傳統(tǒng)的集合運算

11.傳統(tǒng)的集合運算

傳統(tǒng)的集合運算是二目運算，包括并、交、差、廣義笛卡爾積四種運算。

設關系R和關系S具有相同的目n（即兩個關系都有n個屬性），且相應的屬性取自同一個域。1.并（Union）

關系R與關系S的并由屬于R或?qū)儆赟的元組組成。其結(jié)果關系仍為n目關系。記作：

R∪S={t|t∈R∨t∈S}RS2ABC367257723443RABC345723SABC367257723443345R∪S32.差（Difference）

關系R與關系S的差由屬于R而不屬于S的所有元組組成。其結(jié)果關系仍為n目關系。記作：

R－S={t|t∈R∧tS}RS4ABC367257723443RABC345723SABC367257443R－SABC367S－R5⒊交（IntersectionReferentialintegrity）

關系R與關系S的交由既屬于R又屬于S的元組組成。其結(jié)果關系仍為n目關系。記作：

R∩S={t|t∈R∧t∈S}

交運算可以通過差運算來重寫：

R∩S=R-(R-S)RS6ABC367257723443RABC345723SABC723R∩S7⒋廣義笛卡爾積（Extendedcartesianproduct）

兩個分別為n目和m目的關系R和S的廣義笛卡爾積是一個(n+m)列的元組的集合。元組的前n列是關系R的一個元組，后m列是關系S的一個元組。若R有k1個元組，S有k2個元組，則關系R和關系S的廣義笛卡爾積有k1×k2個元組。記作：

RS={t|t=﹤tr，ts﹥∧trRtsS}8AB12RCD10102010EaabbSAB11112222CD1019201010102010EaabbaabbRx

S92.專門的關系運算

專門的關系運算包括選擇、投影、連接、除等。幾個記號：1.設關系模式為R(A1,A2,...,An)。它的一個關系設為R。t∈R表示t是R的一個元組。t[Ai]則表示元組t中相應于屬性Ai的一個分量。2.若A={Ai1,Ai2,...,Aik}，其中Ai1,Ai2,...,Aik是A1,A2,...,An中的一部分，則A稱為屬性列或域列。フA則表示{A1,A2,...,An}中去掉{Ai1,Ai2,...,Aik}后剩余的屬性組。t[A]=(t[Ai1],t[Ai2],...,t[Aik])表示元組t在屬性列A上諸分量的集合。103.R為n目關系，S為m目關系。trR，tsS，trts稱為元組的連接

（Concatenation）。它是一個(n+m)列的元組，前n個分量為R中的一個n元組，后m個分量為S中的一個m元組。⒋給定一個關系R(X,Z)，X和Z為屬性組。我們定義，當t[X]=x時，x在R中的象集（ImagesSet）為：Zx={t[Z]|t∈R,t[X]=x}

它表示R中屬性組X上值為x的諸元組在Z上分量的集合。XZ張軍同學所選修的全部課程x=張軍Zx姓名課程張軍物理王紅數(shù)學張軍數(shù)學課程數(shù)學物理11更名運算（了解）定義給一個關系表達式賦予名字x（E） 返回表達式E的結(jié)果，并把名字x賦給Ex（A1，A2，

，

An

）（E） 返回表達式E的結(jié)果，并把名字x賦給E，同時將各屬性更名為A1，A2，

，An

關系被看作一個最小的關系代數(shù)表達式，可以將更名運算施加到關系上，得到具有不同名字的同一關系。這在同一關系多次參與同一運算時很有幫助121.選擇（Selection）選擇又稱為限制（Restriction）。它是在關系R中選擇滿足給定條件的諸元組，記作：

σF(R)={t|t∈R∧F(t)=‘真’}

其中F表示選擇條件，它是一個邏輯表達式，取邏輯值‘真’或‘假’。

選擇運算實際上是從關系R中選取使邏輯表達式F為真的元組。選擇是從行的角度進行的運算。

13ABC367257723443RA<5(R)

ABC367257443A<5C=7(R)

