專題09 立體幾何大題證明：平行歸類 2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期題型歸納與變式演練(人教A版2019必修第二冊)（解析版）

1、 專題09 立體幾何大題證明：平行歸類 目錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc29376 一、熱點(diǎn)題型歸納1 HYPERLINK l _Toc17993 【題型一】 “平移法”（平行四邊形）證明線面平行 1 HYPERLINK l _Toc26924 【題型二】 “拉縮法”（中位線）證明線面平行6 HYPERLINK l _Toc12217 【題型三】 構(gòu)造平面法證明線面平行10 HYPERLINK l _Toc30563 【題型四】 線面平行探索性13 HYPERLINK l _Toc30563 【題型五】 面面平行18 HYPERLINK l _Toc30563

2、【題型六】 面面平行探索性22 HYPERLINK l _Toc30563 【題型七】 線面平行應(yīng)用：虛做交線27 HYPERLINK l _Toc30563 【題型八】 平行綜合應(yīng)用31 HYPERLINK l _Toc30563 【題型九】 翻折與平行34 HYPERLINK l _Toc21895 二、最新?？碱}組練38備注：平行專練，大題只分析訓(xùn)練對應(yīng)“平行”這一問【題型一】 “平移法”（平行四邊形）證明線面平行 基本規(guī)律1.利用平移法做出平行四邊形2.利用中位線做出平行四邊形【例1】如圖，圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，點(diǎn)B、C、D在底面圓周上，M為線段OD上一點(diǎn)，A為PC的中點(diǎn).(1

3、)證明：平面POB；(2)求四棱錐的體積.湖南省長沙市長郡中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）取BP的中點(diǎn)T，連接OT，TA，利用三角形中位線定理結(jié)合已知條件可得四邊形為平行四邊形，從而得，進(jìn)而利用線面平行的判定理可得結(jié)論，（2）取BC的中點(diǎn)E，連接OE，OC，由可得，則可求出梯形的面積，從而可求出四棱錐的體積(1)如圖，由已知得.取BP的中點(diǎn)T，連接OT，TA，因 為A為PC中點(diǎn)，所以，.因?yàn)?，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?(2)因?yàn)锳為PC的中點(diǎn)，所以A到平面OBCM的距離為.取BC的中點(diǎn)E，連

4、接OE，OC.由得，.由得四邊形為梯形，故.所以四棱錐的體積.【例2】如圖所示，在四棱錐中，平面，E是的中點(diǎn).(1)求證：/平面(2)求證：/平面.江蘇省無錫市天一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)可證得，進(jìn)而證得平面；（2）取中點(diǎn)，先證四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，即可證得平面.(1)因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，又平面，平面，則平面；(2)取中點(diǎn)，連接，易得，且，由（1）知且，則且，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面.【例3】如圖所示，在直三棱柱ABC-，ABC是邊長為4的等邊三角形

5、，D、E、F分別為棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱BC上，且 (1)證明：AP平面DCE；(2)求點(diǎn)B到平面APF的距離.湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）取BC的中點(diǎn)O，取CD的中點(diǎn)Q，利用中位線可以證得四邊形AEQP為平行四邊形，從而得到，再利用線面平行的判定定理即可；（2）利用等體積法求解點(diǎn)B到平面APF的距離即可.(1)如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接DO，取CD的中點(diǎn)Q，連接PQ，EQ.，四邊形AEQP為平行四邊形，EQ平面DCE，AP平面DCE.AP平面.(2).易得在PAF中，由余弦定理.設(shè)點(diǎn)B到平面APF的距

6、離為d即，.【例4】已知如圖，在直三棱柱中，是邊長為2的正三角形，點(diǎn)，分別是棱，上的點(diǎn)，點(diǎn)是上一動點(diǎn)，.(1)若為線段的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，求的長度.重慶市三峽名校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，先推出四邊形為平行四邊形，得到，再根據(jù)線面平行的判定定理可得平面；（2）根據(jù)等體積法和三角形面積公式可求出結(jié)果.(1)取的中點(diǎn)，連接，則且，又且，且，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面.(2)作交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，平面，是邊長為的正三角形，且，而，又，.【題型二】 “拉縮法”（中位線）證明線面平行基本規(guī)

7、律中位線法難點(diǎn)在于怎么“發(fā)現(xiàn)三角形”【例1】如圖所示，在正方體中，為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若正方體棱長為2，求三棱錐的體積.福建省三明市四地四校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）連接BD交AC于O，連接OE，即可得到，從而得證；（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)及計(jì)算可得；(1)證明：連接BD交AC于O，連接OE，所以O(shè)E是的中位線，所以，又面，面，所以平面；(2)解：正方體中，平面，所以；【例2】如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面ABC，ABBC，D為AC的中點(diǎn)，BC6(1)求證：平面；(2)求三棱柱的表面積河北省邢臺市卓越聯(lián)盟2021-

