2020年北京市中考數(shù)學試卷（解析版）

第22頁（共22頁）2020年北京市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是A．圓柱 B．圓椎 C．三棱柱 D．長方體【分析】根據(jù)三視圖可得到所求的幾何體是柱體，可得幾何體的名稱．【解答】解：該幾何體是長方體，故選：．【點評】考查由三視圖判斷幾何體；用到的知識點為：若三視圖里有兩個是長方形，那么該幾何體是柱體2．（2分）2020年6月23日，北斗三號最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星從西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，6月30日成功定點于距離地球36000公里的地球同步軌道．將36000用科學記數(shù)法表示應(yīng)為A． B． C． D．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．【解答】解：，故選：．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．3．（2分）如圖，和相交于點，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)對頂角定義和外角的性質(zhì)逐個判斷即可．【解答】解：．和是對頂角，，故正確；．，，故錯誤；．，故③錯誤；．，；故錯誤；故選：．【點評】本題主要考查了對頂角的定義和外角的性質(zhì)，能熟記對頂角的定義是解此題的關(guān)鍵．4．（2分）下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意；、既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，符合題意．故選：．【點評】本題考查中心對稱圖形和軸對稱圖形的知識，關(guān)鍵是掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)后與原圖重合．5．（2分）正五邊形的外角和為A． B． C． D．【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于，即可求解．【解答】解：任意多邊形的外角和都是，故正五邊形的外角和的度數(shù)為．故選：．【點評】本題主要考查多邊形的外角和定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握任意多邊形的外角和都是．6．（2分）實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，若實數(shù)滿足，則的值可以是A．2 B． C． D．【分析】先判斷的范圍，再確定符合條件的數(shù)即可．【解答】解：因為，所以，因為，所以只能是．故選：．【點評】本題考查了數(shù)軸上的點和實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸上的點確定數(shù)的范圍．7．（2分）不透明的袋子中有兩個小球，上面分別寫著數(shù)字“1”，“2”，除數(shù)字外兩個小球無其他差別．從中隨機摸出一個小球，記錄其數(shù)字，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，記錄其數(shù)字，那么兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率是A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結(jié)果與兩次記錄的數(shù)字之和為3的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：列表如下：12123234由表可知，共有4種等可能結(jié)果，其中兩次記錄的數(shù)字之和為3的有2種結(jié)果，所以兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率為，故選：．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．8．（2分）有一個裝有水的容器，如圖所示，容器內(nèi)的水面高度是，現(xiàn)向容器內(nèi)注水，并同時開始計時，在注水過程中，水面高度以每秒的速度勻速增加，則容器注滿水之前，容器內(nèi)的水面高度與對應(yīng)的注水時間滿足的函數(shù)關(guān)系是A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系 C．二次函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系【分析】根據(jù)題意可得容器注滿水之前，容器內(nèi)的水面高度與對應(yīng)的注水時間滿足的函數(shù)關(guān)系式，進而判斷出相應(yīng)函數(shù)類型．【解答】解：設(shè)容器內(nèi)的水面高度為，注水時間為，根據(jù)題意得：，容器注滿水之前，容器內(nèi)的水面高度與對應(yīng)的注水時間滿足的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系．故選：．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，觀察圖象提供的信息，再分析高度、時間和容積的關(guān)系即可找到解題關(guān)鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是．【分析】直接利用分式有意義的條件分析得出答案．【解答】解：若代數(shù)式有意義，則，解得：．故答案為：．【點評】此題主要考查了分式有意義的條件，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．10．（2分）已知關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是1．【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出值．【解答】解：關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，△，解得：．故答案為：1．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當△時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．11．（2分）寫出一個比大且比小的整數(shù)2或3（答案不唯一）．【分析】先估算出和的大小，再找出符合條件的整數(shù)即可．【解答】解：，，比大且比小的整數(shù)2或3（答案不唯一）．故答案為：2或3（答案不唯一）．【點評】本題主要考查了估算無理數(shù)的大小，根據(jù)題意估算出和的大小是解答此題的關(guān)鍵．12．（2分）方程組的解為．