專題22正方形經(jīng)典練習題

專題22正方形專題知識回顧.正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。.正方形的性質(zhì)：(1)具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)；(2)正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；(3)正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角；(4)正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸；(5)正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形；(6)正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。3.正方形的判定判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。即有一組鄰邊相等的矩形是正方形先證它是菱形，再證有一個角是直角。即有一個角是直角的菱形是正方形。2b24.正方形的面積：設正方形邊長為 a,對角線長為b,S正方形=a=—2專題典型題考法及解析【例題1】(2019湖南郴州)我國古代數(shù)學家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個正方形和兩對全等的三角形，如圖所示，已知/A=90°,BD=4,CF=6,則正方形ADOF的邊長是(方形和兩對全等的三角形，如圖所示，已知/B.2C.D.B.2C.D.4【例題2】（2019?四川省涼山州）如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,E是OC上一點，連接EB.過點A接EB.過點A作AM，BE,垂足為M,AM與BD相交于點F.求證:OE=OF.專題典型訓練題、選擇題1.（2019內(nèi)蒙古包頭）如圖，在正方形1.（2019內(nèi)蒙古包頭）如圖，在正方形ABCD中，AB=1,占八、、E,F分別在邊BC和CD上，AE=AF,/EAF=60°,則CF的長是（ ）B.B.1的正方形OABC1的正方形OABC繞點O順時針旋轉45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式，繞點。連續(xù)旋轉2019次得到正方形V2C-(下V2V2C-(下V2D.(0,—1)（2019初川省廣安市）把邊長分別為1和2的兩個正方形按圖的方式放置 .則圖中陰影部分的面積為（）16i.316i.31(C)5i(D)4（2019領州省銅仁市）如圖，正方形ABCD中，AB=6,E為AB的中點，將^ADE沿DE翻折得到^FDE,延長EF交BC于G,FHXBC,垂足為H,連接BF、DG.以下結論：①BF//ED;②△DFG^^DCG;③△FHBs^ead；④tan/GEB=二；⑤S△BFG=2.6;其中正確的個數(shù)是（ ）A.2 B.3 C.4 D.5\（2019黑龍江省綏化）如圖，在正方形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個動點，P是正方形四邊上的任意一點，且AB=4,EF=2,設AE=x.當△PEF是等腰三角形時，下列關于P點個數(shù)的說法中，一定正確的是（ ）①當x=0（即E、A兩點重合）時，P點有6個②當0vxv4J2-2時，P點最多有9個③當P點有8個時，x=2722④當△PEF是等邊三角形時，P點有4個A.①③二、填空題B.①④C.②④D.A.①③二、填空題B.①④C.②④D.②③6.（2019湖南邵陽）公元3世紀初,中國古代數(shù)學家趙爽注《周髀算經(jīng)》時，創(chuàng)造了趙爽弦圖”.如圖,設勾a=6,弦c=10,則小正方形ABCD的面積是（2019湖南張家界）如圖：正方形ABCD的邊長為1,點E,F分別為BC,CD邊的中點,連接AE,BF交于點P,連接PD,則tan/APD=.（2019?胡北省隨州市）如圖，已知正方形ABCD的邊長為a,E為CD邊上一點（不與端點重合），將4ADE沿AE對折至^AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG,CF.給出下列判斷：①/EAG=45°；②若DE=:,則AG//CF；③若E為CD的中點，則4GFC的面積為］a2;10④若CF=FG,則DE=（72-1）a；⑤BG?DE+AF?GE=a2.其中正確的是.（寫出所有正確判斷的序號）BA（2019福建）如圖，邊長為2的正方形ABCD中心與半徑為2的。。的圓心重合，E、F分別是AD、BA的延長與。。的交點，則圖中陰影部分的面積是.（結果保留兀）