8、2022學(xué)年高一下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，證明，原題即得證；（2）求出，再求三棱柱的表面積得解.(1)證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)?，D為AC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?2)解：因?yàn)閭?cè)棱底面ABC，所以三棱柱為直三棱柱，所以側(cè)面均為矩形，因?yàn)?，所以底面均為直角三角形，因?yàn)?，所以，所以三棱柱的表面積為【例3】如圖，已知長方體中，點(diǎn)E是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)E到平面的距離.重慶市二0三中學(xué)校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析.(2

9、).【解析】【分析】（1）連接，再連EO，證明，利用線面平行的判定推理作答.（2）根據(jù)給定條件，利用等體積法求出點(diǎn)E到平面的距離作答.(1)長方體中，連接，連EO，如圖，則O是AC的中點(diǎn)，而E是的中點(diǎn)，于是得，平面，平面，所以平面.(2)在長方體中，平面，平面，則，為中點(diǎn)，又平面，設(shè)點(diǎn)E到平面的距離為h，由得，即，解得，所以點(diǎn)E到平面的距離是.【例4】如圖，在幾何體 ABCDEF中，四邊形ABCD為平行四邊形，G為FC的中點(diǎn)，平面ABFE平面CDEF=EF(1)證明:AF/平面BDG(2)證明:AB/EF江蘇省無錫外國語學(xué)校2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期3月第一次月考數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證

10、明見解析.(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）連接AC交BD于O,連接OG.利用三角形的中位線定理，再利用線面平行的判定定理即可證明AF/平面BDG；（2）利用線面平行的性質(zhì)定理即可證明出AB/EF.(1)連接AC交BD于O,連接OG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AC、BD互相平分.又G為FC的中點(diǎn)，所以O(shè)G為三角形ACF的中位線，所以.因?yàn)槊?面,所以AF/平面BDG.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AB/CD.因?yàn)槊?面,所以AB/平面.因?yàn)槊?面面=EF.所以AB/EF.【題型三】構(gòu)造平面法證明線面平行 基本規(guī)律做出平行平面來證線面平行，屬于“麻煩的方法”，但是在證

11、明后續(xù)的“探索性”題型時(shí)非常實(shí)用。授課時(shí)可以先用“中點(diǎn)型”培養(yǎng)“找面做面”的思維。【例1】在四棱錐中，.（1）若E為PC的中點(diǎn)，求證：平面PAD.（2）當(dāng)平面平面ABCD時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）作出輔助線，利用中位線證明線線平行，進(jìn)而證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決二面角.（1）取CD的中點(diǎn)M，連接EM，BM，由已知得，為等邊三角形，.，.又平面PAD，平面PAD，平面PAD.E為PC的中點(diǎn)，M為CD的中點(diǎn)，.又平面PAD，平面PAD，平面PAD.，平面平面PAD.平面BEM，平面PAD.【例2】如圖，四棱錐PABCD中，PA底

12、面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)(1)證明：MN平面PAB；(2)求四面體NBCM的體積河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期期中考試數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）過MN構(gòu)造平面平行于平面PAB即可；（2）根據(jù)題中條件，求出底面積及高即可求出體積.(1)取BC中點(diǎn)E，連接EN，EM，N為PC的中點(diǎn)，NE是PBC的中位線NEPB，又ADBC，BEAD，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，BEBCAM2，四邊形ABEM是平行四邊形，EMAB，平面NEM平面PAB，MN平面

13、NEM，MN平面PAB(2)取AC中點(diǎn)F，連接NF，NF是PAC的中位線，NFPA，NF2，又PA面ABCD，NF面ABCD，如圖，延長BC至G，使得CGAM，連接MG，AMCG且，四邊形ACGM是平行四邊形，ACMG3，又ME3，ECCG2，MEG的高h(yuǎn)，SBCM2，四面體NBCM的體積VNBCM【例3】如圖，AD/BC且AD2BC，ADCD，EG/AD且，且，DG平面ABCD，若M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，求證：MN/平面【答案】證明見解析【解析】【分析】取H是DG的中點(diǎn)，連接NH，MH，證明NH，MH都與平面平行，得面面平行，從而再得線面平行.【詳解】證明：設(shè)H是DG的中點(diǎn)，連接NH，MH，

