高中數(shù)學(xué) 奧賽輔導(dǎo)第一講 集合概念及集合上的運(yùn)算

1111第一講

集合概及合上的算知識(shí)、方法、技能高中一年級(jí)數(shù)學(xué)（上本課本中給出了集合的概念；一般地，符合某種條件（或有某種性質(zhì)）的對(duì)象集中在一起就成為一個(gè)集合在此基礎(chǔ)上，介紹了集合元素的確定性、互異性、無序性.深入地逐步給出了有限集限合的列舉法述和集、真子集、空集、非空集合全集、補(bǔ)集、并集等十余個(gè)新名詞或概念以及二十幾個(gè)新符號(hào)此形成了在集合上的運(yùn)算問題，形成了以集合為背景的題目和用合表示空間的線面及其關(guān)系面平面軌跡及其關(guān)系，表示充要件，描述排列組合，用集合的性質(zhì)進(jìn)行組合計(jì)數(shù)等綜合型題目.賽題精講Ⅰ．集合中待定元素的確充分利用集合中元素的性和集合之間的基本關(guān)系往解決某些以集合為背景的高數(shù)學(xué)競(jìng)賽題.看下述幾例例：點(diǎn)

{,yx

11y)lgy}39

中元素的個(gè)數(shù).【思路分析】應(yīng)首先去對(duì)將之化為代數(shù)方程來解之【略解】由所設(shè)知

11y及3y3,39由平均值不等式，有x39

11(x)3)),39當(dāng)且僅當(dāng)

3

11113即y399

（虛根舍去）時(shí)，等號(hào)成.

故所給點(diǎn)集僅有一個(gè)元素【評(píng)述】此題解方程中，用了不等式取等號(hào)的充要條件，是一種重要解題方法，應(yīng)注意掌之例2：

已

知A{

2

},B{y|

2

2,R}.求.【思路分析】先進(jìn)一步確集合、B.【略解】

y(x2)又y23.

{y故A|y3}.【評(píng)述】此題應(yīng)避免如下誤解法：聯(lián)立方程組x

消去

y,2x2x0.

因方程無實(shí)根故

AB

.這里的錯(cuò)因是將A的素誤解為平面上的點(diǎn)了這兩條拋物線沒有交點(diǎn)是實(shí)數(shù).但這不是拋物線的值域.例：知合

A{(y)x|,aBxy|||}.若

AB

是平面上正八邊形的頂點(diǎn)構(gòu)成的集合，則a的值為.【思路分析】可作圖，以形結(jié)合法來解之.【略解】點(diǎn)集A是頂點(diǎn)（，0－）的正方形的四條邊構(gòu)成（圖Ⅰ－1－1－1）.將

xy|

，變形為

(|x|0,所以，集合B是四直線

xy

構(gòu)成.欲使

AB

為正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成只有

a或1a2

這兩種情

況（1）當(dāng)2時(shí)由于正八形的邊長只能為2，顯然有

2故

a2

.（2）當(dāng)

12

時(shí)，設(shè)正八形邊長為，則這時(shí)，

a

l2

2.綜上所述，的為如圖Ⅰ－1中

2,A2,0),B(22,0).

圖Ⅰ－－－1【評(píng)述】上述兩題均為1987全國高中聯(lián)賽試題，題目并不難，讀者應(yīng)從解題過程中體會(huì)類題目的解法Ⅱ．集合之間的基本關(guān)系充分應(yīng)用集合之間的基本系（即子、交、并、補(bǔ)往能形成一些頗具技巧的集合合題請(qǐng)下幾例例4：

設(shè)

集

合n1n1A{Z},B{n|Z},n|Z},{Z},2236

則在

下

列

關(guān)

系

中，

成

立

的

是（A．

）BDB．

ADC．

ACD

D．

AD【思路分析】應(yīng)注意數(shù)的征，即

1nnZ.236【

解

法1】∵

n1n1A{|Z},Bn|Z},|Z},DZ},23∴

ACD

.故應(yīng)選C.【解法2】如果把A與角的集合相對(duì)應(yīng)，令結(jié)論仍然不變，顯然A′為終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合B′終邊在x軸上的角的集合C′終邊在y軸的角的集合′為終邊在y軸上及在直線

