2023全國卷高考復(fù)習(xí)-平面向量(知識總結(jié)+題型)

理科數(shù)學(xué)平面向量PAGE7-第一局部平面向量的概念及線性運算1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為零的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比擬大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算定義法那么(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.【根底練習(xí)】1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“√〞或“×〞)(1)零向量與任意向量平行.()(2)假設(shè)a∥b，b∥c，那么a∥c.()(3)向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，那么A，B，C，D四點在一條直線上.()(4)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立.()(5)在△ABC中，D是BC中點，那么eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))).()2.給出以下命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②假設(shè)a，b都是單位向量，那么a＝b；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))相等.那么所有正確命題的序號是()A.①B.③C.①③D.①②3.(2023·棗莊模擬)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，假設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))(λ∈R)，那么λ＝()A.2B.3C.－2D.－34.(2023·全國Ⅱ卷)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，那么實數(shù)λ＝____________.5.(必修4P92A12改編)?ABCD的對角線AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么eq\o(DC,\s\up6(→))＝______，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________(用a，b表示).6.(2023·嘉興七校聯(lián)考)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC，假設(shè)eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2為實數(shù))，那么λ1＝________，λ2＝________.考點一平面向量的概念【例1】以下命題中，不正確的是________(填序號).①假設(shè)|a|＝|b|，那么a＝b；②假設(shè)A，B，C，D是不共線的四點，那么“eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))〞是“四邊形ABCD為平行四邊形〞的充要條件；③假設(shè)a＝b，b＝c，那么a＝c.【訓(xùn)練1】以下命題中，正確的是________(填序號).①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，那么a與b的方向相同或相反；③兩個向量不能比擬大小，但它們的模能比擬大小.解析①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量；②不正確，假設(shè)a與b中有一個為零向量，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；③正確，向量既有大小，又有方向，不能比擬大小；向量的模均為實數(shù)，可以比擬大小.答案③考點二平面向量的線性運算【例2】(2023·濰坊模擬)在△ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點，且AP＝eq\f(1,3)AB，BQ＝eq\f(1,3)BC.假設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，那么eq\o(PQ,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)bB.－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)bD.－eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b【訓(xùn)練2】(1)如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個靠近B點的三等分點，那么eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))考點三共線向量定理及其應(yīng)用【例3】設(shè)兩個非零向量a與b不共線.(1)假設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b).求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.【訓(xùn)練3】向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，那么()A.A，B，C三點共線B.A，B，D三點共線C.A，C，D三點共線D.B，C，D三點共線第二局部平面向量根本定理與坐標(biāo)表示1.平面向量的根本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①假設(shè)向量的起點是坐標(biāo)原點，那么終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(〔x2－x1〕2＋〔y2－y1〕2).4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a∥b?x1y2－x2y1＝0.【根底練習(xí)】1.(2023·東陽月考)向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，那么2a＋b等于()A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9)2.(2023·全國Ⅰ卷)點A(0，1)，B(3，2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，那么向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A.(－7，－4)B.(7，4)C.(－1，4)D.(1，4)3.(2023·全國Ⅱ卷)向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，那么m＝________.4.(必修4P101A3改編)?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，那么頂點D的坐標(biāo)為________.考點一平面向量根本定理及其應(yīng)用【例1】(2023·全國Ⅰ卷)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，那么eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))D.eq\o(BC,\s\up6(→))【訓(xùn)練1】如圖，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，那么eq\o(AD,\s\up6(→))＝________.考點二平面向量的坐標(biāo)運算【例2】(1)向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，假設(shè)3a－2b＋c＝0，那么c＝()A.(－23，－12)B.(23，12)C.(7，0)D.(－7，0)【訓(xùn)練2】(1)點A(－1，5)和向量a＝(2，3)，假設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝3a，那么點B的坐標(biāo)為()A.(7，4)B.(7，14)C.(5，4)D.(5，14)(2)(2023·江蘇卷)向量a＝(2，1)，b＝(1，－2).假設(shè)ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，那么m－n的值為________.考點三平面向量共線的坐標(biāo)表示【例3】(1)平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，那么2a＋3b＝________.(2)(必修4P101練習(xí)7改編)A(2，3)，B(4，－3)，點P在線段AB的延長線上，且|AP|＝eq\f(3,2)|BP|，那么點P的坐標(biāo)為________.【訓(xùn)練3】(1)(2023·浙江三市十二校聯(lián)考)點A(1，3)，B(4，－1)，那么與eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))(2)假設(shè)三點A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，那么實數(shù)a的值為________.第三局部平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念(1)向量的夾角：兩個非零向量a和b，記eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角.(2)數(shù)量積的定義：兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，那么數(shù)量|a||b|cos__θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(3)數(shù)量積幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(3)夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).3.平面向量數(shù)量積的運算律：(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【根底練習(xí)】1.(2023·全國Ⅱ卷)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，那么(2a＋b)·a等于()A.－1B.0C.1D.22.(2023·湖州模擬)向量a，b，其中|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，那么向量a和b的夾角是________.3.(2023·石家莊模擬)平面向量a，b的夾角為eq\f(2π,3)，|a|＝2，|b|＝1，那么|a＋b|＝________.5.(必修4P104例1改編)|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，那么向量b在向量a方向上的投影為________.6.(2023·瑞安一中檢測)a，b，c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a＝(1，2)，|b|＝1，且a＋b與a－2b垂直，那么向量a·b＝________；a與b的夾角θ的余弦值為________.【考點突破】考點一平面向量的數(shù)量積及在平面幾何中的應(yīng)用〔用表示未知〕【例1】(1)(2023·四川卷)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4，假設(shè)點M，N滿足eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(NC,\s\up6(→))，那么eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))等于()A.20B.15C.9D.6(2)(2023·天津卷)△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，那么eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值為()A.－eq\f(5,8)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4)D.eq\f(11,8)【訓(xùn)練1】(1)(2023·義烏市調(diào)研)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，點D為AC的中點，點E滿足eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(B