23 線性邊值問題和等價變分問題

2.3線性邊值問題和等價變分問題2.3.1變分和變分方程泛函是函數(shù)空間到數(shù)值空間的映射，取不同的形式的函數(shù)對應(yīng)有不同的泛函值。在[氣%]上，取簡單泛函：JU(X)}=jx2FL,U(x)k它的定義域是在[X1，x2]上有定義的可取函數(shù)集肱，記為UGM1.變分若給定U(x)一個很小的變化其中：印(x)表示函數(shù)形式的微小變化，稱為函數(shù)的變分，￡?1是任意給定的正常數(shù)，門(x)GM是可取函數(shù)，8為變分號。8U導(dǎo)致泛函的變化[xi,x2]△J=JU+5U}-JU}=jx2FL,U+5U^dx-jx2FL,U^dxx] x]xi=fx2xi=jx2F[x,U+5U]-F[x,U]jxi=fx2xidx竺8U+1a2F8U2+?.dU 2!dU2dx=jx2[竺8U]dx+高次項積分x1EuJ將式中的一次項，即泛函增量的線性主部定義為泛函的一階變分— af八8J{U（x）}=jx2（—8U）dxxaU同理可定義二階變分82JU(x)}=jx2(a2F8U2)dxxiau2應(yīng)注意以上諸式中，是函數(shù)形式的變化引起泛函的變化，而自變量x沒變。2.變分的計算規(guī)則變分的計算規(guī)則與微分的規(guī)則完全相似:8(U]+U2)=8U]+8U2

5(UU2)=U15U2+U25U1-LU25-LU25U1-U15U2)2kU2)5(Un)=nUn-15Ua作為不同的運算，算子5和ar可以互相交換運算次序:I8x)=5U=U-u=竺-空=—(U-u)=—(5U)

xxxI8x)同理：算符5和』辦也可以交換運算順序。3.變分問題反映在圖形上，泛函是一族標(biāo)注泛函值的曲線，這一族曲線對應(yīng)的就是可取函數(shù)集反映在圖形上，M?？梢詮膱D中來尋找使泛函取極值的極值曲[%，%]線，如：極大值曲線七⑴，使J?⑴}=吹；極小值曲線U配(x)，使J"a(x))=mn。與函數(shù)取極值相似，使泛函取極值的條件是泛函的一階變分為零5JU(%)}=0x又稱之為變分方程。亦可根據(jù)極值曲線的二階變分判斷極大或極小值：52JU(X)}<052J{Ui(X)}〉0泛函取極值是在實數(shù)范圍內(nèi)的說法，更一般而言，應(yīng)稱為泛函駐定，駐定條件是變分方程的解。解答中的待定系數(shù)需按邊界條件來確定。于是，求解邊值問題n變分方程+邊界條件n稱為變分問題2.3.2變分問題與Euler邊值問題：1.簡單泛函的變分方程

6JU(x)}=J七(竺6U)dx=0xQU

1從式中可知：函數(shù)變分6U=￡^(x)，它的選擇有其隨意性，一般不為零。所以凡QF lt} qf_qu一°，必有6JU}=0成立；反之，凡6JU}=0，必有qu一°成立，亦即：變分8F方程等價于偏微分方程-qu一°。此偏微分方程就稱為Euler方程，或變分方程的Euler方程。上述Euler方程，其邊界條件，即未知函數(shù)的端點條件U(x)=a，U(x2)=b與該Euler方程一道構(gòu)成邊值問題，與之相對應(yīng)的等價變分問題是：變分方程+邊界條件。2.含二階偏導(dǎo)數(shù)的泛函設(shè)多變量函數(shù)U偵)的泛函jUG)}=jfI,u,u",u",uff^dvv xxyyzz記函數(shù)的變分6U二四偵)，對一階偏導(dǎo)數(shù)的變分6Ux=8^x，二階偏導(dǎo)數(shù)的變分:6U"=8^"，6U〃=￡門〃，6U"=8門”xxxx yy yy zz zz于是泛函的一階變分QF+%6U〃dVQUzzzz」6JU(T)}=j QF+%6U〃dVQUzzzz」VQUQUxxQUyyL xx yydVQF QF 〃 QF h QF 〃dV n+ 門+ 門+ (QU QUxxQU〃lyy QU zxx yy zz=8jIQFv\8Un+Qx\.QU,txjQx[QUffjx-'xx7 'xx7QF一I nQyIQUffy-xyyQ|QFQy[dUQ|QFQy[dUrIyy+\dVQF

—, nQz[QU〃z

'zzQ QFL,[upzz=8』IQFv\dU^~QxQIQFQx[QU”'xxQ2(QFl]IQ

n,TQx2[qu"j QyxxQIQFQy[QU”vyyaFay2[au〃JvyyJ nazaz[au"Jzz—n""dVax2[au rraF—■exau〃n'*xzze也n'*e竺n'dV

yau〃yzau〃zryyzzaF*a2(aFi*a2|aF*a2auq{au1^J*寥[su^.xx yy、az2[auzzJdV+JV?何aF n'.au"zzzaF n'au"xxx(aF1 nax[au"Jxx(aF ,_n'k'yyyaIaF n"dVaz[au"JJ[zzyVUay[au”vyyaF*a2(aF、*a2(aF1*a2(aF、_auax2[對"Jxxay2[au〃Jvyy7az21*〃JzzdV=sjnV「 ，aF a*s￡<「 ，aF a*s￡<n' -n，xau〃xx虱質(zhì)Jxx/aF a(aFn' -n——I yaun ayIau〃yyau''yyaFn'-nxau"zza(aF1

