新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義專題22 立體幾何中的軌跡問(wèn)題（解析版）

1、專題22 立體幾何中的軌跡問(wèn)題 【題型歸納目錄】題型一：由動(dòng)點(diǎn)保持平行求軌跡題型二：由動(dòng)點(diǎn)保持垂直求軌跡題型三：由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或定長(zhǎng)）求軌跡題型四：由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡題型五：投影求軌跡題型六：翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡【典例例題】題型一：由動(dòng)點(diǎn)保持平行求軌跡例1（多選題）（2022廣東梅州高一期末）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A滿足MP/平面的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為B滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C存在點(diǎn)P，使得平面AMP經(jīng)過(guò)點(diǎn)BD存在點(diǎn)P滿足【答案】AD【解析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)知，所以平面平面，又平面，平面，故點(diǎn)的軌跡為線

2、段，故A正確；以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，且，對(duì)于B，即，又，則點(diǎn)的軌跡為線段，且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，且，若平面AMP經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則，且，又，所以，即，因此，從而，不合題意，所以不存在點(diǎn)P，使得平面AMP經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的為，三點(diǎn)共線時(shí)線段和最短，故，故存在點(diǎn)滿足，故D正確故選：AD例2（多選題）（2022重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，點(diǎn)M在棱PD上，且，點(diǎn)Q在底面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且面，則下列說(shuō)法正確的是（）A點(diǎn)Q的軌跡為線段B與CD所成角的范圍為C的最小值為D二面角的正切值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，取點(diǎn)

3、，使得，連接，如圖，由線段成比例可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，所以平面平面，故當(dāng)點(diǎn)時(shí)，總有面，所以點(diǎn)Q的軌跡為線段，故A正確；對(duì)于B，由知與CD所成角即為與NE所成角，在中，由余弦定理可得，由，可知，即運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，異面直線所成的角小于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，故C正確；對(duì)于D，二面角即平面與底面所成的銳角，連接相交于，連接，取點(diǎn)H，使得，連接MH，過(guò)H作于G，連接，如圖，由正四棱錐可知，面，由，知，由可得，面，又，平面，即為二面角的平面角，故D正確故選：ACD例3（多選題）（2022全國(guó)高一單元測(cè)試）已知正方體的邊長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，P為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面

4、，則下列結(jié)論正確的是（）AB平面C與所成角的余弦值為D動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為【答案】BCD【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，所以，由平面，得，即，化簡(jiǎn)可得：，所以動(dòng)點(diǎn)P在直線上，對(duì)于選項(xiàng)A：，所以與不垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：平面平面，所以平面，B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，C選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D：動(dòng)點(diǎn)P在直線上，且P為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，則P在線段上，所以，D選項(xiàng)正確；故選：BCD例4（多選題）（2022江蘇揚(yáng)州高一期末）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A平面截正方體所得截面面積為B點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為C存在點(diǎn)F，使得D平面

5、與平面所成二面角的正弦值為【答案】AC【解析】取CD中點(diǎn)G，連接BG、EG，則等腰梯形為截面，而，故梯形面積為，A正確；取中點(diǎn)M，中點(diǎn)N，連接，則，故四邊形為平行四邊形，則得，而平面，平面，故平面，同理平面，而，平面，故平面平面，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN，其長(zhǎng)度為，B錯(cuò)誤；取MN的中點(diǎn)F，則，C正確；因?yàn)槠矫嫫矫媲?，即為平面與平面所成二面角，D錯(cuò)誤故選：AC例5（2022湖南師大附中三模）已知棱長(zhǎng)為的正四面體，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且平面平面，則平面截點(diǎn)的軌跡所形成的圖形的周長(zhǎng)為_【答案】【解析】設(shè)的外心為，的中點(diǎn)為，過(guò)作的平行線，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，為等邊

6、三角形，設(shè)，由得：，整理可得：，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為球心，為半徑的球；延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則，又平面，平面，平面，平面，由，平面，平面平面，即平面為平面，則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到直線的距離，即，點(diǎn)到直線的距離，截面圓的半徑，球被平面截得的截面圓周長(zhǎng)為，即平面截點(diǎn)的軌跡所形成的圖形的周長(zhǎng)為故答案為：例6（2022山西太原五中高一階段練習(xí)）如圖，在正四棱錐中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持平面則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與組成的相關(guān)圖形最有可能是圖中的（）ABCD【答案】A【解析】分別取、的中點(diǎn)、，連接，又是的中點(diǎn)，又面，面，面，面，又，平面，面面，當(dāng)在上移動(dòng)時(shí)，面，此時(shí)能夠保持平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與組成