EC10.（2019泗川省涼山州）如圖，正方形ABCD中，AB=12,AE=AB,EC10.（2019泗川省涼山州）如圖，正方形ABCD中，AB=12,AE=AB,點P在BC上運動（不與B、C重合），過點P作PQLEP,交CD于點Q,則CQ的最大值為Q11.（2019?廣東廣州）如圖，正方形ABCD的邊長為a,點E在邊AB上運動（不與點A,B重合），ZDAM=45°,點F在射線AM上，且AF=WBE,CF與AD相交于點G,連接EC,EF,EG,則下列結論:①/ECF=45°; ②4AEG的周長為（1+1）a；a2.2a2.③BE2+DG2=EG2; EAF的面積的最大值占其中正確的結論是.（填寫所有正確結論的序號）G口其中正確的結論是.（填寫所有正確結論的序號）G口12.（2019廣西賀州）如圖，正方形ABCD12.（2019廣西賀州）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E是CD的中點，AF平分/BAE交BC于點F,將^ADE繞點A順時針旋轉90°得△ABG,則CF的長為D05D0513.（2019?山東青島）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點，將正方形紙片折疊，點 13.（2019?山東青島）如圖，在正方形紙片AE上的點G處，折痕為AF.若AD=4cm,則CF的長為SFCSFC（2019江蘇鎮(zhèn)江）將邊長為1的正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉到FECG的位置（如圖），使得點D落在對角線CF上，EF與AD相交于點H,則HD=.（結果保留根號）第10第10題圖（2019遼寧撫順）如圖，在2>6的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是 1個單位長度，網(wǎng)格中小正方形的頂點叫格點，點A,B,C在格點上，連接AB,BC,則tan/ABC=33三、解答題（2019湖南湘西州）如圖，在正方形ABCD中，點E,F分別在邊CD,AD上，且AF=CE.(1)求證：△ABF^ACBE;(2)若AB=4,AF=1,(2)若AB=4,AF=1,求四邊形BEDF的面積.億（2019海南）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中,E是邊CD的中點，點P是邊AD上一點（與點A,D不重合）,射線PE與BC的延長線交于點Q.⑴求證:△PDE^AQCE;(2)過點E作EF//BC交PB于點F,連接AF,當PB=PQ時,①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；②請判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說明理由.(2019湖南株洲)如圖所示，已知正方形OEFG的頂點。為正方形ABCD對角線AC、BD的交點，連接CE、DG.(1)求證：△DOG^^COE;(2)若DG^BD,正方形ABCD的邊長為2,線段AD與線段OG相交于點M,AM=-,求正方形OEFG2的邊長.EFGEFG(2019?胡北省仙桃市)如圖，E,F分別是正方形ABCD的邊CB,DC延長線上的點，且BE=CF,過點E作EG//BF,交正方形外角的平分線CG于點G,連接GF.求證：(1)AEXBF;(2)四邊形BEGF是平行四邊形.（2019?山東泰安）如圖，四邊形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，點E在AB上，且/CEF=90°,FGXAD,垂足為點C.（1）試判斷AG與FG是否相等？并給出證明;（2）若點H為CF（2）若點H為CF的中點,（2019湖北襄陽）（1）證明推斷：如圖（1）,在正方形ABCD中，點E,Q分別在邊BC,AB上，DQLAE于點。，點LAE于點。，點G,F分別在邊CD,AB上，GFLAE.①求證：DQ=AE;②推斷：段的值為AE（2）類比探究：如圖（2）,在矩形（2）類比探究：如圖（2）,在矩形ABCD中,BCAB=k（k為常數(shù)）.將矩形ABCD沿GF折疊，使點A落在BC邊上的點E處，得到四邊形FEPG,EP交CD于點H,連接AE交GF于點O.試探究GF與AE之間的數(shù)量關系，并說明理由;（3）拓展應用：在（2）（3）拓展應用：在（2）的條件下，連接CP,當k=《時，若tan/CGPGF=2/10,求CP的長.專題22正方形專題知識回顧.正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。.正方形的性質(zhì)：(1)具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)；(2)正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；(3)正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角；(4)正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸；(5)正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形；(6)正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。3.正方形的判定判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。即有一組鄰邊相等的矩形是正方形先證它是菱形，再證有一個角是直角。即有一個角是直角的菱形是正方形。2b24.正方形的面積：設正方形邊長為 a,對角線長為b,S正方形=a=—2專題典型題考法及解析【例題1】(2019湖南郴州)我國古代數(shù)學家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個正