ABC36725714例1查詢信息系（IS系）全體學生

σSdept=‘IS’(Student)

或

σ5='IS'(Student)

例2查詢年齡小于20歲的元組

σSage<20(Student)

或

σ4<20(Student)

補充：查詢年齡不小于20歲的男生AGE≥20∧SEX=‘男’（S）152.投影（Projection）關系R上的投影是從R中選擇出若干屬性列組成新的關系。記作：

ΠA(R)={t[A]|t∈R}

其中A為R中的屬性列。投影操作是從列的角度進行的運算。注意：投影結(jié)果中要去掉相同的行cbcfedcbaCBABCbcef

R

B,C(R)16例3查詢學生關系Student在學生姓名和所在系兩個屬性上的投影

ΠSname,Sdept(Student)

或

Π2,5(Student)

例4查詢學生關系Student中都有哪些系，即查詢學生關系Student在所在系屬性上的投影

ΠSdept(Student)

補充：Sname,Sage(S)Cno(Sno=95001

（SC））給出所有學生的姓名和年齡找001號學生所選修的課程號17廣義投影（了解）定義在投影列表中使用算術表達式來對投影進行擴展F1,F2

,…,Fn

(E)

F1,F2,…,Fn

是算術表達式示例求教工應繳納的所得稅P#

,SAL*5/100

(PROF)183.連接（Join）

連接也稱為θ連接。它是從兩個關系的笛卡爾積中選取屬性間滿足一定條件的元組。記作：

其中A和B分別為R和S上度數(shù)相等且可比的屬性組。

θ是比較運算符。連接運算從R和S的笛卡爾積R×S中選?。≧關系）在A屬性組上的值與（S關系）在B屬性組上值滿足比較關系θ的元組。

RS={trts|trR∧

tsS∧tr[A]θts[B]}AθBRS=r[A]S[B](

R×S)A

B19

連接運算中有兩種最為重要也最為常用的連接：一種是等值連接（equi-join）；另一種是自然連接（Naturaljoin）

θ為“＝”的連接運算稱為等值連接。它是從關系R與S的笛卡爾積中選取A、B屬性值相等的那些元組。即等值連接為：RS={trts|trR∧

tsS∧tr[A]=ts[B]}A=B20987654321CBADE3162ABCDE123311236245662

R

SB<D

RS21

自然連接（Naturaljoin）是一種特殊的等值連接，它要求兩個關系中進行比較的分量必須是相同的屬性組，并且要在結(jié)果中把重復的屬性去掉。即若R和S具有相同的屬性組B，則自然連接可記作：

一般的連接操作是從行的角度進行運算。但自然連接還需要取消了重復列，所以是同時從行和列的角度進行運算。當R與S無相同屬性時，RS＝R×SRS={trts|trR∧

tsS∧tr[B]=ts[B]}22AB12412CDaababrB13123DaaabbEs11112aaaabABCDErs23987654321CBACD3162ABCD12314562

R

S

RS244.除（Division）給定關系R(X,Y)和S(Y,Z)，其中X,Y,Z為屬性組。R中的Y與S中的Y可以有不同的屬性名，但必須出自相同的域集。R與S的除運算得到一個新的關系P(X)，P是R中滿足下列條件的元組在X屬性列上的投影：元組在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合。記作:

其中，Yx為x在R中的象集，x=tr[X]

除操作是同時從行和列的角度進行運算。R÷S={tr[X]|trR∧ΠY(S)Yx}RS=X(R)X(X(R)Y(S)R)25ABCDabcdabefabdebcefedcdedefCDcdefABabedABabbcedABCDabcdabefbccdbcefedcdedefAB(R)AB(R)CD(S)AB(R)CD(S)-RABCDbccdRS=ABabbcedABbc-=R