【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】解：，①②得：，解得：，把代入①得：，則方程組的解為．故答案為：．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．13．（2分）在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于，兩點．若點，的縱坐標分別為，，則的值為0．【分析】聯(lián)立方程組，可求，的值，即可求解．【解答】解：直線與雙曲線交于，兩點，聯(lián)立方程組得：，解得：，，，故答案為：0．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，掌握函數(shù)圖象上點的坐標滿足圖象的解析式是本題的關(guān)鍵．14．（2分）如圖，在中，，點在上（不與點，重合）．只需添加一個條件即可證明，這個條件可以是（寫出一個即可）．【分析】由題意可得，，即添加一組邊對應(yīng)相等，可證與全等．【解答】解：，，添加，在與中，，故答案為：．【點評】本題考查了全等三角形的判定，靈活運用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．15．（2分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，，，，是網(wǎng)格線交點，則的面積與的面積的大小關(guān)系為：（填“”，“”或“”．【分析】分別求出的面積和的面積，即可求解．【解答】解：，，，故答案為：．【點評】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是本題的關(guān)鍵．16．（2分）如圖是某劇場第一排座位分布圖．甲、乙、丙、丁四人購票，所購票數(shù)分別為2，3，4，5．每人選座購票時，只購買第一排的座位相鄰的票，同時使自己所選的座位號之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后順序購票，那么甲購買1，2號座位的票，乙購買3，5，7號座位的票，丙選座購票后，丁無法購買到第一排座位的票．若丙第一個購票，要使其他三人都能購買到第一排座位的票，寫出一種滿足條件的購票的先后順序丙、丁、甲、乙．【分析】先判斷出丙購買票之后，剩余3號左邊有6個座位，4號右邊有5個座位，進而得出甲、乙購買的票只要在丙的同側(cè)，四個人購買的票全在第一排，即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意，丙第一個購票，只能購買3，1，2，4號票，此時，3號左邊有6個座位，4號右邊有5個座位，即甲、乙購買的票只要在丙的同側(cè)，四個人購買的票全在第一排，①第二個丁可以購買3號左邊的5個座位，另一側(cè)的座位甲和乙購買，即丙，1，2，、丁，7，9，11，、甲、乙或丙，1，2，、丁，7，9，11，、乙、甲；②第二個由甲或乙購買，此時，只能購買5，7號票，第三個購買的只能是丁，且只能購買6，8，10，12，14號票，此時，四個人購買的票全在第一排，即丙，1，2，、甲、丁，8，10，12，、乙或丙，1，2，、乙、丁，8，10，12，、甲，因此，第一個是丙購買票，丁只要不是最后一個購買票的人，都能使四個人購買的票全在第一排，故答案為：丙、丁、甲、乙．【點評】此題主要考查了推理與論證，判斷出甲、乙購買的票在丙的同側(cè)是解本題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共68分，第17-20題，每小題5分，第21題6分，第22題5分，第23-24題，每小題5分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（5分）計算：．【分析】直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值分別化簡得出答案．【解答】解：原式．【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．18．（5分）解不等式組：【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．19．（5分）已知，求代數(shù)式的值．【分析】直接利用乘法公式以及單項式乘多項式運算法則化簡進而把已知代入得出答案．【解答】解：，，，原式．【點評】此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．20．（5分）已知：如圖，為銳角三角形，，．求作：線段，使得點在直線上，且．作法：①以點為圓心，長為半徑畫圓，交直線于，兩點；②連接．線段就是所求作的線段．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：，．，點在上．又點，都在上，（填推理的依據(jù)）．．【分析】（1）根據(jù)作法即可補全圖形；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和同弧所對圓周角等于圓心角的一半即可完成下面的證明．【解答】解：（1）如圖，即為補全的圖形；（2）證明：，．，點在上．又點，都在上，（同弧所對的圓周角等于圓心角的一半），．故答案為：，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．【點評】本題考查了作圖復(fù)雜作圖、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識．21．（6分）如圖，菱形的對角線，相交于點，是的中點，點，在上，，．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，求和的長．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，得到，推出，求得四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，得到；由（1）知，四邊形是矩形，求得，根據(jù)勾股定理得到，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）四邊形是菱形，，，是的中點，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是矩形；（2）四邊形是菱形，，，，是的中點，；由（1）知，四邊形是矩形，，，，，．【點評】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．22．（5分）在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象平移得到，且經(jīng)過點．（1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）當時，對于的每一個值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．【分析】（1）先根據(jù)直線平移時的值不變得出，再將點代入，求出的值，即可得到一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)點結(jié)合圖象即可求得．