方形和兩對全等的三角形，如圖所示，已知/A=90°,BD=4,CF=6,則正方形ADOF的邊長是（方形和兩對全等的三角形，如圖所示，已知/C.一 D.4A.一 C.一 D.4【答案】B【解析】設正方形ADOF的邊長為x,由題意得：BE=BD=4,CE=CF=6,BC=BE+CE=BD+CF=10,在Rt^ABC中，AC2+ab2=BC2,即（6+x）2+（x+4）2=102,整理得，X2+10x-24=0,解得：x=2,或x=-12（舍去），..x=2,即正方形ADOF的邊長是2【例題2】（2019?四川省涼山州）如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,E是OC上一點，連接EB.過點A作AM，BE,垂足為M,AM與BD相交于點F.求證：OE=OF.【答案】見解析。【答案】見解析。【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)對角線垂直且平分，得到 OB=OA,根據(jù)AMXBE,即可得出/MEA+/MAE=90°=ZAFO+ZMAE,從而證出RtABOE^RtAAOF,得到OE=OF.證明：:四邊形ABCD是正方形.??.ZBOE=ZAOF=90°,OB=OA.又;AM±BE,

MEA+ZMAE=90°=/AFO+/MAEMEA=/AFO.BOE^AAOF(AAS)..?.OE=OF.專題典型訓練題、選擇題（2019內(nèi)蒙古包頭）如圖，在正方形ABCD中，AB=1,點E,F分別在邊BC和CD上，AE=AF,/【解析】???四邊形ABCD是正方形,EAF=60°,【解析】???四邊形ABCD是正方形,D../B=ZD=ZBAD=90°,AB=BC=CD=AD=1,在RtAABE在RtAABE和RtAADF中,[AE=AF

IAB二RD???RtAABE^RtAADF(HL),./BAE=ZDAF,./EAF=60°,./BAE+ZDAF=30°,./DAF=15°,在AD上取一點G,使/GFA=/DAF=15°,如圖所示:

.AG=FG,/DGF=30°,DF=1.FG=1.AG,DG=V3DF,設DF=x,貝UDG=^x,AG=FG=2x,.?AG+DG=AD,2x+J^x=1,解得：x=2-■-df=2-|V3,.CF=CD-DF=1-(2-&i)=J^-1；2.（2019湖南張家界）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為 2.（2019湖南張家界）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為 1的正方形OABC繞點。順時針旋轉45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式，繞點。連續(xù)旋轉2019次得到正方形OA2019B2019c2019,那么點AOA2019B2019c2019,那么點A2019的坐標是(【答案】A.C.(一返_返D.(0,—1)【解析】解：?.?四邊形OABC是正方形，且OA=1,??A??A(0,1),???將正方形OABC繞點???將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°后得到正方形OA1B1C1,發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2019+8=252…余3,，點A2019的坐標為（Ng,一￥",故選：A.s.把邊長分別為1和2的兩個正方形按圖的方式放置 .則圖中陰影部分的面積為3.（2019?四川省廣安市）1(A)6(B)(C)2【解析】陰影部分面積=1X2311x-=-264.（2019領州省銅仁市）如圖,s.把邊長分別為1和2的兩個正方形按圖的方式放置 .則圖中陰影部分的面積為3.（2019?四川省廣安市）1(A)6(B)(C)2【解析】陰影部分面積=1X2311x-=-264.（2019領州省銅仁市）如圖,正方形ABCD中，AB=6,E為AB的中點，將^ADE沿DE翻折得到^FDE,延長EF交BC于G,FHXBC,垂足為H,連接BF、DG.以下結論：①BF//ED;②△DFG^^DCG;③d△FHBs^EAD;④tan/GEB=二；⑤S3△bfg=2.6;其中正確的個數(shù)是（CBHGA.2B.3C.4【解答】?.?正方形ABCD中，AB=6,E為AB的中點AD=DC=BC=AB=6,AE=BE=3,ZA=ZC=ZABC=90°△ADE沿DE翻折得到^FDE?./AED=/FED,AD=FD=6,AE=EF=3,/A=/DFE=90°?.BE=EF=3,/DFG=/C=90°

