2021-2022學年高中數(shù)學第三章變化率與導數(shù)§1變化的快慢與變化率課件北師大版選修1-1

§1 變化的快慢與變化率§1 變化的快慢與變化率2021_2022學年高中數(shù)學第三章變化率與導數(shù)§1變化的快慢與變化率課件北師大版選修1_11.函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率(1)自變量的改變量為x2-x1,記作Δx.(2)函數(shù)值的改變量為f(x2)-f(x1),記作Δy.(4)平均變化率的意義:刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2]上變化的快慢.名師點撥對函數(shù)平均變化率的兩點說明(1)函數(shù)的平均變化率是通過實際問題中的平均速度、氣球的膨脹率、曲線的割線斜率等問題抽象出來的一個數(shù)學概念.定義為函數(shù)值的改變量Δy與自變量的改變量Δx的比值.(2)函數(shù)的平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”,或者說,曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”.知識梳理

1.函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率知識梳理2.瞬時變化率對于函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過程中,(1)函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值為平均變化率,記作:(2)在x0點的瞬時變化率:當Δx趨于0時,平均變化率趨于函數(shù)在x0點的瞬時變化率.2.瞬時變化率特別提醒1.平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系(1)區(qū)別:平均變化率不是瞬時變化率.平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2]上變化的快慢,瞬時變化率刻畫函數(shù)值在x0點處變化的快慢.(2)聯(lián)系:當Δx趨于0時,平均變化率趨于一個常數(shù),這個常數(shù)即為函數(shù)在x0處的瞬時變化率,它是一個固定值.2.對瞬時變化率的兩點說明(1)平均變化率隨著自變量區(qū)間的變化而變化,在某一點處的瞬時變化率是一個固定值.(2)用平均變化率估計瞬時變化率不一定是精確值,但在一定精確度的情況下,不影響其取值的嚴謹性.特別提醒1.平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系答案:3gm/s答案:3gm/s思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)自變量的改變量Δx可正可負但不能為零.(

)(2)瞬時變化率刻畫了某函數(shù)值在區(qū)間[x0,x1]上變化的快慢.(

)(3)函數(shù)f(x)=x在x=0處的瞬時變化率為0.(

)答案:(1)√

(2)×

(3)×思考辨析探究一探究二思維辨析【例1】

已知函數(shù)f(x)=3x+1和g(x)=2x2+1,分別計算f(x)與g(x)在-3到-1之間和在1到1+Δx之間的平均變化率.探究一探究二思維辨析【例1】已知函數(shù)f(x)=3x+1和g探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析反思感悟求平均變化率可根據(jù)定義代入公式直接求解,解題的關(guān)鍵是弄清自變量的增量Δx與函數(shù)值的增量Δy,求平均變化率的主要步驟是:(1)計算函數(shù)值的改變量Δy=f(x1)-f(x0);(2)計算自變量的改變量Δx=x1-x0;探究一探究二思維辨析反思感悟求平均變化率可根據(jù)定義代入公式直探究一探究二思維辨析變式訓練1已知質(zhì)點運動規(guī)律s(t)=t2+3,則在時間(3,3+Δt)中,相應(yīng)的平均速度等于(

)答案:A探究一探究二思維辨析變式訓練1已知質(zhì)點運動規(guī)律s(t)=t2探究一探究二思維辨析【例2】

柏油路是用瀝青和大小石子等材料混合后鋪成的,鋪路工人鋪路時需要對瀝青加熱使之由固體變成粘稠液體狀.如果開始加熱后第x小時的瀝青溫度(單位:℃)為探究一探究二思維辨析【例2】柏油路是用瀝青和大小石子等材料探究一探究二思維辨析解∵0≤x≤1時,f(x)=80x2+20,15分鐘=0.25小時,30分鐘=0.5小時,∴瀝青溫度在15分鐘時的瞬時變化率為所以瀝青溫度在15分鐘時的瞬時變化率為40,同理可得,瀝青溫度在30分鐘時的瞬時變化率為80.探究一探究二思維辨析解∵0≤x≤1時,f(x)=80x2+2探究一探究二思維辨析反思感悟估計瞬時變化率的四個步驟第一步:定點,明確求哪個點處的瞬時變化率;第二步:定區(qū)間,以此點為端點取一個區(qū)間計算平均變化率;第三步:縮區(qū)間,逐步縮小區(qū)間長度;第四步:估計值,據(jù)平均變化率逼近的情況估計瞬時變化率.探究一探究二思維辨析反思感悟估計瞬時變化率的四個步驟探究一探究二思維辨析變式訓練2若物體做s(t)=2(1-t)2的直線運動,則其在t=4s時的瞬時速度為(

)A.12 B.-12 C.4 D.-4答案:A探究一探究二思維辨析變式訓練2若物體做s(t)=2(1-t)探究一探究二思維辨析因不能正確理解平均變化率的概念而致誤【典例】

函數(shù)y=2x+5在[0,2]內(nèi)的平均變化率為

.