14、由于M是CF的中點(diǎn)，所以MHCD，由于MH平面CDE，CD平面CDE，所以MH平面CDE由于N是EG的中點(diǎn)，所以NHDE，由于由于NH平面CDE，DE平面CDE，所以NH平面CDE由于NHMHH，平面，所以平面MNH平面CDE，由于MN平面MNH，所以MN平面CDE【例4】在三棱錐中，O，E，F(xiàn)，分別是線段AC，AD，BD的中點(diǎn)，G是OC中點(diǎn).求證：平面BOE.河北省唐山市灤南縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】證明見解析【解析】【分析】通過構(gòu)造面面平行的方法來證得平面BOE.【詳解】取BC中點(diǎn)H，連GH，F(xiàn)H，O，E，F(xiàn)，H分別是AC，AD，BD，BC中點(diǎn)，平面BO

15、E，平面BOE，平面BOE，分別是的中點(diǎn)，平面BOE，平面BOE，平面BOE，平面FGH，平面FGH，平面平面FGH，平面FGH，平面BOE.【題型四】線面平行探索性 基本規(guī)律1.常規(guī)題，對應(yīng)的點(diǎn)大多在中點(diǎn)處。2.要多訓(xùn)練非中點(diǎn)的題選?！纠?】如圖所示正四棱錐，P為側(cè)棱上的點(diǎn)且，求：(1)正四棱錐的表面積；(2)側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)E，使得平面若存在，求的值；若不存在，試說明理由河南省鶴壁市浚縣?？h第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【答案】(1)；(2)在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使平面，滿足【解析】【分析】（1）根據(jù)棱錐的表面積的計(jì)算公式即可求出結(jié)果；（2）分析可得在側(cè)棱上存在一點(diǎn)

16、，使平面，滿足證得平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可證出結(jié)論.(1)正四棱錐中，側(cè)面的高，正四棱錐的表面積(2)在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使平面，滿足理由如下：取中點(diǎn)為，因?yàn)?，則，過作的平行線交于，連接，在中，有，平面，平面，平面，由于，又由于，平面，平面，平面，平面平面，得平面，【例2】如圖所示，正四棱錐PABCD的各棱長均為13，M為PA上的點(diǎn)，且PMMA=58.(1)在線段BD上是否存在一點(diǎn)N，使直線MN平面PBC？如果存在，求出BNND的值，如果不存在，請說明理由；(2)假設(shè)存在滿足條件（1）的N點(diǎn)，求線段MN的長.山東省淄博市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】(1)存在，

17、(2)7【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的比例性質(zhì)得出，從而證明，得到線面平行；（2）根據(jù)比例可求的長，結(jié)合余弦定理可求的長，然后利用比例關(guān)系可得的長.(1)存在，；理由如下：連接并延長，交于，連接.因?yàn)檎叫沃?，所?又因?yàn)椋?；平面，平面，所以平?(2)由（1）得，所以；中，所以；因?yàn)椋运?【例3】如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為線段BC，PB，AD的中點(diǎn).(1)證明：EF/平面PGC；(2)在線段BD上找一點(diǎn)H，使得FH/平面PGC，并說明理由.湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析；(2)

18、H為BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面平行的判定推理作答.（2）連AE交BD于H，連FH，利用面面平行的性質(zhì)推理得解.(1)E、F分別是BC，BP中點(diǎn)，則，而PC平面PGC，EF平面PGC，所以EF/平面PGC.(2)連接AE，與BD相交于H，則H為BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），即為所求.平行四邊形ABCD中，因E、G分別是BC、AD中點(diǎn)，則，即四邊形是平行四邊形，于是得，令，則，而AE平面PCG，CG平面PCG，因此，AE/平面PCG，由（1）知EF/平面PCG，又，AE，EF平面AEF，于是得平面AEF/平面PCG，又FH平面AEF，所以FH

19、/平面PCG，且H為BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B）.【例4】在正三棱錐中，O，E，F(xiàn)分別是線段AC，AD，BD的中點(diǎn)，G是OC的中點(diǎn)，且.(1)在BC上是否存在一點(diǎn)H？使得平面平面BOE；(2)若點(diǎn)M是FG的靠近點(diǎn)F的三等分點(diǎn)，求三棱錐的體積.山西省晉中市新大陸雙語學(xué)校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【答案】(1)存在為中點(diǎn)，使面面BOE；(2).【解析】【分析】（1）為中點(diǎn)，連接，由中位線性質(zhì)及線面、面面平行的判定證得面面BOE，即可判斷存在性.（2）由（1）易得面BOE，根據(jù)已知中點(diǎn)有，應(yīng)用錐體的體積公式求體積即可.(1)若為中點(diǎn)，連接，又O，E，F(xiàn)，G分別是AC，AD，BD，

