高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義思想方法《客觀題的解法》專項(xiàng)突破

第5講客觀題的解法題型概述數(shù)學(xué)客觀題，絕大多數(shù)是計(jì)算型(尤其是推理計(jì)算型)和概念(性質(zhì))判斷型的試題，解答時(shí)必須按規(guī)則進(jìn)行切實(shí)的計(jì)算或者合乎邏輯的推演和判斷．其中選擇題要充分利用題干和選項(xiàng)兩方面提供的信息，盡量縮短解題時(shí)間，依據(jù)題目的具體特點(diǎn)，靈活、巧妙、快速地選擇解法，基本策略是要在“準(zhǔn)”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、數(shù)形結(jié)合法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法等．方法一直接法直接法就是直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)概念、性質(zhì)、公式、公理、定理、法則等基礎(chǔ)知識(shí)，通過嚴(yán)謹(jǐn)推理、準(zhǔn)確運(yùn)算、合理驗(yàn)證，得出正確結(jié)論，此法是解選擇題和填空題最基本、最常用的方法．例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M(－1,2)，N(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))|＝|eq\o(PN,\s\up6(→))|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是()A．y2＝4xB．x2＝4yC．y2＝－4xD．x2＝－4y思路分析動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程→P點(diǎn)滿足條件→直接將P點(diǎn)坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)即可答案A解析設(shè)P(x，y)，由題意得M(－1,2)，N(1,0)，O(0,0)，eq\o(PM,\s\up6(→))＝(－1－x,2－y)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(PN,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，因?yàn)閨eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))|＝|eq\o(PN,\s\up6(→))|，所以|1＋x|＝eq\r(1－x2＋y2)，整理得y2＝4x.直接法是解決計(jì)算型客觀題最常用的方法，在計(jì)算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計(jì)算過程簡(jiǎn)化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解選擇題、填空題的關(guān)鍵.方法二特例法從題干出發(fā)，通過選取特殊情況代入，將問題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或特殊圖形或特殊位置，進(jìn)行判斷．特殊化法是“小題小做”的重要策略，要注意在怎樣的情況下才可以使用，特殊情況可能是：特殊值、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊函數(shù)等．例2(1)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4，若點(diǎn)M，N滿足eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(NC,\s\up6(→))，則eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))等于()A．20B．15C．9D．6思路分析eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))的值→某種特殊情況下eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))的值→取?ABCD為矩形答案C解析若四邊形ABCD為矩形，建系如圖，由eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(NC,\s\up6(→))，知M(6,3)，N(4,4)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝(6,3)，eq\o(NM,\s\up6(→))＝(2，－1)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))＝6×2＋3×(－1)＝9.(2)設(shè)橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)分別是M，N，P是C上異于M，N的任意一點(diǎn)，則直線PM與PN的斜率之積等于________．思路分析直線PM，PN斜率之積→特殊情況下的kPM·kPN→取P點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)答案－eq\f(3,4)解析取特殊點(diǎn)，設(shè)P為橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)(0，eq\r(3))，又M(－2,0)，N(2,0)，所以kPM·kPN＝eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝－eq\f(3,4).特例法具有簡(jiǎn)化運(yùn)算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題，但用特例法解選擇題時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：第一，取特例盡可能簡(jiǎn)單，有利于計(jì)算和推理；第二，若在取定的特殊情況下有兩個(gè)或兩個(gè)以上的結(jié)論相符，則應(yīng)選另一特例情況再檢驗(yàn)，或改用其他方法求解．方法三排除法排除法也叫篩選法、淘汰法，它是充分利用單選題有且只有一個(gè)正確的選項(xiàng)這一特征，通過分析、推理、計(jì)算、判斷，排除不符合要求的選項(xiàng)．例3(1)(2020·天津)函數(shù)y＝eq\f(4x,x2＋1)的圖象大致為()思路分析選擇函數(shù)大致圖象→排除錯(cuò)誤選項(xiàng)→利用函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)或性質(zhì)驗(yàn)證排除答案A解析令f(x)＝eq\f(4x,x2＋1)，則f(x)的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝eq\f(－4x,x2＋1)＝－f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除C，D.又當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝eq\f(4,2)＝2，排除B.