易錯分析(1)誤認為平均變化率沒有順序,而導致錯誤,要注意自變量的改變量為Δx=x2-x1,函數(shù)值的改變量為Δy=y2-y1.解析:當x=0時,y=5,當x=2時,y=9,∴函數(shù)在[0,2]內(nèi)的平均變化率為2.答案:2糾錯心得正確理解平均變化率的概念對于函數(shù)y=f(x),當自變量由x1變化到x2時,相應(yīng)的函數(shù)值也從y1變化到y(tǒng)2,此時自變量的改變量為Δx=x2-x1,函數(shù)值的改變量為Δy=y2-y1.探究一探究二思維辨析因不能正確理解平均變化率的概念而致誤探究一探究二思維辨析變式訓練函數(shù)y=x2-2x+1在x=-2附近的平均變化率為(

)A.-x-6C.-x-2解析:設(shè)y=f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,Δy=f(-2+Δx)-f(-2)=(-2+Δx-1)2-(-2-1)2=(-3+Δx)2-9=(Δx)2-6Δx,∴

=Δx-6,∴函數(shù)y=x2-2x+1在x=-2附近的平均變化率為Δx-6.答案:B探究一探究二思維辨析變式訓練函數(shù)y=x2-2x+1在x=-2123451.函數(shù)y=f(x)的自變量x由x0改變到x0+Δx時,函數(shù)值的改變量Δy等于(

)A.f(x0+Δx) B.f(x0)+ΔxC.f(x0)·Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)答案:D123451.函數(shù)123452.函數(shù)f(x)=x2-1在區(qū)間[1,m]上的平均變化率為3,則實數(shù)m的值為(

)答案:B解析:因為f(x)=x2-1在區(qū)間[1,m]上的平均變化率為3,所以

123452.函數(shù)123453.在x=1附近,取Δx=0.3,在四個函數(shù)①y=x;②y=x2;③y=x3;④y=中,平均變化率最大的是(

)A.④ B.③ C.② D.①解析:①的平均變化率為1,②的平均變化率為2.3,③的平均變化率為3.99,④的平均變化率約為-0.77.答案:B123453.在x12345答案:C12345答案:C謝謝觀看！謝謝觀看！22123455.某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示,試分別計算從出生到第3個月以及從第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率.123455.某嬰§1 變化的快慢與變化率§1 變化的快慢與變化率2021_2022學年高中數(shù)學第三章變化率與導數(shù)§1變化的快慢與變化率課件北師大版選修1_11.函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率(1)自變量的改變量為x2-x1,記作Δx.(2)函數(shù)值的改變量為f(x2)-f(x1),記作Δy.(4)平均變化率的意義:刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2]上變化的快慢.名師點撥對函數(shù)平均變化率的兩點說明(1)函數(shù)的平均變化率是通過實際問題中的平均速度、氣球的膨脹率、曲線的割線斜率等問題抽象出來的一個數(shù)學概念.定義為函數(shù)值的改變量Δy與自變量的改變量Δx的比值.(2)函數(shù)的平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”,或者說,曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”.知識梳理

1.函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率知識梳理2.瞬時變化率對于函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過程中,(1)函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值為平均變化率,記作:(2)在x0點的瞬時變化率:當Δx趨于0時,平均變化率趨于函數(shù)在x0點的瞬時變化率.2.瞬時變化率特別提醒1.平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系(1)區(qū)別:平均變化率不是瞬時變化率.平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2]上變化的快慢,瞬時變化率刻畫函數(shù)值在x0點處變化的快慢.(2)聯(lián)系:當Δx趨于0時,平均變化率趨于一個常數(shù),這個常數(shù)即為函數(shù)在x0處的瞬時變化率,它是一個固定值.2.對瞬時變化率的兩點說明(1)平均變化率隨著自變量區(qū)間的變化而變化,在某一點處的瞬時變化率是一個固定值.(2)用平均變化率估計瞬時變化率不一定是精確值,但在一定精確度的情況下,不影響其取值的嚴謹性.特別提醒1.平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系答案:3gm/s答案:3gm/s思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)自變量的改變量Δx可正可負但不能為零.(

