利用韋達定理求一元二次方程的根

利用韋達定理求一元二次方程的根利用韋達定理求一元二次方程的根3/3利用韋達定理求一元二次方程的根利用韋達定理求一元二次方程的根一、對于韋達定理的性質(zhì)韋達定理：假定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根分別為x1、x2，則有x1＋x2＝－b，x1x2＝c.aa2.推導(dǎo)：（法一）依據(jù)一元二次方程的求根公式－b±b2－4acx＝2a不如假定－b＋b2－4ac－b－b2－4acx2a2abc不難得出x1＋x2＝－a，x1x2＝a.（法二）若一元二次方程的兩根分別為x1、x2，則方程能夠?qū)懗梢韵滦问絘(x－x)(x－x)＝0(a≠0)（雙根式）122－a(x1＋x2依據(jù)x的次數(shù)降冪擺列，得＋12＝0比較一元二次方程的一般式ax2＋bx＋c＝0，得1＋x2)，＝12，b＝－a(xcaxxbc∴x1＋x2＝－a，x1x2＝a.3.推論：（一）當(dāng)二次項系數(shù)為1時，即一元二次方程知足x2＋px＋q＝0的形式假定方程的兩根分別為x1、x2，則有x1＋x2＝－p，x1x2＝q.（二）已知一元二次方程兩根分別為x1、x2，則方程能夠?qū)懗梢韵滦问絰2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.4.實質(zhì)：韋達定理告訴了我們一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.二、利用韋達定理求一元二次方程的根比方，求一元二次方程x2―22x―6＝0的根.很顯然，依據(jù)我們所學(xué)習(xí)慣，首選方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得(x－32)(x＋2)＝0，解得，x1＝32，x2＝－2.自然，利用十字相乘法很難充數(shù)時，我們就會采用求根公式法.（法二）a＝1，b＝－22，c＝－6，b2－4ac＝8＋24＝32，－b±b2－4ac±42＝2±22，∴x＝2a＝222于是有x1＝32，x2＝－2.聯(lián)合以上兩種方法，我們發(fā)現(xiàn)，十字相乘法計算速度快，可是充數(shù)的過程十2分靈巧，若每一個系數(shù)都是整數(shù)，且知足x－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程能夠很快算出來，但假如系數(shù)是分數(shù)、根式我們發(fā)現(xiàn)利用這類方法解方程是十分困難次方程時，固然是一種全能的方法，但有時會給我們帶來特其他計算量.那有什么方法既能夠減少計算量，使運算變得簡單快捷，同時又能夠用來解全部的一元二次方程呢？接下來，我們看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，依據(jù)韋達定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的狀況下，必定會存在某一個實數(shù)a（假定為正數(shù)），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（知足條件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6.（知足條件x12＝―6）于是有2－a2＝―6，則a2＝8，x所以a＝22x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－2.上述解法中a取正取負其實不影響計算的最后結(jié)果，為了方便，習(xí)慣上能夠假定a為正數(shù).察看以上解法，我們能夠發(fā)現(xiàn)，這類解法其實不像十字相乘法需要有充數(shù)的靈感，也不像求根公式法會帶來特其他計算量，反而還聯(lián)合二者的長處，計算快捷且全能通用.自然我們也能夠看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，依據(jù)韋達定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的狀況下，必定會存在某一個實數(shù)a（假定為正數(shù)），使得x1＝3＋a，x2＝3－a，（知足條件x1＋x2＝6）且(3＋a)(3－a)＝―25.（知足條件x12＝―25）于是有9－a2＝―25，則a2＝34，x所以a＝34x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，依據(jù)韋達定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的狀況下，必定會存在某一個實數(shù)a（假定為正數(shù)），使得x1＝－12＋a，x2＝－12－a，（知足條件x1＋x2＝－24）且(－12＋a)(－12－a)＝―63.（知足條件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，則a2＝207，所以a＝207x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，依據(jù)韋達定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的狀況下，必定會存在某一個實數(shù)a（假定為正數(shù)），使得x1＝7＋a，x2＝7－a，（知足條件x1＋x2＝14）且(7＋a)(7－a)＝48.（知足條件x12＝48）于是有49－a2＝48，則a2＝1，x所以a＝1x1＝7＋1＝8，x2＝7－1＝6.例4：解方程x2＋18x＋40＝0，依據(jù)韋達定理有x1＋x2＝－18，x1x2＝40.在方程有解的狀況下，必定會存在某一個實數(shù)a（假定為正數(shù)），使得x1＝－9＋a，x2＝－9－a，（知足條件x1＋x2＝－18）且(－9＋a)(－9－a)＝40（知足條件x1x2＝40）22于是有81－a＝40，則a＝41，所以a＝41∴x1＝－9＋41，x2＝－9－41.經(jīng)過以上4個例子，我們能夠熟習(xí)，若二次項系數(shù)為1時，利用韋達定理解一元二次方程的流程.實質(zhì)受騙一元二次方程二次項系數(shù)不為1時，我們也能夠離此流程解一元二次方程.如例5：解方程2x2＋9x―5＝0，95（法一）依據(jù)韋達定理有x1＋x2＝－2，x1x2＝―2.在方程有解的狀況下，必定會存在某一個實數(shù)a（假定為正數(shù)），使得x1＝－9＋a，x2＝－9－a，（知足條件x1＋x2＝－9）4429955且(－4＋a)(－4－a)＝―2.（知足條件x1x2＝―2）8125212111于是有16－a＝―2，則a＝16，所以a＝4∴x1＝－9＋11＝1，x2＝－9－11＝－5.44244（法二）a＝2，b＝9，c＝－5，b2－4ac＝81＋4