7、的相關(guān)圖形是選項(xiàng)A故選：A例7（2022安徽省宣城中學(xué)高二期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A2BCD【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：分別是棱的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面因?yàn)?，所以平面平面因?yàn)辄c(diǎn)為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，所以的軌跡為線段，則故選：B例8（2022河南安陽(yáng)高二期末（理）如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，下面說(shuō)法中正確的是_（將所有正確的序號(hào)都填上）存在一點(diǎn)，使得；

8、存在一點(diǎn)，使得；點(diǎn)的軌跡是一條直線；三棱錐的體積是定值【答案】【解析】如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則平面平面，所以點(diǎn)在線段GH上運(yùn)動(dòng)，即點(diǎn)的軌跡是線段GH，故錯(cuò)誤當(dāng)點(diǎn)F位于點(diǎn)時(shí)，故正確取AD的中點(diǎn)N，BC的中點(diǎn)，連接，則平面，設(shè)，則，所以存在一點(diǎn)使得，故錯(cuò)誤平面平面，所以點(diǎn)到平面的距離是定值，所以三棱錐的體積是定值，故正確故答案為：【方法技巧與總結(jié)】（1）線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡（2）平行時(shí)可利用法向量垂直關(guān)系求軌跡題型二：由動(dòng)點(diǎn)保持垂直求軌跡例9（2022湖北高一期末）直四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到底面的距離為_若為底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為_

9、【答案】 【解析】由點(diǎn)為的中點(diǎn)可得，點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面距離的一半，則點(diǎn)到平面的距離為，故點(diǎn)到平面的距離為；，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)以為球心，的長(zhǎng)為半徑的球與平面所截得的圓的半徑為，則，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡即為以正方形的中心為圓心，為半徑的圓留在正方形內(nèi)的圓弧，如圖，為中點(diǎn)，所以，所以，所以，點(diǎn)軌跡所形成的圓弧長(zhǎng)為故答案為：；例10（2022湖南雅禮中學(xué)二模）已知菱形的各邊長(zhǎng)為如圖所示，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，得到三棱錐，此時(shí)則三棱錐的體積為_，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在三棱錐的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持，則點(diǎn)的軌跡的周長(zhǎng)為_【答案】 【解析】取中點(diǎn)，則，平面，又，則三棱錐的高，三棱錐體積為；作，設(shè)點(diǎn)軌

10、跡所在平面為，則平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)且，設(shè)三棱錐外接球的球心為的中心分別為，易知平面平面，且四點(diǎn)共面，由題可得，解Rt，得，又，則三棱錐外接球半徑，易知到平面的距離，故平面截外接球所得截面圓的半徑為，截面圓的周長(zhǎng)為，即點(diǎn)軌跡的周長(zhǎng)為故答案為：；例11（2022四川雅安高一期末）點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為BC邊上中點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度為_【答案】【解析】如圖，正方體的內(nèi)切球的半徑，由題意，分別取、的中點(diǎn)、，連接、，在正方體中，且，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，可得，故，所以，、四點(diǎn)共面，則，所以，所以，則，平面，平面，平面，所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是平面截內(nèi)

11、切球的交線，取的中點(diǎn)，連接、，且，、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，易知點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，平面，平面，則，平面，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，則到平面的距離為，截面圓的半徑，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為截面圓的周長(zhǎng)故答案為：例12（多選題）（2022湖北孝感高二期末）如圖，已知正方體ABCD的棱長(zhǎng)為1，P為正方形底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A三棱錐-的體積為定值B存在點(diǎn)P，使得C若，則P點(diǎn)在正方形底面ABCD內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段ACD若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，過(guò)P，Q作平面垂直于平面，則平面截正方體的截面周長(zhǎng)為3【答案】ACD【解析】對(duì)于A，P為正方形底面