S

26例6

設關系R,S分別為圖2-9中的(a)和(b)，求R÷S的結(jié)果在關系R中，A可以取四個值{a1,a2,a3,a4}。其中：

a1的象集為{(b1,c2),(b2,c3),(b2,c1)}

a2的象集為{(b3,c7),(b2,c3)}

a3的象集為{(b4,c6)}

a4的象集為{(b6,c6)}S在(B,C)上的投影為{(b1,c2),(b2,c3),(b2,c1)}

顯然只有a1的象集(B,C)a1包含S在(B,C)屬性組上的投影，所以R÷S={a1}27課程數(shù)學物理＝姓名課程成績張軍物理93王紅數(shù)學86張軍數(shù)學93王紅物理92課程數(shù)學物理姓名課程張軍物理王紅數(shù)學張軍數(shù)學王紅物理姓名張軍王紅＝姓名成績張軍93選修了全部課程并且成績都相同的學生選修了全部課程的學生28習題1.求選修了1號或2號課程的學生號∏Sno(Cno=1∨

Cno=2(SC))∏Sno(Cno=1(SC))∪∏Sno(Cno=2(SC))方案1：方案2：292.求選修了1號而沒有選2號課程的學生號∏Sno(Cno=1(SC))－∏Sno(Cno=2(SC))303.求同時選修了1號和2號課程的學生號∏Sno(Cno=1

Cno=2(SC))∏Sno(Cno=1(SC))∩∏Sno(Cno=2(SC))×√∏Sno，Cno(SC)Cno=1

Cno=2(C)∏Sno(SCCno=1

Cno=2(C))×√314.求未選修1號課程的學生號方案1：∏Sno(S)－∏Sno(Cno=1(SC))

方案2：∏Sno(Cno≠1(SC))哪一個正確？SnoCnoGs1c190s2c195s1c296SnoSNAGEs1……s2……s3……√325.求僅選修了1號課程的學生號選修1號課程的學生－僅選1號課程之外的學生∏S#(C#=1(SC))－∏S#(SC－C#=1(SC))∏S#

(SC)－∏S#(C#<>1(SC))所有選課的學生－僅選1號課程之外的學生33S#C#SCOREP03C0288P01C0392S#P01P02S#P01P03S#P0234外連接（了解內(nèi)容）外連接為避免自然連接時因失配而發(fā)生的信息丟失，可以假定往參與連接的一方表中附加一個取值全為空值的行，它和參與連接的另一方表中的任何一個未匹配上的元組都能匹配，稱之為外連接外連接=自然連接+失配的元組外連接的形式：左外連接、右外連接、全外連接左外連接=自然連接+左側(cè)表中失配的元組右外連接=自然連接+右側(cè)表中失配的元組全外連接=自然連接+兩側(cè)表中失配的元組35外連接500李三P04600700800SAL孫立P03錢廣P02趙明P01PNP#化學C03數(shù)學C02物理C01CNC#P04C02P02C02P01C01P#C#數(shù)學C02500李三P04數(shù)學C02700錢廣P02物理C01800趙明P01CNC#SALPNP#所有老師的信息36外連接500李三P04600700800SAL孫立P03錢廣P02趙明P01PNP#化學C03數(shù)學C02物理C01CNC#P04C02P02C02P01C01P#C#數(shù)學C02500李三P04數(shù)學C02700錢廣P02物理C01800趙明P01CNC#SALPNP#所有課程的信息37外連接500李三P04600700800SAL孫立P03錢廣P02趙明P01PNP#化學C03數(shù)學C02物理C01CNC#P04C02P02C02P01C01P#C#數(shù)學C02500李三P04數(shù)學C02700錢廣P02物理C01800趙明P01CNC#SALPNP#所有老師和課程的信息38半連接F

RS

RSF

＝A()A是R中所有屬性的集合39賦值運算(了解)定義為使查詢表達簡單、清晰，可以將一個復雜的關系代數(shù)表達式分成幾個部分，每一部分都賦予一個臨時關系變量，該變量可被看作關系而在后面的表達式中使用臨時關系變量關系代數(shù)表達式賦值給臨時關系變量只是一種結(jié)果的傳遞，而賦值給永久關系則意味著對數(shù)據(jù)庫的修改40賦值運算示例RS=X(R)X(X(R)Y(S)R)用賦值重寫為：temp1