az[aunJzz/?-edS基于上述變換，變分方程5JU}=0與相對應(yīng)的Euler定解問題:覆 a2覆 a2|aF)*Bay2[auyyJ*w[au^尸0zzaF aaF an' -n xau" ax[au"xx(勺-y[*yy刀aF an' -n yau" ayau”aF an'-nzau”zz等價。例：設(shè)已知二階偏導(dǎo)致的泛函JU(r)}=<-V2U,U>—2<U,f>其中：u(r)是未知實函數(shù)，f(_)是已知實函數(shù)。按L2空間內(nèi)積定義，泛函為其被積函數(shù)為FQ,U,U”,U”,U")=—UU"+U"+U"+xxyyzz xxyyzzdF '"+U〃+U〃+2f)=—C2U+2f)QU xxyydF QFdU" dU" dU”xx yy zz于是Euler定解問題為,n簡化寫為:—(V2U+2,n簡化寫為:—(V2U+2f)—U〃—U〃—U〃=—2(V2U+f)=0xxe-VnrU+v\Ux xxzz+^—^u+r|U‘e+(—nru+v\u\Le-(qvu—uvn)=0zznyVU=—f\(QU頃)reV￥一ufkQn Qn)res對上面的結(jié)果進行討論：(一.乂可寫為kQU—1u坐=竺+fu=o\Qn門dndn1 /(1)若在邊界上U取為零值，則構(gòu)成的變分問題，將等價于第一類齊次邊界條件的Poisson邊值問題。V2V2u=—freVuG)=0reSbb…… QU、(2)在邊界上當(dāng)門(r)。0，且U(F)。0時，形成第三類齊次邊界條件-Qn+fU=0，則自由邊界的變分問題(或稱為無條件變分問題)與具有第三類齊次邊界的Poisson邊值的UG2UG2U+2f%V=03邊界條件)V2U=—fon+fu=0由算例分析可得以下有益的重要結(jié)論:Euler邊值問題所含第三類齊次邊界條件(其中包括第二類邊界條件)，已包含在泛函的變分方程中，它自然得到滿足，所以又稱之為自然邊界條件Euler邊值問題中的第一類邊界條件，未能包含于變分方程之中，所以在變分問題應(yīng)于單獨反映，稱為強加邊界條件，該變分問題又稱為條件變分問題一般而言，為保證解的唯一性，若無強加邊界條件，至少也應(yīng)確定位函數(shù)的參考點，實際上仍然以強加條件表示。所以，Euler邊值問題應(yīng)等價于條件變分問題由上面的分析可知可以用求解Euler邊值問題來求解相應(yīng)變分問題；也可以通過求解變分問題來求解Euler邊值問題。2.3?3線性算子方程轉(zhuǎn)化為變分方程前面所述問題的反問題：要從線性算子方程導(dǎo)出其等價變分方程。定理:設(shè)線性正算子A具有定義域DA和值域DA，Db是符合所給邊界條件的函數(shù)集，則由已知函數(shù)fedauH和未知函數(shù)UedaaDbuH構(gòu)成的確定性算子方程(A)AU=f(A)等價于泛函為極小值(駐定)的變分方程(B)JU}=<AU,U>-<U,f>-<f,U>=min[或?qū)憺椋?,U'}=8"<AU,U>—<u,f>—<f,u>}=0]證明：任意選取已知函數(shù)門eDAADbuH(B)1.證明凡(A)式的解U必滿足(B)式取V=U+門，由(B)式泛函為jV}=<aU+門)G+n)>-<u+n,f>—<f,u+n>=kAU,U>—<Uf>—<f,U>+<An,門〉+1<au,n>—<f,n>〕+LAn,u>—<n,f>]j^v}—jU}=<An,n>+LAu,n>—<f,n>]+1<An,u>—<n,f>]=<An,n>+<au—f,n>+<n,au—f>由算子方程和正算子的定義

<a丑,丑>>0i=j^v}—jM}=<An,n>>0 — 只要u滿足(a*「. JM}=min成立2.證明凡(B)式的解U必滿足(A)式i=j^v}-jU}limI=mini=j^v}-jU}limI=mina項=<Aar,an>+<AU一f,an>+<ar|,AU一f>>0(1)若取a=a是實數(shù)，應(yīng)有I=a2<An,n>+a<AU—f,n>+a<n,AU—f>>0由內(nèi)積定義<AU—f,n>和<n,AU—f>應(yīng)為共軛復(fù)數(shù)，有a<AU一f,n>+a<n,AU一f>=2aRe<AU一f,n>(為實數(shù))I=a2<An,n>+2aRe<AU一f,n>>0(2)若取a=ja為虛數(shù)，應(yīng)有I=a2<An,n>—ja<AU一f,n>+ja<n,AU一f>>0I=a2<An,n>+2aI<AU一f,n>>0(3)由limI=min即：a—>0「 61 nlim=0aT06a按(1)和(2)有：6IJ2a<An,n>+2Re<AU—f,n>6a[2a<An,n>+2I<AU—f,n>6I 日lim=0即at06a.?.<au—f,n>=0Re<AU—f,n>=0i<.?.<au—f,n>=0由于門的任意取函數(shù)，一般不為零：AU—f=0nA