12、ABCD時(shí)，三棱錐的高不變，底面積也不變，所以體積為定值，所以A正確；對(duì)于B，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，；若，則，即，與題意矛盾，所以B不正確；對(duì)于C，由得，所以的軌跡就是線段，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以平面；因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?；以為參照線作出平面與正方體各個(gè)側(cè)面的交線，如圖，易知每個(gè)側(cè)面的交線均相等，長(zhǎng)度為，所以截面周長(zhǎng)為，所以D正確故選：ACD例13（多選題）（2022全國(guó)高二專題練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且總滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形的面積為5B點(diǎn)P的軌跡過(guò)棱上靠近的四等分點(diǎn)C點(diǎn)P的軌跡上有且僅有兩

13、個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為6D直線與直線MP所成角的余弦值的最大值為【答案】ACD【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)M作，在上取一點(diǎn)，使，連接，過(guò)點(diǎn)作，連接，易知，四點(diǎn)共面；又，面，即點(diǎn)的軌跡為矩形（不含點(diǎn)），設(shè)，則又解得，即，對(duì)于A，矩形的面積為：，A正確；對(duì)于B，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，到的距離范圍是：上存在一點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為6；在中，到的距離范圍是：上存在一點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為6；但在、中不存在到點(diǎn)C的距離為6的點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，直線與直線所成的最小角就是直線與平面所成的角，直線與平面所成的即是直線與平面所成的角，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則即是直線與平面所成的角，在中，D正確；故選：ACD例14（2022全國(guó)高一專題練習(xí)）在正

14、方體中，點(diǎn)P在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A線段B線段C中點(diǎn)與中點(diǎn)連成的線段D中點(diǎn)與中點(diǎn)連成的線段【答案】A【解析】連接，因?yàn)椋?，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，且，所以平面，平面，所以，且，所以平面，平面，所以，點(diǎn)的軌跡為面與面的交線，故選：A例15（2022河南許昌三模（文）如圖，在體積為3的三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，若點(diǎn)M是側(cè)面CBP內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度的最大值為（） A3B6CD【答案】A【解析】如圖所示：因?yàn)镻A，PB，PC兩兩垂直，所以平面，即有，而，所以平面，即，故點(diǎn)的軌跡為斜邊上的高線因?yàn)槿忮FP-ABC的體積為，所以，即

15、，由等積法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故選：A例16（2022浙江杭州市富陽(yáng)區(qū)場(chǎng)口中學(xué)高二期末）如圖，在直三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，N為棱上的中點(diǎn)，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)N作平面ABM的垂線段，垂足為點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)O的軌跡長(zhǎng)度為（）ABCD【答案】B【解析】取AB中點(diǎn)P，連接PC，C1N，如圖，因?yàn)镻CAB，PNAB，且PNPC=P，所以AB平面，AB平面ABM，所以平面ABM平面，平面ABM平面=PM，過(guò)N作NOPM，NO平面，所以NO平面ABM，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C1時(shí)，點(diǎn)是以PN為直徑的圓（部分），如圖，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到最高點(diǎn)，此時(shí)，所以，從而，所以弧長(zhǎng)，即點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)

16、度為故選：B例17（2022浙江高二階段練習(xí)）已知正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為，交于點(diǎn)，平面，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在該棱錐的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，并且，則點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為（）A1BCD2【答案】B【解析】取的中點(diǎn)分別為，連接，則，又平面，平面，又，平面，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在該棱錐的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，并且，故點(diǎn)軌跡為折線，由題可知，故點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為故選：B例18（2022云南昆明一中高三階段練習(xí)（理）已知四面體，二面角為，為棱中點(diǎn)，為四面體表面上一動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為_【答案】【解析】取中點(diǎn)，易得，所以平面，則是二面角的平面角，即，又，則，分別取，中點(diǎn)，所以，面，面，故面，又，同理：面，而，面，所以面面，則平面，因?yàn)闉樗拿骟w表面

17、上一動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，所以點(diǎn)軌跡是，其長(zhǎng)度為故答案為：【方法技巧與總結(jié)】（1）可利用線線線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡（2）利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡（3）利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡題型三：由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或定長(zhǎng)）求軌跡例19（2022四川成都高二期中（理）如圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDABCD，M是正方形BBCC的中心，P是ACD內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足PM=PD，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為_【答案】【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量則有，令，則則設(shè)，則，則又PM=PD，則整理得：聯(lián)立方程，則可得，可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在空間中，滿足PM=PD的P為過(guò)MD的中點(diǎn)且與MD垂直的平

