統(tǒng)計量及其抽樣分布

第6章統(tǒng)計量及其抽樣分布統(tǒng)計學(xué)§6.1統(tǒng)計量§6.2關(guān)于分布布的幾個個概念§6.3由正態(tài)分分布導(dǎo)出出的幾個個重要分分布§6.4樣樣本均均值的分分布與中中心極限限定理§6.5樣樣本比比例的抽抽樣分布布§6.6兩兩個樣樣本平均均值之差差的分布§6.7關(guān)關(guān)于樣樣本方差差的分布布第6章章統(tǒng)統(tǒng)計計量及其其抽樣分分布§6.1統(tǒng)計量6.1..1統(tǒng)統(tǒng)計量量的概念念6.1..2常常用統(tǒng)統(tǒng)計量6.1..3次次序統(tǒng)統(tǒng)計量6.1..4充充分統(tǒng)統(tǒng)計量6.1..1統(tǒng)計量的的概念在實際應(yīng)應(yīng)用中，，當(dāng)我們們從總體體中抽取取一個樣樣本后，并不能直接應(yīng)用它去對總體的有有關(guān)性質(zhì)質(zhì)和特征征進行推推斷，這這是因為為樣本雖雖然是從從總體中中獲取的的代表，，含有總總體性質(zhì)質(zhì)的信息息，但仍仍較分散散。為了了使統(tǒng)計計推斷成成為可能能，需要要把分散散的信息息集中起起來，針針對不同同的研究究目的，，構(gòu)造不不同的樣樣本函數(shù)數(shù)，這種種函數(shù)在在統(tǒng)計學(xué)學(xué)中稱為為統(tǒng)計量量。1.構(gòu)造統(tǒng)計計量的原原因：6.1..1統(tǒng)計量的的概念(1)定義6.1設(shè)是從總體X中抽取的容量為n的一個樣樣本，如如果由此此樣本構(gòu)構(gòu)造一個個2.統(tǒng)計量的的定義：：函數(shù)，不依賴于任何未知為一個參數(shù)，則稱函數(shù)統(tǒng)計量((或樣本本統(tǒng)計量量)。代入T計算的數(shù)數(shù)值稱為為一個具具體的統(tǒng)統(tǒng)計量值值。(2)當(dāng)獲得樣本的一組具體觀測值后，統(tǒng)計量概概念的例例題【例6..1】設(shè)設(shè)解：一個樣本本，判斷斷下列各各量是否否為統(tǒng)計計量。是從某總總體X中抽取的的(1)((2)是是統(tǒng)計量量，(3)(4)不是是統(tǒng)計量量，因為(3)(4)依賴賴總體分分布的未未知參數(shù)數(shù)。6.1..2常用統(tǒng)計計量(1)由由于數(shù)學(xué)學(xué)期望和和方差等等概念用用“矩””來描述述1.常常用統(tǒng)計量的的構(gòu)造：：(2)當(dāng)n充分大時，經(jīng)驗分布函數(shù)靠近總體分布函數(shù)。2.常常用的的統(tǒng)計量：：是樣本的均值，反映總體期望的信息是樣本方差，反映總體方差的信息。。樣本標標準差S也是常用用的統(tǒng)計計量。6.1..2常用統(tǒng)計計量是樣本變異系數(shù)，反映總體變異系數(shù)C它反映了了隨機變變量在以以它的均均值為單單位時，，取值的離散散程度。。此統(tǒng)計計量取消消了均值值不同對對不同總體的的離散程程度的影影響，常常用來刻刻畫均值值不同時，不不同總體體的離散散程度。。在投資資項目的的風(fēng).險分析中中、不同同群體或或行業(yè)的的收入差差距描述述中有廣泛的的應(yīng)用。。的信息。其中總體變異系數(shù)定義為6.1..2常用統(tǒng)計計量稱為樣本階矩，反映總體階矩的信息。，稱為樣本階中心矩。反映出總體階中心矩的信息。