20、OC的中點(diǎn)，則，故，且，而面，面，則面，又面，面，則面，由，則面面BOE，所以，存在為中點(diǎn)，使面面BOE；(2)由（1）知：面面BOE，而面，則面BOE，所以，在正三棱錐中，即，所以，則面，面，所以面面，故三棱錐的體高即為底邊上的高，而，又底面ABC為等邊三角形，則在底面的投影為底面中心在OB上且到各頂點(diǎn)距離，即外接圓半徑，所以，又，所以.【題型五】 面面平行基本規(guī)律面面平行的核心思維是“線面平行”?！纠?】在正方體中，E、F分別是棱和棱的中點(diǎn)(1)求證：平面平面；(2)試問平面截正方體所得的截面是什么圖形？并說明理由廣東省廣州市仲元中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】(1

21、)詳見解析；(2)詳見解析.【解析】【分析】（1）易證，得到平面AEC，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，則，從而平面AEC ，再利用面面垂直的判定定理證明； （2）由（1）平面平面，利用面面平行的性質(zhì)得到，再結(jié)合正方體的性質(zhì)和平行四邊形的定義判斷.(1)證明：如圖所示：因?yàn)镋，F(xiàn)為中點(diǎn)，則，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面AEC，平面AEC，所以平面AEC，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，則，且平面AEC ，平面AEC ，所以平面AEC ，又，所以平面平面；(2)由（1）知：平面平面，且平面，平面平面，所以，又，所以，又，則，所以四邊形是平行四邊形，又DF=DG，故平面截正方體所得的截面是菱

22、形.【例2】如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，H，G分別是棱，的中點(diǎn).求證：平面平面.新疆烏蘇市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【答案】證明見解析【解析】【分析】利用中位線定理證明，得到平面，連接交于,連接交于，交于，交于，則可證四邊形是平行四邊形，得到，于是平面，最后得到平面平面【詳解】連接，因?yàn)?，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，所以，又平面，平面，所以平面，連接，連接交于，交于，交于，則，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面平面.【例3】如圖，長方體的底面是邊長為的正方形，高為，分別是的中點(diǎn)(1)求三棱錐的體積；(2)求證：平面平面

23、寧夏吳忠市吳忠中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）利用體積，由棱錐體積公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)三角形中位線性質(zhì)和線面平行判定可證得平面，同理可得平面，由面面平行的判定可證得結(jié)論.(1)，平面，.(2)連接，分別為中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面；同理可得：平面，又，平面，平面平面.【例4】已知正方體ABCDA1B1C1D1，O1為底面A1B1C1D1的中心求證：(1)平面AB1D1/平面C1BD；(2)求直線D1A與BA1所成角湖南省長沙市明德中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解

24、析(2)【解析】【分析】（1）在正方體中，分別證明平面，平面，由面面平行的判定定理可證.（2）異面直線求夾角，將異面直線轉(zhuǎn)換到同一平面內(nèi)，進(jìn)行求解.(1)證：在正方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，則，同理.平面，平面；所以平面，同理平面，且，所以平面平面.(2)，是直線與所成角，直線與所成角為【題型六】 面面平行探索性基本規(guī)律找面的經(jīng)驗(yàn)：任何一對互相平行平面，和第三個(gè)平面相交，交線互相平行【例1】如圖，在四棱柱中，點(diǎn)M是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn).(1)設(shè)G為棱上的一點(diǎn)，問：當(dāng)G在什么位置時(shí)，平面平面？(2)設(shè)三棱錐的體積為，四棱柱的體積為，求.江蘇省無錫市天一中學(xué)2021-202

25、2學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】(1)G為中點(diǎn)時(shí)，平面平面；(2)【解析】【分析】（1）G為中點(diǎn)時(shí)，先證平面，再證平面，即可證得平面平面；（2）由，結(jié)合平面得即可求得.(1)G為中點(diǎn)時(shí)，平面平面，理由如下：連接，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，則，平面，平面，則平面，同理可得，平面，平面，則平面，又，平面，則平面平面；(2)由F是的中點(diǎn)得，又，平面，平面，則平面，又點(diǎn)M是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，則，則，則.【例2】如圖，在四棱錐中，底面四邊形是平行四邊形，分別為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)在底面四邊形內(nèi)部（包括邊界）是否存在點(diǎn)，使得平面平面？如果存在求點(diǎn)的位置，并求的最大值，如果不