X(R)temp2

X(temp1Y(S)R)resulttemp1temp241聚集函數(shù)(不講)定義求一組值的統(tǒng)計信息，返回單一值使用聚集的集合可以是多重集，即一個值可以重復出現(xiàn)多次。如果想去除重復值，可以用連接符‘-’將‘distinct’附加在聚集函數(shù)名后，如sum-distinctsum：求和求全體教工的總工資sumSAL((PROF))

求001號學生的總成績sumSCORE(S#=001(SC))42聚集函數(shù)avg：求平均求001號同學選修課程的平均成績。avgSCORE(S#=001(SC))count：計數(shù)求001號同學選修的課程數(shù)。countC#(S#=001(SC))

求任課老師的總數(shù)。count-distinctP#(PC)43聚集函數(shù)max：求最大值

min：求最小值求學生選修數(shù)學的最高成績maxSCORE(CN=數(shù)學(C)SC))分組將一個元組集合分為若干個組，在每個分組上使用聚集函數(shù)。屬性下標G

聚集函數(shù)屬性下標（關系）對此屬性在每個分組上運用聚集函數(shù)按此屬性上的值對關系分組44聚集函數(shù)分組運算G的一般形式G1,G2,...,Gn

G

F1,A1,F2,A2,…,Fm,Am（E）

Gi是用于分組的屬性，F(xiàn)i是聚集函數(shù)，Ai是屬性名。

G將E分為若干組，滿足：

1）同一組中所有元組在G1,G2,...,Gn上的值相同。

2）不同組中元組在G1,G2,...,Gn上的值不同。示例求每位學生的總成績和平均成績S#GsumSCORE，avgSCORE（SC）45數(shù)據(jù)庫修改（不講）刪除將滿足條件的元組從關系中刪除rrE是對永久關系的賦值運算例：刪除001號老師所擔任的課程PCPC

PC#=001(PC)刪除沒有選課的學生SS

(∏S#(S)

∏S#

(SC))S關系關系代數(shù)表達式46數(shù)據(jù)庫修改插入插入一個指定的元組，或者插入一個查詢結(jié)果rr

E示例：新加入一個老師PCPC

{(P07,“周正”,750,D08)}示例：加入計算機系學生選修“數(shù)學”的信息SCSC∏S#(S

DN=計算機系

(DEPT))∏C#(CN=數(shù)學(C))47數(shù)據(jù)庫修改更新利用廣義投影改變元組的某些屬性上的值rF1,F2

,…,Fn(r)示例：給每位老師上調(diào)10%的工資PCP#,

PN,SALSAL*1.1,

D#

(PC)示例：對工資超過800的老師征收5%所得稅PCP#,

PN,SALSAL*0.95,

D#

(SAL800(PC))∪P#,

PN,SAL,

D#

(SAL800(PC))48視圖（不講）定義視圖是命名的、從基本表中導出的虛表，它在物理上并不存在，存在的只是它的定義視圖中的數(shù)據(jù)是從基本表中導出的，每次對視圖查詢都要重新計算createview

view_name

as<查詢表達式>視圖之上可以再定義視圖視圖Vs臨時關系變量視圖V1視圖V2基本表B1基本表B3基本表B249視圖視圖的優(yōu)點個性化服務簡化了用戶觀點，使不同用戶可以從不同角度觀察同一數(shù)據(jù)安全性“知必所需”，限制用戶數(shù)據(jù)的訪問范圍邏輯獨立性視圖作為基本表與外模式之間的映象50視圖示例給出老師所教授課程的信息createview

p_course

As

∏PN,CN(PROFPCC)給出李明老師所教授的課程名稱PN=李明

(p_course)51視圖視圖更新信息缺失createview

p_salary

as∏PN,SAL(PROF)

在視圖p_salary上執(zhí)行：p_salaryp_salary∪{(李明,800)}

在基本表PROF上執(zhí)行：PROF

PROF∪{(李明,800)}

往PROF中加入元組(李明,800)，缺主碼P#信息52視圖