33

上的角的集合，故應(yīng)選（【評(píng)述解法1是直法解法運(yùn)轉(zhuǎn)化思想把已知的四個(gè)集合的元素轉(zhuǎn)化為我們熟悉的角的集合研角的終邊思路清晰易懂，實(shí)屬巧思妙.例5：有合

A{|x

2

]2}和B{x2},B和A

（其中[]表不超過實(shí)數(shù)之值的最大整數(shù).【思路分析】應(yīng)首先確定合A與B.從而

x顯,

∴

A|x2}.若

x,則x

2

x]2,[]{1,0,從而得出

xx]xx]

于是

{3}【評(píng)述】此題中集合B中素滿“x|<3”，會(huì)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果，讀者試解之例：

設(shè)f()

(cR且A{|xf(x),},B|xf[f(x)],R}

，如果A為含個(gè)素集合，則A=B.【思路分析】應(yīng)從A為含一個(gè)元素的集合入手，即從方程

f(x0

有重根來解之.【略解】設(shè)

R},則方程f(x)

有重根

，于是f(x2f(x)(xx從而f[f即x[(xx2整理得

2

2

因

x,

均為實(shí)數(shù)x

2

故x

即

B}A【評(píng)述】此類函數(shù)方程問，應(yīng)注意將之轉(zhuǎn)化為一般方程來解之.例7：已知

{(,y|y

2

},N{(x)|

2

)

2

求N

成立時(shí)，需足的充要條件.【思路分析】由

M可知M.【略解】

M.由

x

2

)

2

得x

2

yy

2

ay

2

).

于是，若

2

2

0

①必有

yx2即N

而①成立的條件是

)(2

2

即

4(12)(2a

解得

1a.4【評(píng)述】此類求參數(shù)范圍問題，應(yīng)注意利用集合的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為不等式問題來求解例：A是坐標(biāo)平面的兩個(gè)點(diǎn)集，

C{()r

2

y

2

r

2

}.若對(duì)任何r0都有Crr

則有A.此題是否正確？【思路分析】要想說明一命題不正確，只需舉出一個(gè)反例即可.【略解】不正確反例：取

A{(x,)x

2

y

2

B為A去掉0）的合

容易看出

CAC,rr

但A不含B中【評(píng)述本題這種舉反例定命題的正確與否的方法十分重要注意掌握之Ⅲ．有限集合中元素的個(gè)有限集合元素的個(gè)數(shù)在課P介了如下性質(zhì)：23一般地，對(duì)任意兩個(gè)有限合A，我們還可將之推廣為：一般地，對(duì)任意n個(gè)有限合

A,,12

有應(yīng)用上述結(jié)論，可解決一求有限集合元素個(gè)數(shù)問題【例9】某班期末對(duì)數(shù)學(xué)物理、化學(xué)三科總評(píng)成績有21個(gè)秀物理總評(píng)人秀學(xué)總評(píng)有20優(yōu)秀數(shù)和物理都優(yōu)秀的有9人和學(xué)優(yōu)的有7人和數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有8人試確定全班人數(shù)以及僅數(shù)僅理僅學(xué)單科優(yōu)秀的人數(shù)范圍（該班有5名生有一科是優(yōu)秀）【思路分析】應(yīng)首先確定合，以便進(jìn)行計(jì)算【詳解】設(shè)A={數(shù)學(xué)總優(yōu)秀的學(xué)生}，B={理總評(píng)優(yōu)秀的學(xué)}，C={化學(xué)總評(píng)優(yōu)秀的學(xué)生.則∵

card(A)card()card()20,card(A)card(C)7,()8.card()A)card()()AB)(C)card(A)(BCcard(BC)(ABC2120

∴這里，

(B)

是數(shù)、理、化中至少一門優(yōu)秀的人數(shù)，(B)

是這三科全優(yōu)的人數(shù).可，估計(jì)

(C)

的范

圍的問題與估計(jì)

(B)

的范圍有關(guān)注意到知

(C)(A),(B(C)}

，可0()7

.

因而可得

36cardA)又∵

()(B)card),ard(C)∴

41()

這表明全班人數(shù)在41~48人之間僅數(shù)學(xué)優(yōu)秀