EBF=ZEFB??/AED+/FED=/EBF+ZEFBDEF=ZEFBBF//ED故結論①正確；AD=DF=DC=6,/DFG=/C=90°,DG=DG??RtADFGRtADCG，結論②正確;FH±BC,/ABC=90°.AB//FH,/FHB=ZA=90°./EBF=ZBFH=ZAEDFHB^AEAD，結論③正確；??RtADFGRtADCGFG=CG設FG=CG=x,貝UBG=6—x,EG=3+x在RtABEG中，由勾股定理得：32+(6-x)2=(3+x)解得：x=2BG=4?.tan/GEB=BG?.tan/GEB=BGBE故結論④正確故結論④正確;???△FHB^AEAD,且???△FHB^AEAD,且AD~2BH=2FH設BH=2FH設FH=a,貝UHG=4—2a在RtAFHG在RtAFHG中，由勾股定理得:a2+(4-2a)2=22解得：a=2（舍去）或a=SaBFG=77X4><■1=2.4故結論⑤錯誤。

（2019黑龍江省綏化）如圖，在正方形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個動點，P是正方形四邊上的任意一點，且AB=4,EF=2,設AE=x.當△PEF是等腰三角形時，下列關于P點個數(shù)的說法中，一定正確的是（ ）①當x=0（即E、A兩點重合）時，P點有6個②當0vxv4乏2時,P點最多有9個③當P點有8個時，x=2J2-2④當△PEF是等邊三角形時，P點有4個A.①③ A.①③ B.①④ C.②④【答案】B【解析】①當x=0（即E、A兩點重合）時，如下圖，分別以A、F為圓心，2為半徑畫圓，各2個P點，以AF為直徑作圓，有2個P點，共6個，所以，①正確。D.②③②當0vx〈4j2-2時，P點最多有8個,故②錯誤。

①當產(chǎn)點和8小時.如圖工明示：當0 1 <a<4y/2-4^2<x<4或4V^一6-1〈工m45/7-2時戶點有R?。汗蕠e誤；OMlS3r當A產(chǎn).WW是等邊三角彩時，戶點有。個；故俗|卜碣；當△尸五尸皇等鎏三髭形時r關于2點個數(shù)的說法中.不正痛的是②①.一定正確的是?④；故選：H..如圖,（2019湖南邵陽）公元3.如圖,設勾a=6,弦c=10,則小正方形ABCD的面積是.【答案】4.【解析】:勾a=6,弦c=10,，股=J]02r52=8'「?小正方形的邊長=8-6=2,，小正方形的面積=22=4.故答案是：4.

