二面角(教師版)

NO.*二面角教師版一、基本觀點(一).求二面角的主要方法：1）定義法：①找（作）二面角的平面角；【先證】②解三角形求出角?！竞笏恪縎射影三角形（2） 公式法：設(shè)二面角的度數(shù)為 θ，則cosS側(cè)面三角形多用于求無棱二面角。(二) 求作二面角的平面角求作二面的平面角是解決二面角問題的關(guān)鍵，也是難點，通過前面教學(xué)及習(xí)題涉及到的作法有下面三種：1.定義法：利用二面角的平面角定義，在二面角棱上取一點，過該點在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的射線、兩射線所成角就是二面角的平面角 .2.三垂線法：利用三垂線定理及逆定理通過證明線線垂直，找到二面角的平面角，關(guān)鍵在找面的垂線.3.垂面法：作一與棱垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交，得到交線，交線所成的角為二面角的平面角.二.求二面角的大小的基本方法為先證后算 ,即先由有關(guān)立幾結(jié)論找出二面角的平面角(大多數(shù)題是用三垂線法去找 ),然后借助于解三角形求出平面角 .例題解析題1: 設(shè)P是二面角 α－l－β內(nèi)一點，P到面α、β的距離PA、PB分別為8和5，且AB＝7，求這個二面角的大小。解：作AC⊥l于c，連結(jié)BC∵PA⊥α，l α ∴PA⊥l又AC⊥l，AC∩PA＝A∴l(xiāng)⊥平面PAC∴l(xiāng)⊥PC∵PB⊥β，lβ∴PB⊥l又PB∩PC＝P∴l(xiāng)⊥平面PBC∴平面PAC與平面PBC重合，且l⊥BC∴∠ACB就是所求的二面角△PAB中，PA＝8，PB＝5，AB＝70∴∠P＝60∴∠ACB＝1200題2.在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5 5.（如圖9—21）（Ⅰ）證明： SC⊥BC；（Ⅱ）求側(cè)面 SBC與底面ABC所成二面角的大小；（Ⅰ）證明：∵∠ SAB=∠SAC=90°， ∴SA⊥AB，SA⊥AC.又AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC.由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，由三垂線定理，得 SC⊥BC.（Ⅱ）解：∵ BC⊥AC，SC⊥BC∴∠SCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角 .1N0.*NO.*在Rt△SCB中，BC=5，SB=55.得SC=SB2BC2=10AC51在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=102SC∴∠SCA=60°，即側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°.題3.如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是線段EF的中點。E（1）求證AM//平面BDE；M（2）求二面角ADFB的大??；FCB3）試在線段AC上確定一點P，使得PF與BC所成的角是60。解:(Ⅰ)記AC與BD的交點為O,連接OE,∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，DA∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE?！逴E平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE。(Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結(jié)BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD， AD AF A,AB⊥平面ADF，AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線定理得BS⊥DF?！唷螧SA是二面角A—DF—B的平面角。在RtASB中，AS6,AB2,3tanASB3,ASB60,∴二面角 A—DF—B的大小為60o。（Ⅲ）設(shè) CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，AB AF A，∴PQ⊥平面ABF，QE 平面ABF，PQ⊥QF。在RtPQF中，∠FPQ=60o，PF=2PQ。PAQ為等腰直角三角形，∴PQ2(2t).22N0.*NO.*又∵ PAF為直角三角形，∴PF (2 t)2 1，∴ (2 t)2 1 2 2(2t).2所以t=1或t=3(舍去)即點P是AC的中點。題4.如圖，在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，已知 AB=2，AA1=2 2，M為棱A1A上的點，若A1C⊥平面MB1D1。（Ⅰ）確定點M的位置；（Ⅱ）求二面角D1－MB1－B的大小。解：（Ⅰ）連結(jié)A1D，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，側(cè)面ADD1A1為矩形，A1C⊥平面MB1D1，∴A1C⊥D1M，因此A1C在平面AD1上的射影A1D⊥D1M，∴△A1MD1∽△D1A1D，A1D1242,因此M是A1A的中點?！郃1M=22DD1（Ⅱ）引A1E⊥B1M于E，連結(jié)D1E，則A1E是D1E在平面BA1上的射影，由三垂線定理可知D1E⊥B1M，∴∠A1ED1是二面角D1－MB1－B的平面角的補角，由（Ⅰ）知，A1M=2，則∴A1ED1,3∴二面角D1－MB1－B等于2.3題5.如圖所示，ADB和CBD都是等腰直角三角形，且它們所在的平面互相垂直，ADBCBD90,ADa（I）求異面直線 AD、BC所成的角。（II）設(shè)P是線段AB上的動點，問P、B兩點間的距離多少時,PCD與BCD所在平面成45的二面角?；解：（I）ADB90ADBDAD面CBD面ADB面CBD，面ADB面CBDBDBC面CBDADBC異面直線AD、BC所成角為90。4分（II）過點P作PEBD于E，過點E作EFCD于F，連結(jié)PF。PFE45。設(shè)PBx，則在RtPEB中，PEBE2x，23N0.*NO.*在RtDFE中，EF221DEax222在RtPEF中，EFPE，2a1x2x，x(22)a222題6.四棱錐ABCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC底面BCDE，BC2，CD2，ABAC．（Ⅰ）證明：ADCE；A（Ⅱ）設(shè)CE與平面ABE所成的角為45，求二面角CADE的大小的余弦值．BE解：（1）取BC中點F，連接DF交CE于點O，ABAC，AFBC，CD又面ABC面BCDE，AF面BCDE，AFCE．tanCEDtanFDC2，2OEDODE90，DOE90，即CEDF，CE面ADF，CEAD．（2）在面ACD內(nèi)過C點作AD的垂線，垂足為G．18題圖CGAD，CEAD，AD面CEG，EGAD，則CGE即為所求二面角的平面角．CGACCD23，DG6，EGDE2DG230，AD333CE6，則cosCG2GE2CE210CGE2CGGE，10題7:如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中點，截面DAN交PC于M.（Ⅰ）求PB與平面ABCD所成角的大??；（Ⅱ）求證：PB⊥平面ADMN；（Ⅲ）求以 AD為棱，PAD與ADMN 為面的二面角的大小.解：（I）取AD中點O，連結(jié)PO，BO.△PAD是正三角形，所以PO⊥AD，4N0.*NO.*又因為平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，BO為PB在平面ABCD上的射影，所以∠PBO為PB與平面ABCD所成的角由已知△ABD為等邊三角形，所以 PO=BO= 3，所以PB與平面ABCD所成的角為 45°.（Ⅱ）△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，所以AD⊥PB，又，PA=AB=2，N為PB中點，所以AN⊥PB，所以PB⊥平面ADMN.（Ⅲ）連結(jié)ON，因為PB⊥平面ADMN，所以O(shè)N為PO在平面ADMN上的射影，因為AD⊥PO，所以AD⊥NO，故∠PON為所求二面角的平面角.因為△POB為等腰直角三角形， N為斜邊中點，所以∠ PON=45°，即所求二面角的大小為 45°題8.如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面 PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面 PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小的正弦值 ..解:（Ⅰ）如圖所示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等邊三角形.因為E是CD的中點，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因為PA⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA AB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE 平面PBE，所以平面 PBE⊥平面PAB.（Ⅱ）延長 AD、BE相交于點 F，連結(jié)PF.過點A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因為∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG.則AG⊥PF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角） .在等腰Rt△PAF中，AG2PA2.2在Rt△PAB中，AHAPABAPAB225.PBAP2AB2555N0.*NO.*25所以，在Rt△AHG中，AH510.sinAGH25AG故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小的正弦值是10.5二面角作業(yè)班次姓名題9.如圖：在二面角 l 中，Ａ、Ｂ ，Ｃ、Ｄ l，ＡＢＣＤ為矩形， p ，PA ，且ＰＡ＝ＡＤ，Ｍ、Ｎ依次是ＡＢ、ＰＣ的中點，求二面角 l 的大小.解：連結(jié) PD∵ABCD為矩形∴AD⊥DC, 即又PA⊥,∴PD⊥l,PAD為二面角l的平面角，又∵PA⊥AD，PA=AD0∴ PAD是等腰直角三角形，∴ PDA=45，即二面角

