2020屆高考?jí)狠S題系列之 等差等比與裂項(xiàng)相消法求和(文) 教師版

壓軸題系列等差等比與裂項(xiàng)相消法求和例1?已知在等差數(shù)列｛a｝中，a=5，a=3a?n3176(D求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;n⑵設(shè)b=1nn(⑵設(shè)b=1nn(a+3)n，求數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和S?nn【答案】(1)an=2n—1；⑵Sn=啟【解析】⑴設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d，na=53a=53a=3a176，可得a+2d=5i,a+16d=3(a+5d)ii解得a=1,d=2,i所以｛a｝的通項(xiàng)公式為a=2n—1?nn亠亠111(2)b===—(——nn(a+3)2n(n+1)2nn+1n所以s=丄(1—b+h1—丄)++丄(丄一丄)=—n222232nn+12n+2例2?已知等比數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a+3a=1,a2=9aan12326(D求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;n(2)設(shè)(2)設(shè)b=loga+loga+n111233+loga，求數(shù)列｛—｝的前n項(xiàng)和T?TOC\o"1-5"\h\z1nbn「.=2「.=2nnn+1【答案(1)a=-;(2)Sn3n)【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛a｝的公比為q，n1由a=9a2a6，得a=9a〔所以q2=9,1由條件可知q>0，故q=3,

由2a+3a=112得2a+3aq=由2a+3a=112得2a+3aq=111所以ai二j5故數(shù)列｛a｝得通項(xiàng)公式為a—-.nn3n⑵b—loga+loga++loga—1+2+3+n丄112丄n333+n-2斗12JI、故一——2(_-)?；bn(n+1)nn+1n11—++

bb12+Sn11—++

bb12+r—2[(1-2)+(2-3)+n+(--

n—)]—n+1TOC\o"1-5"\h\z12n綜上所述，數(shù)列｛—｝的前n項(xiàng)和S?—-■…bnn+1n例3?已知數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)a—1，且a+1是a+1與a+2的等比中項(xiàng).n1324(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;n2)設(shè)b2)設(shè)bnaann+1，求數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和S.nn【答案】(1)a—2n-1;(2)S—nn2n+1【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為d,n■'a—1，且a+1是a+1與a+2的等比中項(xiàng),TOC\o"1-5"\h\z1324???(a3+1)2—(a2+1)(a4+2)，二(2+2d)2—(2+d)(3+3d)，二d—2或d—-1,當(dāng)d—-1時(shí)，a+1—0,與a+1是a+1與a+2的等比中項(xiàng)矛盾，舍去，3324二數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a—2n-1.nn2)2)b————naa(2n-1)(2n+1)2n-12n+12(2n-2(2n-1)(2n+1)S-三+丄+丄+n1x33x55x7-1-1+1-1+1-1++丄一丄-1-丄亠33557…2n-12n+12n+12n+1221?已知數(shù)列⑴為等差數(shù)列，篤-a2=10，且a1，a6a2］依次成等比數(shù)列.（】）求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;n1（2）設(shè)1?已知數(shù)列⑴為等差數(shù)列，篤-a2=10，且a1，a6a2］依次成等比數(shù)列.（】）求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;n1（2）設(shè)b=，數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和為S，若Snaann+1=25，求n的值.【答案】(1)a=2n+3；(2)n=10.n【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛a｝為公差為d的等差數(shù)列,篤一a2=10，即5d=10，即d=2,aa6,a依次成等比數(shù)列，可得a62=aa16216121即(a+10)2=a(a+40)解得a=5111'1，貝I」a=5+2(n一1)=2n+31(2)b=-^-naann+1(2n+3)(2n+5)22n+32n+5即有前n項(xiàng)和為S=丄(丄--+---++1n257791)=1(112n+32n+52(5_2n+5n5(2n+5)2由S-25，可得5n=4n+10，解得n.亍.1°2?已知等比數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=1，公比為q?等差數(shù)列｛b｝中,1nb=3，且｛b｝的前n項(xiàng)和為1n(1)求｛a｝與｛b｝的通項(xiàng)公式;設(shè)數(shù)列｛c｝滿足cni求｛c｝的前n項(xiàng)和T.nn【答案】(1)a=3n-1n3nb=3n；(2)T=斗

nnn+1【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛b｝的公差為d,a+a+S=2733Sq=-^aq2+3d=186+d=q255—3n—1，b—3n．n2）由題意得S—n(3+3n2）n2=9==9=92(—苗—n(n+1)n—3[(1-—)+(——)+2231)—3(-—匕),nn+1+(丄一丄)]-也nn+1n+13．已知等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S，且a+a—12,S—3．nn163（1）求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;2)若b=2)若b=nn十，求數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和T.S-Snnnn+1答案（1）a答案（1）an—2n—1；⑵=—侖—1解析（1）設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為d，則＜n2at5d=121，解得a=13at3d=911S-S■b—nn+1—b—nS-SnS-S■b—nn+1—b—nS-Snnn+1■nt!1—1=SS(n+1)2n2n+1n二T=b+b+b+n123111111+b—(—)+(—)++(—)nSSSSSS2132n+111——SS(n+1)2n+114?已知等差數(shù)列｛。｝的公差d豐0，若a3+化—22，且aa8n3958a13成等比數(shù)列.U）求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;n⑵設(shè)b—(an+"naannt1,求數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和S?nn答案（1）2n2+2nan=2n—1；⑵Sn=解析（1）設(shè)數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)為〈，依題意，＜n12a+10d=22i(a+7d)2=(a+4d)(a+12d)111二a=⑵由⑴知，S-n⑵由⑴知，S-n(a1+an)-n(1+2n—1)-n2,nn解得a=1，1二數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a=2n-14n4n2⑵b=(an+1)2=4n2=_±^naa(2n-1)(2n+1)4n2-1nn+1=^(2n-1)(2n+1^^2(2n-^2n+1)，:Sn=1+2(1-3)+1+2(3-5)++1+2(丄1-科)n+丄(1-丄)=2n2+2n22n+12n+1，S=221．135?等差數(shù)列｛a｝前n項(xiàng)和為，S=221．13nn4(1)求｛a｝的通項(xiàng)公式ann(2)若數(shù)列(2)若數(shù)列｛b｝內(nèi)滿足b-b=a(ngNnn+1nn)且b=3，求數(shù)列｛丄｝的前n項(xiàng)和T.1bnn3【答案⑴an=2n+3；⑵Tn=42(n+1)2(n+2)【解析】⑴由S=221知a=17，設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d,13a=51d=24a=51d=21a+6d=172)2)Tb一b=a=2n+3,n+1nn=(b-b)+(b-b)++(b-b)+bnn-1n-1n-2211=[2(n-1)+3]+[2(n-2)+3]++(2x1+3)+3=n2+2n，丄==1(1一丄)，bn(n+2)2nn+2?'…n:Tn=2[(1-3)+(2-4)++G-占)]=1(1+1-丄-丄)=3—22n+1n+242(n+1)2(n+2)6?已知數(shù)列｛an｝是公差不為0的等差數(shù)列，a1=3，a1-a4=a

(1)求｛a｝的通項(xiàng)公式及｛a｝的前n項(xiàng)和S的通項(xiàng)公式;TOC\o"1-5"\h\znnn11119(2)b二+++，求數(shù)列｛b｝的通項(xiàng)公式，并判斷b與的大小.nSSSnn2719<-2719<-27【答案⑴a=3n/S二珈；+“;(2)b