（2019湖南張家界）如圖：正方形ABCD的邊長為1,點E,F分別為BC,CD邊的中點,連接AE,BF交于點P,連接PD,貝Utan/APD=D【答案】2.C【解析】解：連接AF,【答案】2.C.?.CF=BE,DF.?E,F分別是正方形ABCD邊BC,CD的中點,.?.CF=BE,DF在△ABE和^BCF中,［曲BCBE=CF???RtAABE^RtABCF(SAS,?./BAE=ZCBF,又??/BAE+ZBEA=90°,./CBF+ZBEA=90°,./BPE=ZAPF=90°,./ADF=90°,./ADF+ZAPF=180°,??A、P、F、D四點共圓,./AFD=ZAPD,an??tanZAPD=tanZAFD=—=2,DF故答案為：2.（2019?胡北省隨州市）如圖，已知正方形ABCD的邊長為a,E為CD邊上一點（不與端點重合）ADE沿AE對折至/\AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG,CF.給出下列判斷：三：/GJ①/EAG=45°;②若DE=1a,則AG//CF;I.J③若E為CD的中點，則4GFC的面積為］a2；10④若CF=FG,貝UDE=（/1）a；⑤BG?DE+AF?3E=a2.其中正確的是.（寫出所有正確判斷的序號）【答案】①②④⑤【解析】①二.四邊形ABCD是正方形,AB=BC=AD=a,??將△ADE沿AE對折至^AFEZAFE=ZADE=ZABG=90°,AF=AD=AB,EF=DE,/DAE=/FAE,f4D-4F在Rt^ABG和RtAAFG中j ,RtAABG^RtAAFG(HL),./BAG=ZFAG,1./GAE=/GAF+/EAF=.,X90=45°,故①正確；②BG=GF,/BGA=/FGA,I 1設BG=GF=x,DE=-a,/.EF=-a,/.CG=a-x,在RtAEGC中，EG=x+1a,CE=：a,由勾股定理可得（x+；a）2=x2+（ja）；4> 4> ■> vr解得x=ga,此時BG=CG=ja,，GC=GF=：a,.GFC=/GCF,且/BGF=/GFC+/GCF=2/GCF,?.2/AGB=2/GCF,/.ZAGB=ZGCF,..AG//CF,.?.②正確；③若E為CD的中點，則DE=CE=EF=:門，設BG=GF=y,則CG=a-y,CG2+CE2=EG2,即他_￥）"+口產(chǎn)=（豆焦一“廣，解得，y=?a,1 2GF如2??BG=GF，CGW，麗?弁卬?12 2 11 2 I ,=r 雨=L M”Xq門M W W H' 故③錯誤；Q J q」 -iJ t）④當CF=FG,則/FGC=/FCG,?.ZFGC+ZFEC=ZFCG+ZFCE=90°, /FEC=/FCE,/.EF=CF=GF,BG=GF=EF=DE,/.EG=2DE,CG=CE=a-DE,.?辰￡=￡G,即i項"DE）='2DE,DE=（/D-1）a,故④正確；⑤設BG=GF=b,DE=EF=c,貝UCG=a-b,CE=a-c,由勾股定理得，（b+y）2=（a-b）2+（a-c）2,整理得bc=a2-ab-ac,^rr（7=；S-Mg-==r-tili-田一段）=：他.+咐=h廣，即$△ceg=BG?DE,Saabg=S^afg,S；Aaef=Saade,「?曲升=上5A，，k7F=1MgAF-EG=AF-EG,??,S五邊形abged+SaCEG=S正方形ABCD, BG?DE+AF?EG=a2,故⑤正確.故答案為：①②④⑤.①由折疊得AD=AF=AB,再由HL定理證明RtAABGRtAAFG便可判定正誤；②設BG=GF=x,由勾股定理可得（x+（ a） 2=x2+ （；a）；求得BG=： a,進而得 GC=GF,得/GFC=ZGCF,再證明/AGB=ZGCF,便可判斷正誤；③設BG=GF=y,則CG=a-y,由勾股定理得y的方程求得BG,GF,EF,再由同高的兩個三角形的面積比等于底邊之比，求得△CGF的面積，便可判斷正誤；④證明/FEC=/FCE,得EF=CF=GF,進而得EG=2DE,CG=CE=a-DE,由等腰直角三角形的斜邊與直角邊的關系式便可得結論，進而判斷正誤；⑤設BG=GF=b,DE=EF=c,則CG=a-b,CE=a-c,由勾股定理得bc=a2-ab-ac,再得△CEG的面積為BG?DE,再由五邊形ABGED的面積加上△CEG的面積等于正方形的面積得結論，進而判斷正誤.（2019福建）如圖，邊長為2的正方形ABCD中心與半徑為2的。。的圓心重合，E、F分別是AD、BA的延長與。。的交點，則圖中陰影部分的面積是.（結果保留兀）【答案】兀-1.【解析】延長DC,CB交。。于M,N,根據(jù)圓和正方形的面積公式即可得到結論.延長DC,CB交。。于M,N,則圖中陰影部分的面積=（S圓。一S正方形ABCD）==pX（4兀-4）=兀-1,.4（2019泗川省涼山州）如圖，正方形ABCD中，AB=12,AE=/AB,點P在BC上運動（不與B、C重合），過點P作PQXEP,交CD于點Q,則CQ的最大值為.【解析】先證明△BPEs^cqp,得到與CQ有關的比例式，設CQ=y,BP=x,則CP=12-x,代入解析式，得到y(tǒng)與x的二次函數(shù)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值.?.ZBEP+ZBPE=90°,ZQPC+ZBPE=90°,?./BEP=ZCPQ.又/B=ZC=90°?.△BPEs^CQP.所以當x=6時，y有最大值為4.（2019?廣東廣州）如圖，正方形ABCD的邊長為a,點E在邊AB上運動（不與點A,B重合），ZDAM=45°,點F在射線AM上，且AF=&BE,CF與AD相交于點G,連接EC,EF,EG,則下列結論：①/ECF—45°; ②4AEG的X為（1亞）a;2③BE2+DG2=EG2; EAF的面積的最大值La2.8其中正確的結論是.（填寫所有正確結論的序號）【答案】①④.【解析】①正確.如圖1中，在BC上截取BH=BE,連接EH.證明△FAE^AEHC（SAS）,即可解決問題.②③錯誤.如圖2中，延長AD至ijH,使得DH=BE,則^CBE^ACDH（SAS）,再證明△GCE^AGCH（SAS）,即可解決問題.④正確.設BE=x,則AE=a-x,AF=J^x,構建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題.如圖1中，在BC上截取BH=BE,連接EH.,.BE=BH,/EBH=90°,EH=V2BE,?.AF=72BE,AF=EH,???/DAM=/EHB=45°,/BAD=90°,?./FAE=ZEHC=135