18、面兩個(gè)平面的公共部分為直線，即點(diǎn)P的軌跡為平面ACD，則故答案為：例20（多選題）（2022山東模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是其側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A存在點(diǎn)P，M，使得平面與平面平行B存在點(diǎn)P，M，使得二面角大小為C當(dāng)P為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為D當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)M為中點(diǎn)，P為中點(diǎn)時(shí)，易得，又平面，平面，則平面，同理可得平面，又，則平面與平面平行，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫妫矫?，則，又，可知二面角的平面角為，顯然其范圍為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，取中點(diǎn)E

19、，連接，則平面，則，則點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡為以E為圓心半徑為2的劣弧，分別交于，則，則，劣弧的長(zhǎng)為故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，易知為等腰直角三角形，又平面，則，又平面，則平面，則，又，可知四棱錐外接球的球心即為的中點(diǎn)，所以四棱錐外接球的半徑為，設(shè)四棱錐外接球的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為x，將四面體拓展成正方體，其中正四面體棱為正方體的面對(duì)角線，故正方體的棱長(zhǎng)為，正方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，所以，得，所以正四面體的表面積為，所以D正確故選：ACD例21（多選題）（2022福建莆田二中模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q，R在底面四邊形ABCD內(nèi)（包括邊界），平面，點(diǎn)R到平

20、面的距離等于它到點(diǎn)D的距離，則（）A點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為B點(diǎn)Q的軌跡的長(zhǎng)度為CPQ長(zhǎng)度的最小值為DPR長(zhǎng)度的最小值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，取BC的中點(diǎn)N，連接AN，則，所以平面，平面，又平面，平面，所以平面平面，又點(diǎn)P在底面四邊形ABCD內(nèi)（包括邊界），平面，所以點(diǎn)P的軌跡為線段AN，因?yàn)?，所以點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為，故A不正確；對(duì)于B，連接DQ，因?yàn)镼在底面ABCD上，所以，解得，所以點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)D為圓心，以為半徑的圓，如下圖所示，所以點(diǎn)Q的軌跡的長(zhǎng)度為，故B正確；對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)D作于，交點(diǎn)Q的軌跡于，此時(shí)的長(zhǎng)度就是PQ長(zhǎng)度的最小值，而，所以，所以，即，解得，所以，所以PQ長(zhǎng)度的最小值為

21、，故C正確；，對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)R到平面的距離等于它到點(diǎn)D的距離，由正方體的特點(diǎn)得點(diǎn)R到直線的距離等于點(diǎn)R到平面的距離，所以點(diǎn)R到直線的距離等于它到點(diǎn)D的距離，根據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)R的軌跡是以點(diǎn)D為焦點(diǎn)，以AB為準(zhǔn)線的拋物線，以AD的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O且垂直于AD的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示，則，直線AB的方程為，直線AN的方程為，則拋物線的方程為，設(shè)與直線AN平行且與拋物線相切的直線l的方程為：，聯(lián)立，整理得，解得，所以直線l的方程為：，則直線AN與直線l的距離為：，所以PR長(zhǎng)度的最小值為，故D正確，故選：BCD例22（2022江西模擬預(yù)測(cè)（理）已知正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)P在的

22、內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）A B C D 【答案】A【解析】連接、，則，平面，同理，平面設(shè)，連接BE交于O，由BOD且BD=可知OD=，則，連接OP，則，可得點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部及其邊界上的部分，OB=2OE，E為中點(diǎn)，及為等邊三角形可知O為中心，OE=，如圖：，則OFE=，OF，同理易知OG，故四邊形是菱形，則的長(zhǎng)度為，故點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為故選：A例23（多選題）（2022遼寧高一期末）如圖，正方體棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是其側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A存在點(diǎn)P，M，使得平面與平面PBD平行 B當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的平面截該