26、存在請說明理由.湖北省問津聯(lián)合體2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期5月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析(2)存在，理由見解析，的最大值為2【解析】【分析】（1）作出輔助線，證明線線平行，從而得到線面平行；（2）取中點(diǎn)為，連接，證明出面面平行，從而得到點(diǎn)的位置，且求出的最大值.(1)證明：取的中點(diǎn)，連接.中，分別為的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，故四邊形為平行四邊形，平面平面，平面.(2)解：取中點(diǎn)為，連接，在中，分別為的中點(diǎn)，平面平面，平面.因?yàn)榍?，且、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，平面平面，平面.又，且平面，故平面平面.所以點(diǎn)存在，且，即點(diǎn)在線段上移動，可使平面平面，當(dāng)

27、點(diǎn)運(yùn)動到時(shí)，此時(shí)的最大值，最大值為2.【例3】如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別是棱的中點(diǎn). (1)求證：E、M、B、D四點(diǎn)共面；(2)是否存在過點(diǎn)E，M且與平面平行的平面?若存在，請作出這個(gè)平面并證明，若不存在，請說明理由.廣東省廣州市海珠外國語實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析(2)存在，圖形見解析，證明見解析【解析】【分析】（1）連接、，即可證明四邊形為平行四邊形，則，再由中位線的性質(zhì)得到，即可得到，從而得證；（2）取靠近的四等分點(diǎn)，連接、，平面即為所求，取的中點(diǎn)，連接、，連接交于點(diǎn)，連接，即可證明、，從而得證；(1)證明：連接、，在正方體中，且

28、，所以四邊形為平行四邊形，所以，又是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，所以，所以、四點(diǎn)共面；(2)解：取靠近的四等分點(diǎn)，連接、，則平面平面，平面即為所求，圖形如下所示，證明：取的中點(diǎn)，連接、，連接交于點(diǎn)，連接，依題意可得且，所以為平行四邊形，所以又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，顯然為靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，又，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面；【?】如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)(1)求證：平面；(2)上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在請說明理由山西省大同市第二中學(xué)校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析；(2)存在，為的中點(diǎn)，

29、理由見解析.【解析】【分析】(1)連結(jié)交于，連結(jié)由三角形的中位線定理、線面平行的判定定理即可證明；(2)上的中點(diǎn)即滿足平面平面由平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，可得證明(1)連結(jié)交于，連結(jié)為正方體，底面為正方形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，在中，是的中位線，所以，又平面，平面，平面；(2)上的中點(diǎn)即滿足平面平面為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，四邊形為平行四邊形，平面，平面，平面；由(1)知平面，又，平面平面【題型七】線面平行應(yīng)用：虛做交線 【例1】如圖，正方形ABCD為圓柱的軸截面，EF是圓柱上異于AD，BC的母線(1)請作出平面BDE與圓所在平面的交線l，并判斷l(xiāng)與平面BEF的

30、位置關(guān)系，要求說明作法及理由；(2)M，N分別是DE，BF的中點(diǎn)，證明：平面ABE福建省廈門外國語學(xué)校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)確定交線l作圖即可；（2）取EF中點(diǎn)G，連接MG，NG，再證明平面平面ABE即可(1)交線l如圖所示作法：在平面BDE中過D點(diǎn)作直線，則直線l就是所求作的交線理由：圓柱，EF是母線，平行四邊形EFCB，又平面FCD，平面FCD，平面FCD交線平面平面DBE，過D作直線，則直線l就是所求作的交線(2)證明：如圖，取EF中點(diǎn)G，連接MG，NG，M，G是DE，EF中點(diǎn)，所以

31、，平面DFC，平面DFC，平面DFC，平面ABE，同理可證平面ABE，MG，平面MGN，平面平面ABE，又平面MGN，平面ABE【例2】如圖，在直三棱柱中，M為線段上的點(diǎn).(1)記平面ACM與平面的交線為l，證明：；(2)在答題卡原圖畫出交線l并寫出作圖過程.黑龍江省雙鴨山市集賢縣2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析；(2)見解析；【解析】【分析】（1）由可得平面，再由線面平行的性質(zhì)即得；（2）延長交的延長線于，延長交的延長線于，直線即為所求，再說明EF同時(shí)在兩個(gè)平面內(nèi)即可.(1)易得，平面，平面，則平面，又平面，平面平面，則；(2)如圖，延長交的延長線于，

32、延長交的延長線于，連接，易得平面，則平面，同理可得平面，則直線即為平面ACM與平面的交線l.【例3】如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn)(1)求證：平面BDE；(2)若平面平面，平面平面，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論福建省漳州第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析；(2)，證明見解析.【解析】【分析】（1）令，連，證明，再利用線面平行的判定推理作答.（2），利用（1）的結(jié)論，結(jié)合線面平行的性質(zhì)、平行公理推理作答.(1)令，連，如圖，四邊形ABCD是正方形，即O是AC中點(diǎn)，而M是矩形ACEF邊EF的中點(diǎn)