?.BA=BC,BE=BH,?.AE=HC,FAE^AEHC(SAS),EF=EC,/AEF=ZECH,?./ECH+ZCEB=90°,?./AEF+/CEB=90°,./FEC=90°,，/ECF=/EFC=45°,故①正確，如圖2中，延長AD到H,使得DH=BE,則△CBE^ACDH(SAS),./ECB=ZDCH,./ECH=ZBCD=90°,./ECG=/GCH=45°,.CG=CG,CE=CH,GCE^AGCH(SAS),EG=GH,.GH=DG+DH,DH=BE,??.EG=BE+DG,故③錯誤,?.△AEG的周長=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a,故②錯誤,設BE=x,貝UAE=a-x,AF=>/2x,…Saaef=?(a—x)改=一A2…Saaef=?(a—x)改=一A2+ax=一2(x一1ax+—4a2)=(x—44<0一x=5a一x=5a時，△AEF的面積的最大值為<—J2a.故④正確,故答案為①④.故答案為①④.E2 圖E2 圖112.（2019廣西賀州）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E是CD的中點，AF平分/BAE交BC于點F,將^ADE繞點A順時針旋轉90°得△ABG,則CF的長為.【解析】作FMXAD于M,FNLAG【解析】作FMXAD于M,FNLAG于N,如圖，易得四邊形CFMD為矩形，則FM=4,???正方形ABCD的邊長為4,點E是CD的中點,DE=2,AE=1可+22=26i,???△ADE繞點A順時針旋轉90°得△ABG,AG=AE=2V5,BG=DE=2,/3=/4,ZGAE=90°,/ABG=/D=90。,而/ABC=90°,???點G在CB的延長線上，.AF平分/BAE交BC于點F,1=/2,2+/4=/1+/3,即FA平分/GAD,FN=FM=4,??1—AB?GF=—FN?AG,2 2.=卓-2在，4

CF=CG-GF=4+2-2^=6-2^5.故答案為6-2k/~5.GB'FC(2019?山東青島)如圖，在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點，將正方形紙片折疊，點 B落在線段AE上的點G處，折痕為AF.若AD=4cm,則CF的長為cm.【答案】6--二.【解析】設BF=x,則FG=x,CF=4-x,在RtAGEF中，利用勾股定理可得EF2=(25-4)2+x2,在RtAFCE中，利用勾股定理可得EF2=(4-x)2+22,從而得到關于x方程，求解x,最后用4-x即可.設BF=x,貝UFG=x,CF=4—x.在RtAADE中，利用勾股定理可得AE=2后根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AG=AB=4,所以GE=2VS-4.在RtAGEF中，利用勾股定理可得EF2=(2V5-4)2+x2,在RtAFCE中，利用勾股定理可得EF2=(4-x)2+22,所以(2旄-4)2+x2=(4-x)2+22,解得x=2、"-2.則FC=4-x=6-2^5.(2019江蘇鎮(zhèn)江)將邊長為1的正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉到FECG的位置(如圖)，使得點D落在對角線CF上，EF與AD相交于點H,則HD=.(結果保留根號)

