應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

第7章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處各截面方向上的應(yīng)力的情況，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)?？捎蓢@該點(diǎn)的一個(gè)單元體面上的應(yīng)力表示。§7.1概述1、一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)目的：通過(guò)應(yīng)力狀態(tài)分析求出該點(diǎn)處的max、max及其作用面，從而更好地進(jìn)行強(qiáng)度分析。西南交通大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系材料力學(xué)教研室

單元體每個(gè)面上應(yīng)力均布；每對(duì)相互平行面上的性質(zhì)相同的應(yīng)力大小相等；可用截面法求任一截面上的應(yīng)力。單元體如何??？

在研究點(diǎn)的周?chē)∫粋€(gè)由三對(duì)互相垂直的平面構(gòu)成的六面體，該六面體的邊長(zhǎng)分別為無(wú)窮小量dx、dy和dz，如下圖所示。dydzdxzxy§7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析?主應(yīng)力

對(duì)圖a所示懸臂梁上A點(diǎn)處單元體上的應(yīng)力分布（圖b）可見(jiàn)：有一對(duì)平面上的應(yīng)力等于零，而不等于零的應(yīng)力分量都處于同一坐標(biāo)平面內(nèi)。ssttttAF(a)

adcbAa'b'd'c'(b)

adcbAttttss該應(yīng)力狀態(tài)則稱為平面應(yīng)力狀態(tài)，其單元體可簡(jiǎn)化為左圖所示情形。1、斜截面上的應(yīng)力已知如下圖a（或圖b）所示的一平面應(yīng)力狀態(tài)：efanaxyzabcdtxty(a)sxsytysysxtxdabctxtytxx(b)sxsxsysytyy可由截面法求與前、后兩平面垂直的斜截面上應(yīng)力。如圖b所示，斜截面ef的外法線與x軸間的夾角為，稱為截面。應(yīng)力的正負(fù)和斜截面夾角的正負(fù)規(guī)定：1）正應(yīng)力拉為正，壓為負(fù)；2）切應(yīng)力使單元體產(chǎn)生順時(shí)針旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)為正；反之為負(fù)；3）對(duì)角，x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)這一角度而與斜截面外法線重合時(shí)，其值為正；反之為負(fù)。取圖c所示分離體進(jìn)行分析。圖c中所示斜截面上應(yīng)力和斜截面夾角均為正。efbtytxatasa(c)sxsy由圖d所示體元上各面上的力的平衡，參考法線n和切線t方向可得：?ntsydAsina(d)bftydAsinatadAtxdAcosaesadAsxdAcosa由此可得，任一斜截面上的應(yīng)力分量為：?其中dA為斜截面ef的面積。解：C點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖b所示，其拉應(yīng)力和切應(yīng)力為：例：圖示圓軸中，已知：圓軸直徑d=100mm，軸向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C點(diǎn)=30°截面上的應(yīng)力。(b)Cxtxsxsxtxtytyy(a)xTFTCF

圖示斜截面上應(yīng)力分量為：Cxtxsxsxtxtytyy30°nst-30-30°°2、應(yīng)力圓由任一斜截面上應(yīng)力分量的計(jì)算公式可得：兩式兩邊平方后求和可得：而圓方程為：

可見(jiàn)前式實(shí)際上表示了在為水平軸、為垂直軸的坐標(biāo)系下的一個(gè)圓，其圓心坐標(biāo)為：半徑為：如下圖。單元體斜截面上應(yīng)力（，）和應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（，）一一對(duì)應(yīng)，因此可通過(guò)確定應(yīng)力圓上相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)求斜截面上應(yīng)力（，）。因?yàn)閳A心一定在軸上，只要知道應(yīng)力圓上的兩點(diǎn)（即單元體兩個(gè)面上的應(yīng)力），即可確定應(yīng)力圓。tsOC1）應(yīng)力圖的畫(huà)法已知x、y、x、y，如右圖，假定x>y。在、坐標(biāo)系內(nèi)按比例尺確定兩點(diǎn)：dabcefatxtytxxnasxsxsysytyy

以C為圓心，線段CD1或CD2為半徑作圓，即為應(yīng)力圓。連接D1、D2兩點(diǎn)，線段D1D2與軸交于C點(diǎn)。CC2）證明對(duì)下圖所示應(yīng)力圓可見(jiàn)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：

