向量的數(shù)量積課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

6.2.4向量的數(shù)量積

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入數(shù)量積概念思考：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個(gè)一般向量，其結(jié)果又該如何表述？兩個(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積。

功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；B新課講授一、平面向量的夾角兩個(gè)非零向量，.是平面上的任意一點(diǎn)，作，，則叫做向量與的夾角.0A說出下列兩個(gè)向量和的夾角的大小是多少？(1)(3)┐(5)兩個(gè)非零向量的夾角應(yīng)該注意兩個(gè)向量共起點(diǎn).鞏固新知40O(2)╮40O60O(4)60O60O(6)60O向量的夾角2對兩向量，夾角的理解

（1）根據(jù)向量夾角的定義，兩非零向量夾角是將兩個(gè)向量的

起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，這樣兩向量所成的角才是這兩個(gè)向量

的夾角

（2）例如，在ΔABC中，∠BAC不是CA與AB的夾角，∠BAD才是CA與AB的夾

角.其中AD是CA平移所得.（3）向量與之間的夾角θ的取值范圍是[0，π]，這與兩直線夾角的范圍

是不一樣的(向量有方向)，注意從定義上理解.

（5）向量與的夾角也可以表示為

平面向量數(shù)量積的概念3平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(也叫內(nèi)積)，記作，即

【規(guī)定】零向量與任一向量的數(shù)量積為0（1）在書寫數(shù)量積時(shí)，與之間用實(shí)心圓點(diǎn)“·”連接，不能寫成“×”,更不能不寫.

（2）我們規(guī)定了與任意向量的數(shù)量積為0，但由=0，不能推出或

一定是零向量，這是因?yàn)閮蓚€(gè)向量垂直時(shí)，其夾角為90°，此時(shí)，

故也有=0

.

（3）要注意=0，但0

鞏固新知例1例2知三求一練習(xí)（口算）鞏固新知加深記憶平面向量的數(shù)量積：與以往運(yùn)算法則的區(qū)別及注意點(diǎn):1.一種新的運(yùn)算

2.“·”不能省略，也不能寫成“×”3.數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量；而向量的線性運(yùn)算是向量4.公式可變?yōu)?，用于求夾角.MN新課講授三、投影向量設(shè)，是兩個(gè)非零向量，，，過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.ABCD0探究新知如圖，設(shè)與方向相同的單位向量為，與的夾角為，那么與,

,之間有怎樣的關(guān)系？N0M探究新知N0MN0MN0M平面向量數(shù)量積的概念3投影補(bǔ)充①為向量在上(在上)的投影的數(shù)量.

②投影的數(shù)量是一個(gè)值，不是向量.

★當(dāng)θ為銳角時(shí)，投影的數(shù)量為正值；★當(dāng)θ為鈍角時(shí)，投影的數(shù)量為負(fù)值；★當(dāng)θ為直角時(shí)，投影的數(shù)量為0；★當(dāng)θ為0°時(shí)，向量在上(在上)投影的數(shù)量為

；

★當(dāng)θ為180°時(shí)，向量在上(在上)投影的數(shù)量為

；

☆在上的投影的數(shù)量可以記為，也可以記為

在上的投影和在

上的投影，不一樣.

鞏固新知平面向量數(shù)量積的性質(zhì)4設(shè)與都是非零向量，θ為向量與的夾角，是與方向相同的單位向量，則有如下性質(zhì)：

既可以證明向量垂直，也可以由垂直進(jìn)行相關(guān)計(jì)算可以用來求向量的模，實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算往向量運(yùn)算的轉(zhuǎn)化可用來求兩個(gè)向量的夾角，夾角的取值與兩個(gè)向量有關(guān)可以通過向量來證明不等式問題或者求