l 的平面角為 450。題10.如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AD上移動.1）證明：D1E⊥A1D；（2）AE等于何值時，二面角 D1—EC—D的大小為 .420．解法（一）1）證明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E2）過D作DH⊥CE于H，連D1H、DE，則D1H⊥CE，∴∠DHD1為二面角 D1—EC—D的平面角.設(shè)AE=x，則BE=2－x2題11.如圖，正三棱柱 ABC－A1B1C1中，底面邊長為 a，側(cè)棱長為 2a，若經(jīng)過AB1且與BC1平行的平面交上底面于 DB1．1）試確定點D的位置，并證明你的結(jié)論；2）求二面角A1－AB1－D的大?。猓海?）D為A1C1的中點（D也可以是△A1B1C1的邊A1C1中線上任一點）．連結(jié)A1B與AB1交于E，則E為A1B的中點，DE為平面ABB1A1D與平面A1BC1的交線，∵BC1∥平面AB1D，∴BC1∥DE，∴D為A1C1的中點．（2）過D作DF⊥A1B1于F，6N0.*NO.*由正三棱柱的性質(zhì)， AA1⊥DF，∴DF⊥平面ABB1A1，連結(jié)EF，DE，在正三角形 A1B1C1中，∵D是A1C1的中點，∴B1D＝33a，2A1B1＝2又在直角三角形AA1D中，223∵AD＝AA1＋A1D＝2a，∴AD＝B1D．∴DE⊥AB1，∴可得EF⊥AB1，則∠DEF為二面角A1－AB1－D的平面角．（10分）可求得DF＝43a，3∵△B1FE∽△B1AA1，得EF＝4a，π∴∠DEF＝，即為所求．4題12.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐Ｓ—ABCD中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面，ABCDSA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝1．2求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．解：延長 BA、CD相交于點E，連結(jié)SE，則SE是所求二面角6∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ∵ＳＡ⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線.又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB，故SB是SC在面SEB∴⊥CSＳＥ所以∠ＢＳＣ10∵ＳＢ＝SA2AB22,BC1,BCSB∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝BC2SB2即所求二面角的正切值為2S2題13.已知四棱錐S--ABCD的底面ABCD是正方形，SA底E面ABCD，點E是SC上任意一點.（Ⅰ）求證：平面 EBD 平面SAC；

