數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)

第5章時(shí)域離散系統(tǒng)的

基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法5.1引言5.2信號(hào)流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.3無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)(IIR)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.4有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)(FIR)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.5狀態(tài)變量分析法(1)、系統(tǒng)單位取樣響應(yīng)h(n)(2)、系統(tǒng)頻率響應(yīng)(3)、系統(tǒng)函數(shù)H(z)(4)、差分方程1、描述數(shù)字濾波器的方法第一節(jié)引言10/19/202222、數(shù)字濾波器分類(lèi)一個(gè)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)用差分方程表示為：對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)則表示為：10/19/20223第二節(jié)用信號(hào)流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)表示

由上式得系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的常系數(shù)線(xiàn)性差分方程

數(shù)字濾波器的功能就是把輸入序列通過(guò)一定的運(yùn)算變換成輸出序列實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器方法：1）計(jì)算機(jī)軟件2）專(zhuān)用數(shù)字硬件、數(shù)字信號(hào)處理器及通用數(shù)字信號(hào)處理器

數(shù)字濾波器基本實(shí)現(xiàn)單元：乘法器、單位延時(shí)和常數(shù)加法器10/19/20225三種基本運(yùn)算的流圖表示10/19/20226信號(hào)流圖由節(jié)點(diǎn)及與之連接的輸入輸出支路組成，節(jié)點(diǎn)變量等于所有輸入支路的信號(hào)之和。10/19/20227滿(mǎn)足以下條件的信號(hào)流圖稱(chēng)為基本信號(hào)流圖(PrimitiveSignalFlowGraphs):(1)信號(hào)流圖中所有支路都是基本的，即支路增益是常數(shù)或者是；(2)流圖環(huán)路中必須存在延時(shí)支路；(3)節(jié)點(diǎn)和支路的數(shù)目是有限的。不同的信號(hào)流圖代表不同的運(yùn)算方法，同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)可以有很多種信號(hào)流圖相對(duì)應(yīng)。10/19/20228經(jīng)過(guò)聯(lián)立求解得到：例求信號(hào)流圖決定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)解10/19/20229其單位脈沖響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)的，可表示為

其它nFIR網(wǎng)絡(luò)中一般不存在輸出對(duì)輸入的反饋支路，因此差分方程用下式描述：IIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)存在輸出對(duì)輸入的反饋支路，即信號(hào)流圖中存在環(huán)路，網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)。10/19/2022103、信號(hào)流圖轉(zhuǎn)置定理將支路倒向，輸入輸出符號(hào)互換，則系統(tǒng)函數(shù)不變。10/19/202211第三節(jié)

IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（IIR）特點(diǎn)：1）系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)是無(wú)限長(zhǎng)的。2）系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面上有極點(diǎn)存在。3）存在輸出到輸入的反饋，即結(jié)構(gòu)是遞歸的?；窘Y(jié)構(gòu)有：直接I型、直接II型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型10/19/202212一、直接型1、直接I型10/19/2022132、直接II型直接I型直接II型10/19/202214例IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為畫(huà)出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。解由H(z)寫(xiě)出差分方程如下：10/19/202215二、級(jí)聯(lián)型特點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)—系統(tǒng)結(jié)構(gòu)調(diào)整靈活缺點(diǎn)—存在積累誤差10/19/202216例設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：試畫(huà)出其級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。解將H(z)分子分母進(jìn)行因式分解，得到10/19/2022173.并聯(lián)型將H(z)展開(kāi)部分分式形式，得IIR并聯(lián)型結(jié)構(gòu)優(yōu)點(diǎn)—速度快、調(diào)整極點(diǎn)方便、量化誤差低缺點(diǎn)—調(diào)整零點(diǎn)不方便Hi(z)通常為一階網(wǎng)絡(luò)和二階網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)均為實(shí)數(shù)。二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)一般為10/19/202218例畫(huà)出上題中的H(z)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解將上例中H(z)展成部分分式形式：將每一部分用直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，其并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖所示。10/19/202219第四節(jié)

FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：1）系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)有有限個(gè)n值處不為零。2）系統(tǒng)函數(shù)H(Z)在|z|>0處收斂，在|z|>0處只有零點(diǎn)，全部極點(diǎn)都在z=0處。3）非遞歸結(jié)構(gòu)，沒(méi)有輸出到輸入的反饋。設(shè)單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)差分方程為

10/19/202220一、直接型FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

按照H(z)或者差分方程直接畫(huà)出結(jié)構(gòu)圖，這種結(jié)構(gòu)稱(chēng)為直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者稱(chēng)為卷積型結(jié)構(gòu)。10/19/202221二、級(jí)聯(lián)型將H(z)進(jìn)行因式分解，并將共軛成對(duì)的零點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)系數(shù)為實(shí)數(shù)的二階形式，這樣級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就是由一階或二階因子構(gòu)成的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中每一個(gè)因式都用直接型實(shí)現(xiàn)。H(z)=H1(z)H2(z)H3(z)……10/19/202222例題：設(shè)FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：