【解答】解：（1）一次函數(shù)的圖象由直線平移得到，，將點代入，得，解得，一次函數(shù)的解析式為；（2）把點代入求得，當時，對于的每一個值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．23．（6分）如圖，為的直徑，為延長線上一點，是的切線，為切點，于點，交于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，等量代換即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形中位線定理得到，設(shè)，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）連接，為的直徑，，，，，，是的切線，為切點，，，，，，；（2），，，，，設(shè)，，，，，，，，，．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（6分）小云在學習過程中遇到一個函數(shù)．下面是小云對其探究的過程，請補充完整：（1）當時，對于函數(shù)，即，當時，隨的增大而減小，且；對于函數(shù)，當時，隨的增大而，且；結(jié)合上述分析，進一步探究發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)，當時，隨的增大而．（2）當時，對于函數(shù)，當時，與的幾組對應(yīng)值如下表：012301結(jié)合上表，進一步探究發(fā)現(xiàn)，當時，隨的增大而增大．在平面直角坐標系中，畫出當時的函數(shù)的圖象．（3）過點，作平行于軸的直線，結(jié)合（1）（2）的分析，解決問題：若直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，則的最大值是．【分析】（1）利用一次函數(shù)或二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．（2）利用描點法畫出函數(shù)圖象即可．（3）觀察圖象可知，時，的值最大．【解答】解：（1）當時，對于函數(shù)，即，當時，隨的增大而減小，且；對于函數(shù)，當時，隨的增大而減小，且；結(jié)合上述分析，進一步探究發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)，當時，隨的增大而減小．故答案為：減小，減小，減?。?）函數(shù)圖象如圖所示：（3）直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，觀察圖象可知，時，的值最大，最大值，故答案為【點評】本題考查二次函數(shù)與不等式，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．25．（5分）小云統(tǒng)計了自己所住小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量（單位：千克），相關(guān)信息如下：．小云所住小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量統(tǒng)計圖：．小云所住小區(qū)5月1日至30日分時段的廚余垃圾分出量的平均數(shù)如下：時段1日至10日11日至20日21日至30日平均數(shù)100170250（1）該小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量的平均數(shù)約為173（結(jié)果取整數(shù)）；（2）已知該小區(qū)4月的廚余垃圾分出量的平均數(shù)為60，則該小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量的平均數(shù)約為4月的倍（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（3）記該小區(qū)5月1日至10日的廚余垃圾分出量的方差為，5月11日至20日的廚余垃圾分出量的方差為，5月21日至30日的廚余垃圾分出量的方差為．直接寫出，，的大小關(guān)系．【分析】（1）結(jié)合表格，利用加權(quán)平均數(shù)的定義列式計算可得；（2）結(jié)合以上所求結(jié)果計算即可得出答案；（3）由圖知第1個10天的分出量最分散、第3個10天分出量最為集中，根據(jù)方差的意義可得答案．【解答】解：（1）該小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量的平均數(shù)約為（千克），故答案為：173；（2）該小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量的平均數(shù)約為4月的（倍，故答案為：2.9；（3）由小云所住小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量統(tǒng)計圖知，第1個10天的分出量最分散、第3個10天分出量最為集中，．【點評】本題主要考查方差和加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握方差的意義和加權(quán)平均數(shù)的定義．26．（6分）在平面直角坐標系中，，，，為拋物線上任意兩點，其中．（1）若拋物線的對稱軸為，當，為何值時，；（2）設(shè)拋物線的對稱軸為，若對于，都有，求的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性解決問題即可．（2）由題意點，，，的中垂線與的交點的坐標大于，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：（1）由題意，，對稱軸，，關(guān)于對稱，，，時，．（2）拋物線的對稱軸為，若對于，都有，．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的對稱性等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．27．（7分）在中，，，是的中點．為直線上一動點，連接．過點作，交直線于點，連接．（1）如圖1，當是線段的中點時，設(shè)，，求的長（用含，的式子表示）；（2）當點在線段的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）由三角形的中位線定理得，，進而證明四邊形是矩形得，得出，再根據(jù)勾股定理得結(jié)果；（2）過點作，與的延長線交于點，連接，證明得，，由垂直平分線的判定定理得，進而根據(jù)勾股定理得結(jié)論．【解答】解：（1）是的中點，是線段的中點，，，，，，，四邊形是矩形，，，，；（2）．證明：過點作，與的延長線交于點，連接，則，，點是的中點，，在和中，，，，，，，，．【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂直平分