立體幾何中添加輔助線的策略

1、立體幾何中添加輔助線的策略王留廷立體幾何中中添加輔輔助線的的主要策策略：一一是把定定義或者者定理中中缺少的的線、面面、體補(bǔ)補(bǔ)完整；二是要要把已知知量和未未知量統(tǒng)統(tǒng)一在一一個(gè)圖形形中，如如統(tǒng)一在在一個(gè)三三角形中中，這樣樣可以用用解三角角形的方方法求得得一些未未知量，再再如也可可以統(tǒng)一一在平行行四邊形形或其他他幾何體體中。下下面加以以說明。一、添加垂垂線策略略。因?yàn)榱Ⅲw幾幾何的許許多定義義或定理理是與垂垂線有關(guān)關(guān)的，如如線面角角、二面面角的定定義，點(diǎn)點(diǎn)到平面面、線到到平面、平平面到平平面距離離的定義義，三垂垂線定理理，線面面垂直、面面面垂直直的判定定及性質(zhì)質(zhì)定理，正正棱柱、正正棱錐的的性質(zhì)，球球的

2、性質(zhì)質(zhì)等，所所以運(yùn)用用這些定定義或定定理，就就需要把把沒有的的垂線補(bǔ)補(bǔ)上。尤尤其要注注意平面面的垂線線，因?yàn)闉橛辛似狡矫娴拇勾咕€，才才能建立立空間直直角坐標(biāo)標(biāo)系，才才能使用用三垂線線定理或或其逆定定理。例1. 在在三棱錐錐中，三三條棱OOA、OOB、OOC兩兩兩互相垂垂直，且且OA=OB=OC，MM是ABB邊的中中點(diǎn)，則則OM與與平面AABC所所成的角角的大小小是_（用反反三角函函數(shù)表示示）。圖1解：如圖11，由題題意可設(shè)設(shè)，則，OO點(diǎn)在底底面的射射影D為為底面的的中心，。又，OM與平面ABC所成角的正切值是，所以二面角大小是。點(diǎn)評(píng)：本題題添加面面ABCC的垂線線OD，正正是三棱棱錐的性性質(zhì)所

3、要要求的，一一方面它它構(gòu)造出出了正三三棱錐里里面的，另一一方面也也構(gòu)造出出了OMM與平面面ABCC所成的的角。二、添加平平行線策策略。其目的是把把不在一一起的線線，集中中在一個(gè)個(gè)圖形中中，構(gòu)造造出三角角形、平平行四邊邊形、矩矩形、菱菱形，這這樣就可可以通過過解三角角形等，求求得要求求的量，或或者利用用三角形形、梯形形的中位位線來作作出所需需要的平平行線。例2. 如如圖2，在在正方體體中，則則與DFF所成角角的余弦弦值是（ ）A. B. C. D. 圖2解析：取，易易得四邊邊形ADDFG是是平行四四邊形，則則AG/DFF，再作作，四邊邊形也是是平行四四邊形，就是與DF所成角，由余弦定理，算出結(jié)果

4、，選A。點(diǎn)評(píng)：求異異面直線線所成角角常采用用平移法法。三、向中心心對(duì)稱圖圖形對(duì)稱稱中心添添加連線線策略。這主要是因?yàn)閷?duì)稱中心是整個(gè)圖形的“交通”樞紐，它可以與周圍的點(diǎn)、線、面關(guān)聯(lián)起來，常見的有對(duì)平行四邊形連對(duì)角線，對(duì)圓的問題向圓心連線，對(duì)球體問題向球心連線。例3. 如如圖3，OO是半徑徑為1的的球的球球心，點(diǎn)點(diǎn)A、BB、C在在球面上上，OAA、OBB、OCC兩兩垂垂直，EE、F分分別是大大圓弧AAB與AAC的中中點(diǎn)，則則點(diǎn)E、FF在該球球面上的的球面距距離是（ ）A. B. C. D. 圖3解析：添加加輔助線線OE、OOF，連連結(jié)EFF，構(gòu)成成，關(guān)鍵鍵是求。為為了使EEF與已已知條件件更好地地

5、聯(lián)系起起來，過過E作，垂垂足為GG，連結(jié)結(jié)FG，構(gòu)構(gòu)造，在在圖3中中，。點(diǎn)E、F在在該球面面上的球球面距離離為，故故選B。點(diǎn)評(píng)：本題題抓住了了球心，抓抓住了弧弧中點(diǎn)，利利用這些些特殊點(diǎn)點(diǎn)作輔助助線是解解題的關(guān)關(guān)鍵。四、名線策策略。即即添加常常用的、重重要的線線，如中中位線、高高、角平平分線、面面對(duì)角線線和體對(duì)對(duì)角線等等。盡管管這些線線上面也也有提到到，但還還是要在在這里強(qiáng)強(qiáng)化一下下，這些些線有著著廣泛的的聯(lián)系。尤尤其是添添加三角角形中位位線或者者梯形中中位線，這這主要是是因?yàn)橹兄形痪€占占據(jù)了兩兩個(gè)邊的的中點(diǎn)，并并且中位位線平行行于底邊邊，且是是底邊長(zhǎng)長(zhǎng)的一半半，它可可以把底底邊與其其他線面面的

6、角度度關(guān)系平平移，使使已知和和未知集集中在一一個(gè)三角角形中。例4. 如如圖4，正正三棱柱柱的各棱棱長(zhǎng)都為為2，EE、F分分別是AAB、的的中點(diǎn)，則則EF的的長(zhǎng)是（ ）。圖4A. 2B. C. D. 解析：如圖圖4所示示，取AAC的中中點(diǎn)G，連連結(jié)EGG、FGG，則易易得，故故，選CC。點(diǎn)評(píng)：本題題充分體體現(xiàn)了中中位線的的重要性性。五、割補(bǔ)策策略。分分割成常常見規(guī)則則圖形，或或者補(bǔ)形形成典型型幾何體體。例5. 一一個(gè)四面面體的所所有棱長(zhǎng)長(zhǎng)都為，四四個(gè)頂點(diǎn)點(diǎn)在同一一球面上上，則此此球的表表面積為為（ ）A. B. C. D. 6解析：把這這個(gè)正四四面體補(bǔ)補(bǔ)成正方方體，如如圖5，正正四面體體可看成成是由正正方體的的面對(duì)角角線構(gòu)成成的，這這個(gè)正四四面體和和這個(gè)正正方體有有相同的的外接球球面。因因?yàn)樗拿婷骟w的棱棱長(zhǎng)為，所所以正方方體棱