H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3

畫(huà)出H(z)的直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。y(n)x(n)z－1z－1z－10.9622.81.5z－1z－1z－1x(n)0.60.51.623y(n)解：將H(z)進(jìn)行因式分解，得到：10/19/202223第五節(jié)狀態(tài)變量分析法狀態(tài)方程和輸出方程狀態(tài)變量分析法有兩個(gè)基本方程：狀態(tài)方程和輸出方程。

狀態(tài)方程把系統(tǒng)內(nèi)部一些稱(chēng)為狀態(tài)變量的節(jié)點(diǎn)變量和輸入聯(lián)系起來(lái)；輸出方程則把輸出信號(hào)和那些狀態(tài)變量聯(lián)系起來(lái)。10/19/202224

將以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)寫(xiě)成矩陣形式：信號(hào)流圖有兩個(gè)延時(shí)支路，因此建立兩個(gè)狀態(tài)變量w1(n)和w2(n)，流圖中其它節(jié)點(diǎn)、輸出y(n)與狀態(tài)變量之間的關(guān)系：10/19/202225信號(hào)流圖中兩個(gè)延時(shí)支路輸出節(jié)點(diǎn)定為狀態(tài)變量w1(n)和w2(n)。按照信號(hào)流圖寫(xiě)出以下方程：10/19/202226用矩陣符號(hào)表示：

將以上寫(xiě)成矩陣形式：狀態(tài)方程輸出方程10/19/202227若系統(tǒng)中有N個(gè)單位延時(shí)支路，M個(gè)輸入信號(hào)：x1(n),x2(n),…,xM(n)，L個(gè)輸出信號(hào)y1(n),y2(n),…，yL(n)，則狀態(tài)方程和輸出方程分別為10/19/202228例建立下圖的狀態(tài)方程和輸出方程。圖中有兩個(gè)延時(shí)支路，分別建立兩個(gè)狀態(tài)變量w1(n)和w2(n)，列出延時(shí)支路輸入端節(jié)點(diǎn)方程如下：將上式寫(xiě)成矩陣方程：10/19/202229輸出信號(hào)y(n)的方程推導(dǎo)如下：將代入上式：10/19/202230(1)畫(huà)出H(z)的級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；(2)根據(jù)已畫(huà)出的流圖寫(xiě)出其狀態(tài)方程和輸出方程。例已知系統(tǒng)函數(shù)H(z)為10/19/202231在延時(shí)支路輸出端建立狀態(tài)變量w1(n)、w2(n)和w3(n)。寫(xiě)出狀態(tài)變量：

將以上三個(gè)方程寫(xiě)成矩陣方程：10/19/202232輸出方程為將代入上式，得：將y(n)寫(xiě)成矩陣方程，即是要求的輸出方程：10/19/202233例已知FIR濾波網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)為解畫(huà)出直接型結(jié)構(gòu)如圖所示，在延時(shí)支路輸出端建立狀態(tài)變量w1(n)、w2(n)和w3(n)。根據(jù)參數(shù)矩陣中各元素的意義，直接寫(xiě)出狀態(tài)方程和輸出方程如下：10/19/202234設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：

將上面兩式進(jìn)行Z變換

2.狀態(tài)變量分析法到輸入輸出分析法轉(zhuǎn)換式中10/19/202235求該網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)。解例已知二階網(wǎng)絡(luò)的四個(gè)參數(shù)矩陣如下：10/19/202236系統(tǒng)頻響決定于H(z)的零、極點(diǎn)分布。設(shè)H(z)=B(z)/A(z)，其極點(diǎn)為A(z)=0的解。A(z)稱(chēng)為A矩陣的特征多項(xiàng)式，其根為A矩陣的特征值，因此A矩陣的特征值就是H(z)的極點(diǎn)。如果A矩陣全部特征值的模均小于1，系統(tǒng)因果穩(wěn)定，否則系統(tǒng)因果不穩(wěn)定。特征值λ1=1,λ2=2極點(diǎn)z1=１，z2=210/19/202237方程式左端是n+1時(shí)刻的狀態(tài)變量矢量，右端是n時(shí)刻的狀態(tài)變量矢量和輸入x(n)的線(xiàn)性組合。由起始值W(n0)，用遞推法求出W(n)的時(shí)域解：

將狀態(tài)方程重寫(xiě)如下：10/19/202238將n′換成n，則為求單位脈沖響應(yīng)，將上式中的x(n)用δ(n)代替，W(n)用零狀態(tài)響應(yīng)代替，且令n0=0，此