從D1點(diǎn)按斜截面角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)2得到E點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)值即為斜截面上的應(yīng)力分量值。C2sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Etxtysysxs12a02a由于可得：因此，C點(diǎn)坐標(biāo)為應(yīng)力圓圓心坐標(biāo)，并且

該線段長(zhǎng)度等于應(yīng)力圓半徑。從而證明上述圓確為應(yīng)力圓。則：另外，E點(diǎn)橫坐標(biāo)為：

可見(jiàn)，E點(diǎn)坐標(biāo)值即為斜截面上的應(yīng)力分量值。即：同理可得E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：由于應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)與單元體面上的應(yīng)力分量值一一對(duì)應(yīng)，因此，按比例作圖，可通過(guò)直接用尺子量出坐標(biāo)值來(lái)求任意斜截面上的應(yīng)力分量，此即稱為圖解法。解：按一定比例畫(huà)出應(yīng)力圓。

例：用圖解法求圖示=30°斜截面上的應(yīng)力值。因?yàn)閳D示應(yīng)力狀態(tài)有：x30°tx=35.7MPasx=63.7MPayn按一定比例，作出應(yīng)力圓，并找到斜截面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，量取其坐標(biāo)可得：則x、y截面在應(yīng)力圓上兩點(diǎn)為：EsDy(0,35.7)Dx(63.7,-35.7)60°-30°(s-30°，)20MPa3、主平面和主應(yīng)力對(duì)圖a所示應(yīng)力狀態(tài)，作出應(yīng)力圓（圖b）。

主平面：剪應(yīng)力=0的平面；主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力?？勺C明：并規(guī)定：可見(jiàn)：22s1a0s1sstxsy(a)tsODyDxCA2A12a0(b)具體值可在應(yīng)力圓上量取，即：主平面位置：圖a中1主平面的方位角0對(duì)應(yīng)于應(yīng)力圓（圖b）上的圓心角20。

主應(yīng)力值和主應(yīng)力平面的計(jì)算：由圖b可見(jiàn)，A1、A2兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，IV象限由此可得兩個(gè)主應(yīng)力值為：因?yàn)?主平面方位角的兩倍對(duì)應(yīng)于應(yīng)力圓上20，而

IV象限。注意：20的值與其所在的象限有關(guān)，而其所在象限與計(jì)算式中分子、分母的正負(fù)有關(guān)，即：I象限；II象限；III象限；所以，1主平面方位角0為：

例求圖a所示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及方向。

解：1、應(yīng)力圓圖解法：因?yàn)椋核裕喊匆欢ū壤鞒鰬?yīng)力圓（圖b）。ytx30MPa100MPa=40MPax(a)DxDyA3A120(b)

由應(yīng)力圓通過(guò)直接量取，并考慮主應(yīng)力的大小關(guān)系可得：由此可得：主應(yīng)力單元體以及主平面的方位如圖c所示：s1sa0s1yx(c)2、解析法：

所以：?例：兩端簡(jiǎn)支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖a和b所示，梁的尺寸見(jiàn)圖c。試通過(guò)應(yīng)力圓求截面C上a、b兩點(diǎn)處的主應(yīng)力。解：首先作出梁的剪力和彎矩圖如圖d和e所示：

(a)

B5m10mA250kNC(b)fza(c)

b12015270159(d)FS圖M圖(e)

M(kN·m)80x200kN50kNFSx由此可得C截面處的彎矩和截面左側(cè)的剪力為：又因?yàn)闄M截面的慣性矩和計(jì)算a點(diǎn)切應(yīng)力所需的靜矩為：且：由此可得C截面上a點(diǎn)處正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖f所示，選定適當(dāng)?shù)谋壤?，即可繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓，如圖g所示。ty(f)tyytxsxxtxsxsx=122.7MPatx=64.6MPaty=-64.6MPas/MPat/MPaOA1A2CD1(122.7,64.6)D2(0,-64.6)s3smax2a0(g)由應(yīng)力圓可得a點(diǎn)處的主應(yīng)力為：且：則1主平面的方位角0為：顯然，3主平面應(yīng)垂直與1主平面，示意圖如下：ys3s1tytytx