(2)已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b)＝1(b>0)，直線l：y＝mx＋1.若對(duì)任意的m∈R，直線l與橢圓C恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A．[1,4) B．[1，＋∞)C．[1,4)∪(4，＋∞) D．(4，＋∞)思路分析求b的取值范圍→取b的特殊值→特殊情況驗(yàn)證排除答案C解析注意到直線l恒過定點(diǎn)(0,1)，所以當(dāng)b＝1時(shí)，直線l與橢圓C恒有公共點(diǎn)，排除D；若b＝4，則方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b)＝1不表示橢圓，排除B；若b>4，則顯然點(diǎn)(0,1)恒在橢圓內(nèi)部，滿足題意，排除A.故選C.(3)(多選)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝ex(x＋1)，則下列說法正確的是()A．當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝ex(1－x)B．f(x)>0的解集為(－1,0)∪(1，＋∞)C．函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)D．?x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2思路分析觀察選項(xiàng)，從易于判斷真假的選項(xiàng)出發(fā).答案BD解析對(duì)于C，當(dāng)x<0時(shí)，令f(x)＝0?x＝－1，∴f(x)有3個(gè)零點(diǎn)分別為－1,0,1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于A，令x>0，則－x<0，∴f(－x)＝e－x(1－x)，又f(x)為奇函數(shù)，∴－f(x)＝e－x(1－x)，∴f(x)＝e－x(x－1)，故A錯(cuò)誤．∵A，C錯(cuò)誤，且為多選題，故選BD.排除法使用要點(diǎn)：,1從選項(xiàng)出發(fā)，先確定容易判斷對(duì)錯(cuò)的選項(xiàng)，再研究其它選項(xiàng).,2當(dāng)題目中的條件多于一個(gè)時(shí)，先根據(jù)某些條件在選項(xiàng)中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小選項(xiàng)的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步篩選，它與特值例法、驗(yàn)證法等常結(jié)合使用.方法四構(gòu)造法用構(gòu)造法解客觀題的關(guān)鍵是利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，它需要對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法進(jìn)行積累，需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到的類似問題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的具體的數(shù)學(xué)模型，使問題簡(jiǎn)化．例4(1)(2019·全國(guó)Ⅰ)已知三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．8eq\r(6)πB．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)πD.eq\r(6)π思路分析求球O體積→求球O半徑→構(gòu)造正方體(補(bǔ)形)答案D解析如圖所示，構(gòu)造棱長(zhǎng)為eq\r(2)的正方體PBJA－CDHG，顯然滿足題設(shè)的一切條件，則球O就是該正方體的外接球，從而體積為eq\r(6)π.(2)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)－f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是______________．思路分析解fx>0→利用函數(shù)單調(diào)性結(jié)合已知含fx的不等關(guān)系→構(gòu)造函數(shù)答案(－∞，－1)∪(0,1)解析構(gòu)造函數(shù)g(x)＝eq\f(fx,x)，則g′(x)＝eq\f(f′x·x－fx,x2).根據(jù)條件，g(x)為偶函數(shù)，且x>0時(shí)，g′(x)<0，g(x)為減函數(shù)，g(－1)＝g(1)＝0.∴當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)>0，∴f(x)>0，同理當(dāng)x<－1時(shí)，g(x)<0，∴f(x)>0，故使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(－∞，－1)∪(0,1)．構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題.方法五估算法因?yàn)閱芜x題提供了唯一正確的答案，解答又不需提供過程，所以可以通過猜測(cè)、推理、估算而獲得答案，這樣往往可以減少運(yùn)算量，但同時(shí)加強(qiáng)了思維的層次，估算省去了很多推導(dǎo)過程和復(fù)雜的計(jì)算，節(jié)省了時(shí)間，從而顯得更加快捷．例5(1)(2019·全國(guó)Ⅰ)古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是eq\f(\r(5)－1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)≈0.618，稱為黃金分割比例，))著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是eq\f(\r(5)－1,2).若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm，則其身高可能是()A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm思路分析估計(jì)身高→人體各部分長(zhǎng)度大致范圍→題中長(zhǎng)度關(guān)系估算答案B解析頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm，可得咽喉至肚臍的長(zhǎng)度小于42cm，肚臍至足底的長(zhǎng)度小于110cm，則該人的身高小于178cm，又由肚臍至足底的長(zhǎng)度大于105cm，可得頭頂至肚臍的長(zhǎng)度大于65cm，則該人的身高大于170cm，所以該人的身高在170cm～178cm之間，選B.(2)(2018·全國(guó)Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)思路分析V三棱錐D－ABC最大值→三棱錐高的最大值→依據(jù)三棱錐和球的關(guān)系估算答案B解析等邊三角形ABC的面積為9eq\r(3)，顯然球心不是此三角形的中心，所以三