23、正方體所得的截面是梯形C過(guò)點(diǎn)A，P，M的平面截該正方體所得的截面圖形不可能為五邊形D當(dāng)P為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)M為中點(diǎn)，P為中點(diǎn)時(shí)，連接、，又平面PBD，平面PBD，則平面PBD，又平面PBD，平面PBD，則平面PBD，又，則平面平面PBD故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取BC中點(diǎn)N，連接則，則，又則為梯形則梯形為截面，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)M為中點(diǎn)，P為中點(diǎn)時(shí)，在上取點(diǎn)Q，使，在上取點(diǎn)T，使連接、，則，則四邊形為平行四邊形，則在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)M作，交于N，則連接，則則五邊形為過(guò)點(diǎn)A，P，M的平面截該正方體所得的截面故C判斷錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，取中點(diǎn)E，連接P

24、E，ME，PM，則平面，則，則點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡為以E為圓心半徑為2的劣弧，分別交AD、于、，則，則，劣弧的長(zhǎng)為故D正確故選：ABD例24（2022河南安陽(yáng)模擬預(yù)測(cè)（文）在四邊形ABCD中，P為空間中的動(dòng)點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度為（）ABCD【答案】D【解析】如圖，作的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，故四邊形為平行四邊形，則有，且，則有點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度與點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度相同，過(guò)點(diǎn)作于，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心長(zhǎng)為半徑的圓，且，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為故選：D例25（2022四川達(dá)州高二期末（理）正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在正方體內(nèi)部及表面上運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則AP與所成

25、角的范圍為B若點(diǎn)P在矩形內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，則AP與平面所成角的取值范圍是C若點(diǎn)P在內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，則AP的最小值為D若點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P軌跡的面積為【答案】B【解析】連接，則為等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，AP與所成角最小為，當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，AP與所成角最大為，故A對(duì)連接交于，故，則平面，故當(dāng)與重合時(shí)，AP與平面所成角最大為，當(dāng)與重合時(shí)，此時(shí)長(zhǎng)度最大，此時(shí)AP與平面所成角最小，最小角為，故AP與平面所成角的取值范圍是，故B錯(cuò)誤四面體是正四面體，棱長(zhǎng)為，等邊的中線長(zhǎng)為，故四面體的高為，當(dāng)平面時(shí)，此時(shí)的最小值為故C對(duì)點(diǎn)P滿足時(shí)，此時(shí)在以為球心，半徑為1的球面上，又因?yàn)辄c(diǎn)P在正方體內(nèi)部及表面上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)

26、在的球面上運(yùn)動(dòng)，故面積為，故D對(duì)故選：B例26（2022江西省樂(lè)平中學(xué)高一期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為，過(guò)頂點(diǎn)的平面為，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度等于（）ABCD【答案】B【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以點(diǎn)到平面的距離，設(shè)點(diǎn)在平面的射影為，即，又，所以，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其內(nèi)切圓半徑為，所以為以為圓心，半徑的圓上，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為；故選：B【方法技巧與總結(jié)】（1）距離，可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定義等知識(shí)求解軌跡（2）利用空間坐標(biāo)計(jì)算求軌跡題型四：由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡例27（2022福建三明一中模

27、擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，點(diǎn)E為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點(diǎn)E的軌跡所圍成的面積為_【答案】【解析】如圖所示，連接交平面于，連接，由題意可知平面，所以是與平面所成的角，所以由可得，即在四面體中，所以四面體為正三棱錐，為的重心，如圖所示：所以解得，又因?yàn)椋?，即在平面?nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓，所以故答案為：例28（多選題）（2022云南昭通市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）（多選）如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是正方體的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為B若保持，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為C三棱錐的體積最大值為D若點(diǎn)滿

28、足，則點(diǎn)的軌跡為線段【答案】BD【解析】對(duì)于A，將側(cè)面和側(cè)面沿棱展開，可得展開圖如下圖所示，此時(shí)從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為；將底面和側(cè)面沿棱展開，可得展開圖如下圖所示，此時(shí)從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為；，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，又平面，平面，即為在平面內(nèi)的投影；，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是以為圓心，為半徑的圓與側(cè)面的交線，即，如下圖所示，的長(zhǎng)度為，即點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為，B正確；對(duì)于C，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即當(dāng)最大時(shí)，最大；當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，作，垂足分別為，平面，平面，；設(shè)，則，又，整理可得：，即，即，則為滿足的線段上的點(diǎn)，