33、，則有，且，于是得四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面.(2)，由（1）知，平面，又平面，平面平面，因此，平面，又平面，平面平面，因此，所以.【例4】如圖所示，已知點(diǎn)P是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，M，N，Q分別，的中點(diǎn)，平面平面(1)證明平面平面；(2)求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由線面平行、面面平行的判定即可證明.（2）利用線面平行的性質(zhì)定理即可證明.(1)證明：因?yàn)镸，N，Q分別，的中點(diǎn)，所以，又平面ABCD,平面ABCD,所以平面ABCD, 平面ABCD,因?yàn)?，平面MNQ,所以平面平面，(2)證明：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又平面平面?/p>

34、平面，所以.【題型八】平行綜合應(yīng)用 【例1】如圖，在四棱柱中，點(diǎn)M是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)設(shè)G為棱上的中點(diǎn)，求證：平面平面.福建省安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】(1)如圖，連接，證明，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；(2)取的中點(diǎn)G，連接，推出，證明平面，結(jié)合平面，證明平面平面即可.(1)在四棱柱中，連接BM，如圖，因E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，則有，又平面，平面，所以平面；(2)G是中點(diǎn)，使得平面平面，理由如下：取的中點(diǎn)G，連接，而E是的中點(diǎn)，于是

35、得，而平面，平面，從而得平面，由（1）知平面，且平面，因此平面平面，所以當(dāng)G是的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，【例2】如圖所示，在三棱柱中，E、F、G、H分別是AB，AC，的中點(diǎn)，求證：(1)平面(2)平面平面BCHG黑龍江省七臺河市勃利縣高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由GH是的中位線和EF是的中位線，得到，然后應(yīng)用線面平行判定定理即可；（2）由（1）知平面，然后證明平面，再應(yīng)用面面平行判定定理即可.(1)因?yàn)镚，H分別是，的中點(diǎn)，所以GH是的中位線，則，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，所以EF是的中位線，則，又因?yàn)椋裕?/p>

36、平面，平面所以平面(2)由G，E分別為，AB的中點(diǎn)，所以，所以是平行四邊形，所以平面，平面所以平面，又平面BCHG，平面BCHG，且，所以平面平面BCHG【例3】如圖，已知四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M、N、Q分別是PA、BD、PD的中點(diǎn).求證：(1)平面PCD；(2)平面平面PBC廣西三新2021-2022學(xué)年高一4月教學(xué)質(zhì)量測評段考數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】【分析】(1)利用三角形中位線證明MNPC即可；(2)利用中位線證明NQPB，結(jié)合(1)中結(jié)論即可證明(1)由題意，四棱錐的底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M、N、Q分別是PA、BD、PD的中點(diǎn)，N

37、是AC的中點(diǎn)，平面PCD，平面PCD，平面PCD；(2)由(1)知，平面PBC，平面PBC，MN平面PBC，ABCD為平行四邊形，N是BD中點(diǎn)，又Q是PD中點(diǎn)，在PBD中，NQPB，PB平面PBC，NQ平面PBC，NQ平面PBC，MNNQ=N，MN、NQ平面MNQ，平面平面PBC【例4】在正方體中，S是的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點(diǎn)，求證：(1)平面；(2)平面平面.湖南省三湘名校教育聯(lián)盟、五市十校教研教改共同體2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）連AC，BD交于點(diǎn)O，連SB，D1O，證明，利用線面平行的

38、判定定理證明即可；（2）證明都平行于平面，然后利用面面平行的判定定理證明即可.(1)證明：連AC，BD交于點(diǎn)O，連SB，D1O，G，E分別是SC，BC的中點(diǎn)，又，則四邊形為平行四邊形，平面，平面，平面；(2)由題連接OF，A1F，OF是的中位線，四點(diǎn)共面，由（1）可知，平面，平面，則平面又,平面，平面，則平面，又，平面,平面,平面平面.【題型九】 翻折與平行【例1】已知正方形，如圖，分別是，的中點(diǎn)，將沿折起，如圖所示，求證：平面.【答案】證明見解析【解析】【分析】先得到，則四邊形為平行四邊形，再由線面平行判定定理證明即可.【詳解】因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以又，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?/p>