F M（Ⅱ）設(shè) SA=4，AB=2，求點A到平面SBD的距離；

A

DOB C7N0.*NO.*（Ⅲ）當(dāng)SA的值為多少時，二面角B-SC-D的大小為120°。AB解法一：證明（Ⅰ）：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC,∵SA底面ABCD，BD面ABCD，∴SABD，∵SAAC=A，∴BD面SAC，又∵BD面EBD，∴平面EBD平面SAC????4分解（Ⅱ）：由（Ⅰ）知，BD面SAC，又∵BD面SBD，∴平面SBD平面SAC，設(shè)ACBD=O，則平面SBD平面SAC=SO，過A作AFSO交SO于點F,則AF面SBD，所以線段AF的長就是點A到平面SBD的距離.∵ABCD是正方形，AB=2，∴AO=2，32，又∵SA=4，△SAO是Rt△，∴SO=∵SOAF=SAAO，∴AF=4，∴點A到平面SBD的距離為4??????9分33解（Ⅲ）：作BM⊥SC于M，連結(jié)DM，∵SA底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM.????????????11分要使∠BMD=120°,只須BM2DM2BD2cos120，2BMDM21222222即BM=3BD，而BD=2AB，∴BM=AB，322222222∵BMSC=SBBC，SC=SB+BC，∴BMSC=SBBC，∴3∵AB=BC，∴2SB2+2AB2=3SB2，∴SB2=2AB2，

22)=SB2BC2，AB(SB2+BC又∵AB2=SB2-SA2，∴AB2=SA2，∴SA1，故當(dāng)SAAB1時，二面角B-SC-D的大小為1200???????????14分AB題14.如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，PA=PD=2，底面ABCD是直角梯形，其中BC//AD，ABAD，AD2AB2BC22（Ⅰ）求直線 PC與平面PAD所成的角；（Ⅱ）求二面角 A-PB-C的大小。I）取AD中點O，連結(jié)OP、OC，由已知易知，ABCO為正方形，∴OC⊥AO，又平面PAD⊥平面ABCD，∴OC⊥平面PAD，

P8N0.*ADB CNO.*于是∠CPO為直線PC與平面PAD所成的角。 ??????3分OP是等腰三角形底邊上的中線， PA=2，OA= 2，則OP= 2，又OC=AB=2，∴∠CPO=45°，即直線 PC與平面PAD所成的角為 45°。?????? 6分II）由（I）知，OP⊥AD，則OP⊥平面ABCD，又BC⊥OC，AB⊥OA，∴BC⊥PC，AB⊥PA，∵BC=AB，PB=PB，∴Rt△PCB≌△PAB。作CE⊥PB，垂足為E，連結(jié)AE，則AE⊥PB，∠AEC為二面角 A—PB—C的平面角。 ??????9分在Rt△PCB中，BC2,PC2,PB6,則CE