29、即點(diǎn)的軌跡為線段，D正確故選：BD例29（多選題）（2022福建廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD中，E為側(cè)面的中心，F(xiàn)是棱的中點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，N為ABCD所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A的最小值為B若，則平面PAC截正方體所得截面的面積為C若與AB所成的角為，則N點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分D若正方體繞旋轉(zhuǎn)角度后與其自身重合，則的最小值是【答案】BCD【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，正方體棱長(zhǎng)為1，則，對(duì)于A，設(shè)，所以，所以時(shí)，A不正確；對(duì)于B，則是上靠近的三等分點(diǎn)，取上靠近的三等分點(diǎn)，則，顯然與平面的法向量垂直，因此平面，所以截面與平面的交線

30、與平行，作交于點(diǎn)，設(shè)，則，由得，解得，則與重合，因此取中點(diǎn)，易得，截面為，它是等腰梯形，梯形的高為，截面面積為，B正確；對(duì)于C，若與AB所成的角為，則有，兩邊平方化簡(jiǎn)整理有，C正確；對(duì)于D，同理，所以是平面的一個(gè)法向量，即平面，設(shè)垂足為，則，是正方體的外接球的直徑，因此正方體繞旋轉(zhuǎn)角度后與其自身重合，至少旋轉(zhuǎn)D正確故選：BCD例30（2022福建省福州第一中學(xué)三模）在三棱錐中，平面，則三棱錐外接球的表面積為_；若動(dòng)點(diǎn)M在該三棱錐外接球上，且，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)為_【答案】 【解析】由平面，得，三棱錐為直三棱錐，其外接球相當(dāng)于以為棱的長(zhǎng)方體的外接球，故外接球半徑為，故三棱錐外接球的表面積為；如圖，中

31、點(diǎn)為F，則易得以為棱的正方體，由正方體的對(duì)稱性，要使，則M在的角平分面上，即面，故M的軌跡為面與外接球相交出的圓取AP、HE中點(diǎn)I、J，由正方體的對(duì)稱性易得面面，且，故，故IJ上的高，故M的軌跡圓的半徑，故軌跡長(zhǎng)為故答案為：；例31（2022江西景德鎮(zhèn)一中高一期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，空間一動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則_，點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形的面積為_【答案】 【解析】由正方體知平面，又點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，由對(duì)稱性，所以，解得所以所以點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，所以面積故答案為：；例32（多選題）（2022福建龍巖高二期末）若正方體的棱長(zhǎng)為1，且，

32、其中，則下列結(jié)論正確的是（）A當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C當(dāng)時(shí)，的最小值為D若，點(diǎn)P的軌跡為一段圓弧【答案】AC【解析】因?yàn)?，其中，所以點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，對(duì)于A：取AD中點(diǎn)E、中點(diǎn)F，連接EF，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，?dāng)時(shí)，則，所以點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槠矫?，所以無(wú)論點(diǎn)P在EF任何位置，P到平面的距離不變，即高不變，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B：取中點(diǎn)G，中點(diǎn)H，連接GH，當(dāng)時(shí)，所以點(diǎn)P在GH上運(yùn)動(dòng)，假設(shè)平面，又，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，與已知矛盾，故假設(shè)不成立，所以GH不平行平面，所以P在GH上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P到平面的距離在變化

33、，所以三棱錐的體積不是定值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：連接，當(dāng)時(shí)，可得三點(diǎn)共線，將沿翻折至與平面共面，如下圖所示連接AB，當(dāng)P為AB與交點(diǎn)時(shí)，最小，即為AB，因?yàn)榫鶠槊鎸?duì)角線，所以，即為等邊三角形，又，所以，所以在中，由正弦定理得，所以，故C正確；對(duì)于D：分別以DA、DC、為x，y，z軸正方向建系，如圖所示，則，設(shè)，所以，所以因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以，所以，整理得，所以，即，所以P點(diǎn)軌跡為線段，故D錯(cuò)誤故選：AC例33（多選題）（2022江蘇鹽城高二期末）在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)M是棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則（）A直線MP與直線所成角的最大值為90B若，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分C不存