6.1..2常用統(tǒng)計計量，稱為樣本偏度。反映出總總體偏度度的信息息。偏度度反映了了隨機變變量密度函數(shù)數(shù)曲線在在眾數(shù)((密度函函數(shù)在這這一點達達到最大值)兩兩邊的對對稱偏斜斜性。如果，則偏度6.1..2常用統(tǒng)計計量，稱為樣本峰度。它反映出出總體峰峰度的信信息。峰峰度反映映隨機變變量密度函數(shù)數(shù)曲線在在眾數(shù)附附近的““峰”的的尖峭程程度。如果，則峰度6.1..3次序統(tǒng)計計量定義6.2設(shè)是從總體X中抽取的它是樣本滿足如下條件的函數(shù)：容量為n的一個樣本，稱為第i個次序統(tǒng)計量，時，每當(dāng)樣本得到一組觀測值中，其由小到大的順序的觀測值，第i個值就作為次序統(tǒng)計量稱為次序統(tǒng)計量。而分別為最小和最大次序統(tǒng)計量。稱為樣本極差。6.1..4充分統(tǒng)計計量充分統(tǒng)計量是指統(tǒng)計計量的加加工過程程中一點點信息都都不損失失的統(tǒng)計計量?！纠?.2】某電子元件廠欲了解其產(chǎn)品的不合格率p，質(zhì)檢員抽檢了100個電子元件，檢查結(jié)果是，除前3個是不合格品(記為)外，其他都是合格品(記為)。當(dāng)企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)問及抽檢結(jié)果時，質(zhì)檢員給出如下兩種回答：(1)抽檢的100個元件中有3個不合格(2)抽檢的100個元件中前3個不合格解：T1為充分統(tǒng)統(tǒng)計量。。6.1..4充分統(tǒng)計計量當(dāng)是來自正態(tài)分布的一個樣樣本時，，§6.2關(guān)于分布布的幾個個概念6.2..1抽抽樣分分布6.2..2漸漸近分分布6.2..3隨隨機模模擬獲得得的近似似分布6.2..1抽樣分布布1.英國統(tǒng)計計學(xué)家費費希爾曾曾把抽樣分布布、參數(shù)估計計和假設(shè)檢驗驗看做統(tǒng)計計推斷的的三個中中心內(nèi)容容。2.研究統(tǒng)計計量的性性質(zhì)和評評價一個個統(tǒng)計推推斷的優(yōu)優(yōu)良性，，完全取取決于其其抽樣分分布的性性質(zhì)。3.在總體X的分布類型已知時，若對任一自然數(shù)n，都能導(dǎo)出統(tǒng)計量的分布的數(shù)學(xué)表達式，這種分布稱為精確的抽樣分布。它對樣本容量較小時的統(tǒng)計推斷十分有用.4.正態(tài)條件下，主要有分布、t分布、F分布。6.2..2漸近分布布1.抽樣分布布理論中中，至今今已求出出的精確確抽樣分分布并不不多。2.通通常，，抽樣分分布很難難求得，，有時盡管求出出了精確確抽樣分分布，但但因為過過于復(fù)雜雜而難以以使用。。3.實實用中中，當(dāng)n無限增大大時，常常用統(tǒng)計計量的極極限分布布作為抽抽樣分布布的一種種近似，，這種極極限分布布常稱為為漸近分布布。【例6.2】設(shè)是抽自正態(tài)總體的一個樣本，可以證明當(dāng)時，所以統(tǒng)計量的漸近分布為N(0，1)6.2..3隨機模擬擬獲得的的近似分分布因為在實實際應(yīng)用用中，有有許多問問題要尋尋求它的的精確分分布和漸漸近分布布都是非非常困難難的，而而在計算算機飛速速發(fā)展的的今天，，利用計計算機進進行隨機機模擬來來獲得某某種統(tǒng)計計量的近近似分布布已十分分容易。。因此，，隨機模模擬方法法尋求統(tǒng)統(tǒng)計量的的分布已已被普遍遍使用。。通常，，抽樣分分布很難難求得，，有時盡管求出出了精確確抽樣分分布，但但因為過過于復(fù)雜雜而難以以使用。。6.2..3隨機模擬擬獲得的的近似分分布基本思想想：設(shè)有一個統(tǒng)計量，為了獲得統(tǒng)計量T的分布函數(shù)，我們可連續(xù)作一系列類似實驗，每次試驗驗都是從從總體中中隨機抽抽取容量量為n的樣本，，然后計算其統(tǒng)統(tǒng)計量的的值。當(dāng)當(dāng)這種試試驗進行行了N次時，就就得到統(tǒng)計量T的N個觀測值：根據(jù)這N個觀測值：可做其經(jīng)驗分布函數(shù)可以證明，這種經(jīng)驗分布函數(shù)是統(tǒng)計量T的分布的一個很好的近似。這種尋求求統(tǒng)計量量的方法法就是反反復(fù)地從從總體中中抽樣，，這種抽樣完全全可由計計算機來來實現(xiàn)。。由此得得到的統(tǒng)統(tǒng)計量分分布。就是隨機機模擬法法所獲得得的近似似分布。。§6.3由正態(tài)分分布導(dǎo)出出的幾個個重要分分布6.3..1分分布6.3..2t分布6.3..3F分布6.3..1分布2.定義6.3設(shè)隨機變量相互獨立，，則它們的且服從標準正態(tài)分布平方和服從自由度為n的分布。分布由阿貝(Abbe)1863年首先提出，后來由1.自由度是統(tǒng)計學(xué)中常用的一個概念，它可以解釋3.海爾墨特特(Hermert))和卡·皮爾遜遜(K.Pearson)分別別于1875年和和1900年推推導(dǎo)出來來的。為獨立變變量的個個數(shù)，還還可以解解釋為二二次型的的秩。6.3..1分布設(shè)4.，則令，則5.分布的概率密度函數(shù)曲線為n=1圖6-1分布的概率密度函數(shù)曲線n=4n=10n=206.3..1分布(1)分分布的的變量值值始終為為正的；；