)(2)瞬時變化率刻畫了某函數(shù)值在區(qū)間[x0,x1]上變化的快慢.(

)(3)函數(shù)f(x)=x在x=0處的瞬時變化率為0.(

)答案:(1)√

(2)×

(3)×思考辨析探究一探究二思維辨析【例1】

已知函數(shù)f(x)=3x+1和g(x)=2x2+1,分別計算f(x)與g(x)在-3到-1之間和在1到1+Δx之間的平均變化率.探究一探究二思維辨析【例1】已知函數(shù)f(x)=3x+1和g探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析反思感悟求平均變化率可根據(jù)定義代入公式直接求解,解題的關(guān)鍵是弄清自變量的增量Δx與函數(shù)值的增量Δy,求平均變化率的主要步驟是:(1)計算函數(shù)值的改變量Δy=f(x1)-f(x0);(2)計算自變量的改變量Δx=x1-x0;探究一探究二思維辨析反思感悟求平均變化率可根據(jù)定義代入公式直探究一探究二思維辨析變式訓練1已知質(zhì)點運動規(guī)律s(t)=t2+3,則在時間(3,3+Δt)中,相應(yīng)的平均速度等于(

)答案:A探究一探究二思維辨析變式訓練1已知質(zhì)點運動規(guī)律s(t)=t2探究一探究二思維辨析【例2】

柏油路是用瀝青和大小石子等材料混合后鋪成的,鋪路工人鋪路時需要對瀝青加熱使之由固體變成粘稠液體狀.如果開始加熱后第x小時的瀝青溫度(單位:℃)為探究一探究二思維辨析【例2】柏油路是用瀝青和大小石子等材料探究一探究二思維辨析解∵0≤x≤1時,f(x)=80x2+20,15分鐘=0.25小時,30分鐘=0.5小時,∴瀝青溫度在15分鐘時的瞬時變化率為所以瀝青溫度在15分鐘時的瞬時變化率為40,同理可得,瀝青溫度在30分鐘時的瞬時變化率為80.探究一探究二思維辨析解∵0≤x≤1時,f(x)=80x2+2探究一探究二思維辨析反思感悟估計瞬時變化率的四個步驟第一步:定點,明確求哪個點處的瞬時變化率;第二步:定區(qū)間,以此點為端點取一個區(qū)間計算平均變化率;第三步:縮區(qū)間,逐步縮小區(qū)間長度;第四步:估計值,據(jù)平均變化率逼近的情況估計瞬時變化率.探究一探究二思維辨析反思感悟估計瞬時變化率的四個步驟探究一探究二思維辨析變式訓練2若物體做s(t)=2(1-t)2的直線運動,則其在t=4s時的瞬時速度為(

)A.12 B.-12 C.4 D.-4答案:A探究一探究二思維辨析變式訓練2若物體做s(t)=2(1-t)探究一探究二思維辨析因不能正確理解平均變化率的概念而致誤【典例】

函數(shù)y=2x+5在[0,2]內(nèi)的平均變化率為

.

易錯分析(1)誤認為平均變化率沒有順序,而導致錯誤,要注意自變量的改變量為Δx=x2-x1,函數(shù)值的改變量為Δy=y2-y1.解析:當x=0時,y=5,當x=2時,y=9,∴函數(shù)在[0,2]內(nèi)的平均變化率為2.答案:2糾錯心得正確理解平均變化率的概念對于函數(shù)y=f(x),當自變量由x1變化到x2時,相應(yīng)的函數(shù)值也從y1變化到y(tǒng)2,此時自變量的改變量為Δx=x2-x1,函數(shù)值的改變量為Δy=y2-y1.探究一探究二思維辨析因不能正確理解平均變化率的概念而致誤探究一探究二思維辨析變式訓練函數(shù)y=x2-2x+1在x=-2附近的平均變化率為(

)A.-x-6C.-x-2解析:設(shè)y=f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,Δy=f(-2+Δx)-f(-2)=(-2+Δx-1)2-(-2-1)2=(-3+Δx)2-9=(Δx)2-6Δx,∴

=Δx-6,∴函數(shù)y=x2-2x+1在x=-2附近的平均變化率為Δx-6.答案:B探究一探究二思維辨析變式訓練函數(shù)y=x2-2x+1在x=-2123451.函數(shù)y=f(x)的自變量x由x0改變到x0+Δx時,函數(shù)值的改變量Δy等于(

)A