34、在點(diǎn)P，使得平面D若平面與平面ABCD和平面與平面所成的銳二面角相等，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，取中點(diǎn)，易得，則平面，又，平面，則直線MP與直線為異面直線，則直線MP與直線所成角的范圍為，平面，又在上時(shí)，平面，則，此時(shí)直線MP與直線所成角為90，則直線MP與直線所成角的最大值為90，A正確；對(duì)于B，滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為軸，半頂角為的圓錐面，又軸平面，則圓錐面與平面的交線為雙曲線的一部分，即點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一部分，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得，設(shè)，其中，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，要使平面，則，即，又，顯然無(wú)解，即不存在點(diǎn)P，使得平

35、面，故C正確；對(duì)于D，由C選項(xiàng)知，平面的法向量，易得平面ABCD的法向量為，平面的法向量為，由銳二面角相等，可得，化簡(jiǎn)得，即（舍去）或；畫出平面的平面圖，易得與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，則，即點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，D正確故選：ACD例34（多選題）（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）在三棱錐中，二面角的大小為，點(diǎn)M為側(cè)面PAB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M到直線PA的距離為，點(diǎn)M到平面ABC的距離為，若，則（）AB點(diǎn)M到直線AB的距離等于C點(diǎn)M的軌跡為一段圓弧D點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為【答案】AD【解析】在中，因?yàn)?，由余弦定理得，故A正確過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線，垂足為G，作平面ABC的垂線，垂足為H，過(guò)點(diǎn)M作PA的垂線，垂足為N，連接H

36、G因?yàn)槎娼堑拇笮椋?，所以，又因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤，點(diǎn)的軌跡是的角平分線，故C錯(cuò)誤，設(shè)的角平分線為AQ，在中，由余弦定理得，由角平分線定理得，又因?yàn)椋瑒t，在中，所以，所以點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為，所以D正確故選：AD例35（多選題）（2022湖北宜昌市一中高一階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為1的正方體中的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（）A存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)滿足B當(dāng)點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為C在線段上存在點(diǎn)，使異面直線與所成的角是D滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是【答案】AD【解析】對(duì)A，若M在上，此時(shí)必有，證明如下：平面，所以，又，所以平面，所以，所以A正確；對(duì)B，如圖旋轉(zhuǎn)面使之與面共面，連接交于，

37、此時(shí)最短為，大小為，故B錯(cuò)誤，對(duì)C，當(dāng)在和交點(diǎn)處時(shí)，此時(shí)直線與所成的角即直線與所成角，此時(shí)此異面直線所成角最小，其正切值為，即最小角大于，故不存在，即C錯(cuò)誤，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，由面，面，則，所以有，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓弧，從而動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為，所以D正確故選：A D例36（多選題）（2022山東聊城三模）在直四棱柱中，所有棱長(zhǎng)均2，P為的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在四邊形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中正確的是（）A當(dāng)點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積為定值B若平面，則AQ的最小值為C若的外心為M，則為定值2D若，則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，又因?yàn)槊?，面，所以面，所以直線

38、到平面的距離相等，又的面積為定值，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)分別為，連接，則易證明：，面，面，所以面，又因?yàn)?，面，面，所以面，所以平面面，面，所以平面?dāng)時(shí)，AQ有最小值，則易求出，所以重合，所以則AQ的最小值為，故B正確；對(duì)于C，若的外心為M，過(guò)作于點(diǎn)，則故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過(guò)作于點(diǎn)，易知平面，在上取點(diǎn)，使得，則，所以若，則在以為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，又因?yàn)樗?，則圓弧等于，故D正確故選：ABD例37（2022廣東茂名模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，平面，點(diǎn)M是矩形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且，直線與平面所成的角為記點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為，則（）AB1CD2【答案】C【解析】因?yàn)槠矫?，所以即為直線與平面所成的角

39、，所以，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)位于矩形內(nèi)的以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，則點(diǎn)的軌跡為圓弧連接，則，因?yàn)?，所以，則弧的長(zhǎng)度，所以故選：C【方法技巧與總結(jié)】（1）直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面（2）直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面（3）利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡題型五：投影求軌跡例38（2022山東日照三模）如圖所示，二面角的平面角的大小為，是上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，滿足與平面所成的角為，且點(diǎn)在平面上的射影在的內(nèi)部（包括邊界），則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度等于_【答案】【解析】如圖所示：因?yàn)榕c平面所成的角為30，點(diǎn)在平面上的射影，所以，所以的軌跡為直角三角形繞斜邊旋轉(zhuǎn)所形成的軌跡，在直角中，作，垂足為，因?yàn)椋傻?，即點(diǎn)的