分布的性質(zhì)和特點：6.(2)分分布的的形狀取取決于自自由度n的大小，，通常為為不對稱分分布，但但隨著自自由度的的增大逐逐漸趨于于對稱，，(3)數(shù)學(xué)期望和方差分別為(4)可加性：若，且獨立，則當(dāng)時，分布的極限分布是正態(tài)分布；6.3..1分布7.利用Excel提供的統(tǒng)計函數(shù)CHIINV可構(gòu)建分布的臨界值表表。Excel操作作6.3..1分布當(dāng)n很大時，8.實際上，當(dāng)n>45時，由于標準化后查標準正態(tài)分布p分位數(shù)表則6.3..2t分布2.定義6.4設(shè)隨機變量分布，記為t(n)，其中中n為自由度度。獨立，則且其分布稱為t分布，t分布也稱學(xué)生氏分布，是高塞特(W.S.Gosset)于1.提出的。。1908年在一一篇以““Student”為為筆名的的論文中中首次6.3..2t分布3.t分布的概率密度函數(shù)曲線圖6-2t分布的概概率密度度函數(shù)曲曲線N(0，1))t(13))0t(4)6.3..2t分布4.t分布的臨界值表N(0，1))t(13))0利用Excel提供的的統(tǒng)計函函數(shù)TINV可可構(gòu)建t分布的臨界值表表。Excel操作作6.3..2t分布(1)t分布的密密度函數(shù)數(shù)與標準準正態(tài)分分布N(0，1)的t分布的性質(zhì)和特點：5.(2)t(n)的密度度函數(shù)的的兩側(cè)都都按t-(n+1)的的速度趨趨向密度函數(shù)數(shù)非常近近似，都都是單峰峰偶函數(shù)數(shù)；于零，這這比負指指數(shù)函數(shù)數(shù)趨向于于零的速速度要慢慢一些，故故t(n)的密度度函數(shù)在在兩側(cè)尾尾部都要要比N(0，1)的兩兩側(cè)尾部部粗一些些；(3)t分布的數(shù)數(shù)學(xué)期望望為：方差為：：，顯然比比N(0，1)大；；6.3..2t分布(4)自自由度度為1的的分布稱稱為柯西西分布，，隨著自自由度增大，t分布的密密度函數(shù)數(shù)愈來愈愈接近正正態(tài)分布布的密度函數(shù)數(shù)。(5)實際應(yīng)用中，一般當(dāng)時，t分布與標準正態(tài)態(tài)分布就就非常接接近；(6)t分布一般般用于小小樣本問問題。6.3..2t分布6.與與t分布布有關(guān)的的兩個抽抽樣分布布：的一個樣本，(1)設(shè)是來自正態(tài)分布稱為服從從自由度度為n-1的t分布。則注：由于故6.3..2t分布記：(2)設(shè)是兩個相互獨立的總體，是來自X的一個樣本，是來自Y的一個樣本，則6.3..2t分布則注：由于故6.3..3F分布則稱X服從第一一自由度度為m，第二自自由度為為n的有如下表達式：F分布是統(tǒng)計學(xué)家費希爾首先提出的。F分布1.顯著性檢檢驗中都都有著重重要的地地位。有著廣泛泛的應(yīng)用用，如在在方差分分析、回回歸方程程的分布，隨機變量X分別服從自由度為m和n的2.