39、平面，而平面，所以平面.【例2】如圖所示，圖（1）中的中，是的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且滿足，得到如圖（2）所示的三棱錐，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，、分別在棱、上，滿足， . (1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.重慶市主城區(qū)六校2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）構(gòu)造平行四邊形，利用線線平行推線面平行（2）借助（1）的結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為求與平行的直線與平面所成的角(1)證明：在中，,是的中點(diǎn), 在三棱錐中，取的中點(diǎn),連接, 分別是棱的中點(diǎn)，,連接,滿足, 四邊形是平行四邊形，平面,平面平面(2)翻折前，翻折

40、后，平面,平面,，是中點(diǎn)平面與平面的所成角為與平面的所成角等于與平面的所成角，【例3】如圖1，在直角梯形ABCD中，且.現(xiàn)以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點(diǎn)，如圖2.（1）求證：平面；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用三角形中位線定理、平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合勾股的逆定理、線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可【詳解】證明：取中點(diǎn)，連結(jié).在中， 分別為的中點(diǎn)， 所以，且. 由已知， 所以，且，因此四邊形是平行四邊形，所以有，又因?yàn)槠矫?/p>

41、，且平面， 所以平面；（2）證明：在正方形中，.又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD中，且平面平面， 所以平面ABCD，又平面ABCD，所以. 在直角梯形ABCD中，可得.在中， 所以.所以，平面，平面.【例4】如圖，已知等腰梯形中，是的中點(diǎn)，將沿著翻折成，使平面平面. (1)求證：平面；(2)求與平面所成的角；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)30；(3)存在，.【解析】【分析】(1)首先根據(jù)已知條件并結(jié)合線面垂直的判定定理證明平面，再證明即可求解；(2)根據(jù)(1)中結(jié)論找出所求角，再結(jié)合已知條件即可求解；(3)首先假設(shè)存在，然后根據(jù)

42、線面平行的性質(zhì)以及已知條件，看是否能求出點(diǎn)的具體位置，即可求解.【詳解】(1)因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，故四邊形是菱形，從而，所以沿著翻折成后，,又因?yàn)?，所以平面，由題意，易知，所以四邊形是平行四邊形，故，所以平面；(2) 因?yàn)槠矫妫耘c平面所成的角為，由已知條件，可知， 所以是正三角形，所以，所以與平面所成的角為30；(3) 假設(shè)線段上是存在點(diǎn)，使得平面，過點(diǎn)作交于，連結(jié)，如下圖：所以，所以， 四點(diǎn)共面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以四邊形為平行四邊形，故，所以為中點(diǎn)，故在線段上存在點(diǎn)，使得平面，且.1.如圖，在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)(1)證明：平面(2)求點(diǎn)C到平面的距離河南省安陽市2021

43、-2022學(xué)年高一下學(xué)期階段性考試（四）數(shù)學(xué)試題【答案】(1)詳見解析.(2)【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，易得四邊形EGFA是平行四邊形，從而，再利用線面平行的判定定理證明； （2）根據(jù)，利用等體積法求解.(1)證明：如圖所示：取的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則，且，所以四邊形EGFA是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；(2)因?yàn)?，又，所以平面，因?yàn)椋云矫?，則，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，解得，即點(diǎn)C到平面的距離為：.2.如圖，已知在長方體中，點(diǎn)E是的中點(diǎn).(1)求證：平面EBD；(2)求三棱錐的體積.河北省邢臺市卓越聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考

44、數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析(2)1【解析】【分析】（1），證明，然后由線面平行的判定定理可得線面平行；（2）用換底法求三棱錐的的體積(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，且，則O為AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，則，平面EBD，平面EBD，因此，平面EBD；(2)在長方體中，平面，因此，.3.如圖，在正方體中，分別為，AB中點(diǎn)(1)求證：平面；(2)求異面直線EF與所成角的余弦值江蘇省南通市如皋市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】取的中點(diǎn)M，連接，推導(dǎo)出，利用線面平行的判定定理即可證明平面；由可知為異面直線EF與所成角，從而利

45、用余弦定理求解即可.(1)證明：取的中點(diǎn)M，連接，在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形MEFA為平行四邊形，有，又平面平面，所以平面；(2)不妨設(shè)正方體棱長為2，由可知為異面直線EF與所成角，在中，已知，由余弦定理得，所以異面直線EF與所成角的余弦值為4.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)F(1)求證：平面；(2)求證：F為的中點(diǎn)；(3)在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由江蘇省淮安市漣水縣第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期第二次階段檢測數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)存在N使得平面