40、軌跡為以為圓心，以為半徑的圓弧，又因?yàn)槎娼堑钠矫娼堑拇笮?，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度等于故答案為：例39（2022云南師大附中高二期中）1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家Dandelin利用圓錐曲線的兩個(gè)內(nèi)切球，證明了用一個(gè)平面去截圓錐，可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性在生活中，有一個(gè)常見(jiàn)的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會(huì)形成橢圓這是由于光線形成的圓錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面如圖，在地面的某個(gè)占正上方有一個(gè)點(diǎn)光源，將小球放置在地面，使得與小球相切若，小球半徑為2，則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（）ABCD【答案】A【解析】在中，設(shè)

41、，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則離心率故選：A例40（2022河南一模（理）橢圓是日常生活中常見(jiàn)的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個(gè)角度，水面的邊界即是橢圓現(xiàn)有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略不計(jì)），在玻璃杯傾斜的過(guò)程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定此時(shí)橢圓的離心率，進(jìn)而確定離心率的取值范圍【詳解】當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大此

42、時(shí)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為6，所以橢圓離心率，所以故選：C例41（2022重慶市第十一中學(xué)校高三階段練習(xí)）參加數(shù)學(xué)興趣小組的小何同學(xué)在打籃球時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時(shí)，籃球的斜上方燈泡照過(guò)來(lái)的光線使得籃球在地面上留下的影子有點(diǎn)像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過(guò)的橢圓，但他自己還是不太確定這個(gè)想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒(méi)有問(wèn)題的，而且通過(guò)學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）就是影子橢圓的焦點(diǎn)他在家里做了個(gè)探究實(shí)驗(yàn)：如圖所示，桌面上有一個(gè)籃球，若籃球的半徑為個(gè)單位長(zhǎng)度，在球的右上方有一個(gè)燈泡（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)），燈泡與桌面的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡垂直照射在平面的點(diǎn)為，影子橢圓的右頂點(diǎn)到點(diǎn)的

43、距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，則這個(gè)影子橢圓的離心率_【答案】【解析】以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，直線PR的方程為設(shè)，由到直線PR的距離為1，得，解之得或（舍）則，又設(shè)直線PN的方程為由到直線PN的距離為1，得，整理得則，又，故則直線PN的方程為，故，由，解得，故橢圓的離心率故答案為：例42（2022江西南昌二模（理）通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)光源P斜照射球，在底面上形成的投影是橢圓，且球與底面相切于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)（如圖所示），如圖是底面邊長(zhǎng)為2高為3的正四棱柱，一實(shí)心小球與正四棱柱的下底面及四個(gè)側(cè)面均相切，若點(diǎn)光源P位于的中點(diǎn)處時(shí)，則在平面上的投影形成的橢圓的離心率是_【答案】【解析】從P作于M點(diǎn)，在平面內(nèi)

44、作球的切線，交平面于N點(diǎn)，則在平面內(nèi)形成的圖形如圖所示：底面邊長(zhǎng)為2高為3的正四棱柱，實(shí)心小球與正四棱柱的下底面及四個(gè)側(cè)面均相切，則，故，則，根據(jù)題目條件知，是橢圓焦點(diǎn)，MN是長(zhǎng)軸，即，則，離心率故答案為：例43（2022吉林東北師大附中模擬預(yù)測(cè)（理）如圖，已知水平地面上有一半徑為4的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓O如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點(diǎn)為E，若光線與地面所成角為，橢圓的離心率_【答案】【解析】連接，因?yàn)椋?，所以，在照射過(guò)程中，橢圓的短半軸長(zhǎng)是球的半徑，即，如圖，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，過(guò)點(diǎn)向作垂線，垂足為，由題意得，因?yàn)?，所以，所以，得，所以橢圓的離心率為，故答案為：【方法技巧與總結(jié)】（1）球的非正投影，可能是橢圓面（2）多面體的投影，多為多邊形題型六：