定義6.5設(shè)隨機變量相互獨立，且F分布，記為F(m，n)，簡記為6.3..3F分布3.F分布的概率密度函數(shù)曲線圖6-3F分布的概概率密度度函數(shù)曲曲線F(1，10)F(5，10)F(10，，10))6.3..3F分布4.F分布的臨界值表利用Excel提供的的統(tǒng)計函函數(shù)FINV可可構(gòu)建F分布的臨界值表表。Excel操作作6.3..3F分布F分布的性質(zhì)和特點：5.方差：(1)設(shè)隨機變量X服從則數(shù)學(xué)期望：可查F分布表獲得，(2)F分布的p分位數(shù)且(3)F分布與t分布的關(guān)關(guān)系若分布，則密度函數(shù)數(shù)t(n)分布的的概率密密度函數(shù)數(shù)F(n1,n2)分布的概概率密度度函數(shù)積分正態(tài)分布布密度函函數(shù)§6.4樣本均均值的分分布與中中心極限限定理6.4..1樣樣本本均值的的分布6.4..2中中心心極限定定理6.4..1樣樣本均值值的分布布的隨機變變量。1.設(shè)是從某一總體中抽出的隨機樣本，則為互相獨立且與總體有相同分布2.要想知道的分布，必須知道總體分布。由于正態(tài)態(tài)分布是是最常見見的分布布之一，，所以主主要介紹紹即在總體分布為正態(tài)分布時樣本均值的分布。。3.在總體分布為正態(tài)分布時，有的抽樣分布仍為正態(tài)分布，即說明用樣本均值時，平均來說去估計總體均值沒有偏差；當(dāng)n越來越大時，的離散程度越來越小，即用越來越準確。估計6.4..1樣樣本均值值的分布布4.實際應(yīng)用用中，總總體的分分布并不不總是正正態(tài)分布布或近似似但由中心心極限定定理知道道，不管管總體的的分布是是什么，，的分布總是近似正態(tài)分布，只要此時樣本均值總體的有限。正態(tài)分布，此時的分布將取決于總體分布的情況。5.無論對什么總體分布，設(shè)總體均值為總體方差為，總有所以n較大時，即6.4..1樣樣本均值值的分布布6.由圖形來來觀察：：總體分布布抽樣分布布當(dāng)樣本容容量足夠夠大時((n30)，，樣本本均值的的抽樣分分布逐漸漸趨于正正態(tài)分布布一個任意意分布的的總體6.4..2中中心極限限定理中心極限定理：設(shè)從均值為

，方差為

的一個任意總體中抽取樣本量為n的樣本，當(dāng)n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為、方差為正態(tài)分布6.4..2中中心極限限定理抽樣分布布趨于正正態(tài)分布布的過程程6.4..2中中心極限限定理2.實際際應(yīng)用中中，由于于總體的的分布未未知，我我們常要要求n≥30。。中心極限定理：設(shè)從均值為

，方差為

的一個任意總體中抽取樣本量為n的樣本，當(dāng)n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為、方差為正態(tài)分布注：1.中心心極限定定理要求求n充分大，，那么多多大叫充充分大呢呢？這與與總體的的分布形形狀有關(guān)關(guān)?？傮w體偏離正正態(tài)越遠遠，則要要求n越大。3.大樣樣本與小小樣本問問題。在在樣本量量固定的的條件下下進行的的統(tǒng)計推推斷、問問題分析析，都稱稱為小樣樣本問題題；而在