2)eq f(1,2)a22，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,2)y21.(2)因?yàn)橹本€l不與x軸垂直，則l的斜率k存在，l的方程為ykx2，由eq blcrc (avs4alco1(ykx2，,f(x2,2)y21，)得(2k21)x28kx60，因?yàn)橹本€l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，則有(8k)24(2k21)616k2240k2eq f(3,2)，即keq f(r(6),2)，設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2eq f(8k,2k21)，x1x2eq f(6,2k21)，所

10、以|MN|eq r(1k2)|x1x2|eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2)eq r(1k2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(8k,2k21)24f(6,2k21)eq r(1k2)eq r(f(82k23,2k212)eq r(1k2)eq f(2r(2)r(2k23),2k21)，而原點(diǎn)O到直線l：kxy20的距離deq f(2,r(k21)，MON的面積Seq f(1,2)|MN|deq f(1,2)eq r(1k2)eq f(2r(2)r(2k23),2k21)eq f(2,r(k21)eq f(2r(2)r(2k23),2k21)，令teq r(2k2

11、3)2k2t23(t0)，Seq f(2r(2)t,t24)eq f(2r(2),tf(4,t)，因?yàn)閠eq f(4,t)2eq r(tf(4,t)4，當(dāng)且僅當(dāng)teq f(4,t)，即t2時(shí)取“”，此時(shí)k2eq f(7,2)，即keq f(r(14),2)，符合要求，從而有Seq f(2r(2),4)eq f(r(2),2)，故當(dāng)keq f(r(14),2)時(shí)，MON的面積的最大值為eq f(r(2),2).教師備選(2022廈門(mén)模擬)設(shè)橢圓：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的離心率為eq f(r(3),2)，點(diǎn)A，B，C分別為的上、左、右頂點(diǎn)，且|BC|4.(1)求的

12、標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)D為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作lAC，設(shè)l與的交點(diǎn)為P，Q，求|PD|QD|的最大值解(1)由題意得2a|BC|4，解得a2.又因?yàn)閑eq f(c,a)eq f(r(3),2)，所以ceq r(3)，則b2a2c21.所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,4)y21.(2)方法一由(1)可得A(0,1)，B(2,0)，C(2,0)，則kACeq f(1,2)，直線AB的方程為x2y20，設(shè)直線l的方程為yeq f(1,2)x.聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(yf(1,2)x，,f(x2,4)y21，)消去y，整理得，x22x2220.由0，得eq r(2)0，解得eq

13、f(1r(2),2)0，故xeq f(3,2)，于是yeq f(5r(3),2).點(diǎn)P的坐標(biāo)是eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(5r(3),2).(2)由(1)可得直線AP的方程是xeq r(3)y60，點(diǎn)B(6,0)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(m,0)，則點(diǎn)M到直線AP的距離是eq f(|m6|,2)，于是eq f(|m6|,2)|m6|，又6m6，解得m2.由橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離為d，得d2(x2)2y2x24x420eq f(5,9)x2eq f(4,9)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(9,2)215，由于6x6，由f(x)eq f(4,9)eq

14、 blc(rc)(avs4alco1(xf(9,2)215的圖象可知，當(dāng)xeq f(9,2)時(shí)，d取最小值，且最小值為eq r(15).課時(shí)精練1已知雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e2，點(diǎn)M(eq r(5)，eq r(3)在雙曲線上(1)求雙曲線的方程；(2)如圖，若直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)Q，P，且eq o(OP,sup6()eq o(OQ,sup6()0，求|OP|2|OQ|2的最小值解(1)因?yàn)閑eq f(c,a)2，所以c2a，b2c2a23a2.所以雙曲線的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,3a2)1，即

15、3x2y23a2.因?yàn)辄c(diǎn)M(eq r(5)，eq r(3)在雙曲線上，所以1533a2，所以a24.所以所求雙曲線的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,12)1.(2)設(shè)直線OP的方程為ykx(k0)，則直線OQ的方程為yeq f(1,k)x，由eq blcrc (avs4alco1(f(x2,4)f(y2,12)1，,ykx，)得eq blcrc (avs4alco1(x2f(12,3k2)，,y2f(12k2,3k2)，)所以|OP|2x2y2eq f(12k21,3k2).同理可得|OQ|2eq f(12blc(rc)(avs4alco1(1f(1,k2),3f(1,k2)eq f

16、(12k21,3k21)，所以eq f(1,|OP|2)eq f(1,|OQ|2)eq f(3k23k21,12k21)eq f(22k2,12k21)eq f(1,6).設(shè)|OP|2|OQ|2t，則teq blc(rc)(avs4alco1(f(1,|OP|2)f(1,|OQ|2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(|OQ|,|OP|)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(|OP|,|OQ|)2224，所以teq f(4,f(1,6)24，即|OP|2|OQ|224(當(dāng)且僅當(dāng)|OP|OQ|2eq r(3)時(shí)取等號(hào))所以當(dāng)|OP|OQ|2eq r(3)時(shí)，|OP|2|OQ

17、|2取得最小值24.2(2022陽(yáng)泉模擬)已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq f(r(2),2)，P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P是橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)1PF2的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)斜率存在的直線PF2，與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q.若存在T(t,0)，使得|TP|TQ|，求t的取值范圍解(1)由題意可知eq blcrc (avs4alco1(f(c,a)f(r(2),2)，,f(1,2)b2c1，,b2c2a2，)解得eq blcrc (avs4alco1(ar(2)，,b1，,c1，)故橢圓C的方程為e

18、q f(x2,2)y21.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點(diǎn)為N(x0，y0)，直線PF2的斜率為k，由(1)設(shè)直線PQ的方程為yk(x1)當(dāng)k0時(shí)，t0符合題意；當(dāng)k0時(shí)，聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,f(x2,2)y21，)得(12k2)x24k2x2k220，16k44(12k2)(2k22)8k280，x1x2eq f(4k2,12k2)，x0eq f(x1x2,2)eq f(2k2,12k2)，y0k(x01)eq f(k,12k2)，即Neq blc(rc)(avs4alco1(f(2k2,12k2)，f(k,12k2).|TP|T

19、Q|，直線TN為線段PQ的垂直平分線，TNPQ，即kTNk1.eq f(f(k,12k2),f(2k2,12k2)t)k1，teq f(k2,12k2)eq f(1,2f(1,k2).k20，eq f(1,k2)0 ,2eq f(1,k2)2，0eq f(1,2f(1,k2)b0)過(guò)點(diǎn)A(0，2)，以四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為4eq r(5).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(0，3)的直線l斜率為k，交橢圓E于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC交y3于點(diǎn)M，N，若|PM|PN|15，求k的取值范圍解(1)因?yàn)闄E圓過(guò)A(0，2)，故b2，因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為4eq r(5)，故

20、eq f(1,2)2a2b4eq r(5)，即aeq r(5)，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,5)eq f(y2,4)1.(2)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，因?yàn)橹本€BC的斜率存在，故x1x20，故直線AB：yeq f(y12,x1)x2，令y3，則xMeq f(x1,y12)，同理xNeq f(x2,y22).直線BC：ykx3，由eq blcrc (avs4alco1(ykx3，,4x25y220，)可得(45k2)x230kx250，故900k2100(45k2)0，解得k1.又x1x2eq f(30k,45k2)，x1x2eq f(25,45k2)，故x1x20，所以xMxN0.又|PM|PN|xMxN|eq blc|rc|(avs4alco1(f(x1,y12)f(x2,y22)eq blc|rc|(avs4alco1(f(x1,kx11)f(x2,kx21)eq blc|rc|(avs4alco1(f(2kx