46、，理由見解析.【解析】【分析】（1）連接交于，連接，易知，再由線面平行的判定證結(jié)論；（2）由，根據(jù)線面平行的判定有面，再由線面平行的性質(zhì)可得，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（3）為中點(diǎn)，連接，由已知易證為平行四邊形，則，再由線面平行可證面，即可判斷存在性.(1)連接交于，連接，如下圖：由為平行四邊形，則為中點(diǎn)，又E為棱的中點(diǎn)，所以為中位線，則，又面，面，故平面；(2)由題設(shè)知：，面，面，所以面，又面，面面，所以，又E為棱的中點(diǎn)，即是的中位線，故F為的中點(diǎn)；(3)存在N使得平面且，理由如下：為中點(diǎn)，連接，由題設(shè)且，由（2）知且，所以且，即為平行四邊形，所以，而面，面，所以面，故所求點(diǎn)即為點(diǎn)，則上存在點(diǎn)N使

47、得平面，且.5.如圖，三棱柱中，E，P分別是和CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱上，且，證明：平面EFC【答案】證明見解析【解析】【分析】連結(jié)PB1，交CE于點(diǎn)D，連結(jié)DF，EP，CB1，根據(jù)中位線可得EPCB1，再由平行線分線段成比例可得FDA1P，由線面平行判定定理即可得證.【詳解】證明：連結(jié)PB1，交CE于點(diǎn)D，連結(jié)DF，EP，CB1， 因?yàn)镋，P分別為B1C1，CC1的中點(diǎn)，故EPCB1且EPCB1，故 ，又B1F2，A1B13，故，所以FDA1P，又FD平面EFC，A1P平面EFC，故A1P平面EFC.6.如圖，四棱錐中，E為PB的中點(diǎn)(1)求證：平面PAD；(2)過D點(diǎn)是否存在一個(gè)與PA，AB

48、相交，且與平面PBC平行的平面？若存在，指出交點(diǎn)位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由湖北省隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析(2)存在，交點(diǎn)為PA的中點(diǎn)和AB的中點(diǎn)，證明見解析【解析】【分析】（1）利用中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線從而得出平行關(guān)系，再根據(jù)題目中給出的相等關(guān)系，得出平行四邊形，從而可以證明平面DF，再根據(jù)線面平行的判定方法即可得出結(jié)論；（2）取中點(diǎn)后，證明四邊形CDHB為平行四邊形，從而利用平行四邊形證明，再利用中位線定理證明，從而利用面面平行的判定定理即可得出結(jié)論。(1)如圖，取PA的中點(diǎn)F，連接EF，DF，因?yàn)镋為PB的

49、中點(diǎn)，所以，又，所以，因此四邊形CDFE為平行四邊形，所以，又平面PAD，平面PAD，因此平面PAD(2)存在，交點(diǎn)為PA的中點(diǎn)F和AB的中點(diǎn)H，連接FH，DH，下面證明平面平面DFH由（1）得，又平面DFH，平面DFH，因此平面DFH，因?yàn)镕為PA的中點(diǎn)，H為AB的中點(diǎn)，所以，又平面DFH，平面DFH，因此平面DFH，又，因此平面平面DFH7.如圖，分別是空間四邊形的邊，的中點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且，四點(diǎn)共面.(1)求證：平面；(2)求證：.江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合線面平行的判定定理來證得結(jié)

50、論成立.（2）結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理來證得結(jié)論成立.(1)由于分別是的中點(diǎn)，所以,由于平面，平面，所以平面.(2)由于，平面，平面,所以平面，由于平面，平面平面,所以.8.如圖，已知是棱長為3的正方體，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，G在上，且.H是的中點(diǎn)(1)求證：B、E、F四點(diǎn)共面；(2)求證：平面平面.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】【分析】(1)在上取一點(diǎn)N使得，連接CN，EN，證明四邊形為平行四邊形即可證四點(diǎn)共面；(2)由(1)知，可得平面；取BG中點(diǎn)為I，連接，易證HGBF，由此可得，HG平面，從而可得結(jié)論(1)如圖：在上取一點(diǎn)N使得，連接CN，EN，則，則，又，四邊形是平行

51、四邊形，且同理四邊形DNEA是平行四邊形，且，又且，且，四邊形CNEB是平行四邊形，且，且，四邊形為平行四邊形，從而B、E、F四點(diǎn)共面；(2)由(1)知，平面，平面，平面，取BG中點(diǎn)為I，連接，則G是，H是，HG，且BI，BI，四邊形BI是平行四邊形，BF，BFHG，BF平面，HG平面，平面，由，且，HG平面，平面平面9.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為線段BC，PB，AD的中點(diǎn)(1)證明：平面PAC；(2)在線段BD上找一點(diǎn)H，使得平面PCG，并說明理由黑龍江省齊齊哈爾市第八中學(xué)校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.【解析】【分析】（1）