【答案】J2-i.【解析】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理.由正方形的對角線與相鄰的邊夾角為45°,得/CFE=/ECF=45°,而在Rt^CEF中，由勾股定理，得CF=J2,從而DF=J2—1,易知△DHF是等腰直角三角形，于是DH=DF=72—1.因此本題答案為72-1.（2019遼寧撫順）如圖，在2>6的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是 1個單位長度，網(wǎng)格中小正方形的頂點叫格點，點A,B,C在格點上，連接AB,BC,則tan/ABC=.S故答案為：二2【解析】連接AD,根據(jù)網(wǎng)格利用勾股定理求出 AB,AD,BD的長，利用勾股定理的逆定理判斷出三角形ABD為直角三角形，利用銳角三角函數(shù)定義求出所求即可.連接AD,由勾股定理得：AD= AB 22+?2=2/^,BD [2+3」=篤,I口,???（h/2）2+（2遮2=（如）2,即ad2+ab2=bd2,..△ABD為/BAD是直角的直角三角形，（2019湖南湘西州）如圖，在正方形ABCD中，點E,F分別在邊CD,AD上，且AF=CE.(1)求證：△ABF^ACBE;(2)若AB=4,AF=1,(2)若AB=4,AF=1,求四邊形BEDF的面積.【答案】（1）見解析；（2）12.【解答】(1)在^ABF和^CBE中NA=/C=90°，Iaf=ceABF^ACBE(SAS);（2）由已知可得正方形ABCD面積為16,△ABF面積=△CBE面積=—>4X1=2.2所以四邊形BEDF的面積為16-2X2=12.億（2019海南）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中,E是邊CD的中點，點P是邊AD上一點（與點A,D不重合）,射線PE與BC的延長線交于點Q.⑴求證:△PDE^AQCE;（2）過點E作EF//BC交PB于點F,連接AF,當PB=PQ時,①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；②請判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說明理由.【答案】見解析。【答案】見解析?！窘馕觥坑烧叫涡再|(zhì)得到邊角關系，從而證明全等；①通過證明全等得到AP=EF,由平行線的傳遞性得到平行，故四邊形AFEP是平行四邊形②列出方程得到AP的長，與PE比較，不能判定四邊形AFEP是菱形.（1）證明：二.四邊形ABCD是正方形，，/D=ZBCD=90；?./ECQ=90°=ZD/「E是CD的中點，，DE=CE,又?./DEP=ZCEQ,△PDE^AQCE;

(2)(2)①證明：如圖，由⑴得^PDE^AQCE,PE=QE=1PQ,又「EF//BC,?.PF=FB=1PB,「PB=PQ,，2 2PF=PE,..Z1=/2J,四邊形ABCD是正方形，，/BAD=90°,在RtAABP中,F是PB的中點，，AF=1BP2=FP/./3=/4,「AD//BC,EF//BC,?.AD//EF,/1=/4,，/2=/3,又＜PF=FP/.△APF^AEFP/.AP=EF,又???AP//EF,/.四邊形AFEP是平行四邊形②四邊形AFEP不是菱形，理由如下：設PD=x,則AP=1—x,由（1）可知△PDEZ^QCE,，CQ=PD=x,，BQ=BC+CQ=1+x「?點E,F分別是PQ,PB的中點，，EF是4PBQ的中位線，，EF=1BQ=1+x.由①可知AP=中,DE=1,..PE=PD中,DE=1,..PE=PD2+DE22EF,即1—x=1+x,解得x=1,,PD=1,AP=2,在RtAPDE2 3 3 3APwPEa四邊形AFEP不是菱形.18.（2019湖南株洲）如圖所示，已知正方形OEFG的頂點。為正方形ABCD對角線AC、BD的交點，連接CE、DG.（1）求證：△DOG^^COE;（2）若DG^BD,正方形ABCD的邊長為2,線段AD與線段OG相交于點M,AM=-,求正方形OEFG2的邊長.EG的邊長.EG【答案】（1）見解析；（2）2運.【解析】解：（1）二.正方形ABCD與正方形OEFG,對角線AC、BD

DO=OC??DBXAC, DOA=ZDOC=90°./GOE=90°, GOD+/DOE=/DOE+/COE=90°./GOD=ZCOE.GO=OE??在4DOG和ACOE中[DMCZG0D=ZC0EIgd=oe?.△DOG^ACOE(SAS)(2)如圖，過點M作MH±DO交DO于點H??AM=1,DA=2,DM=22 2./MDB=45°MH=DH=sin45DM=^=-,DO=cos45°DAMH=DH=sin45DM=^=-,DO=cos45°DA：/HO=DO???在HO=DO???在RtAMHO中，由勾股定理得MO=vhh2+ho2=4白3■哼)*=暗?.DGXBD,MH±DO,..MH//DG.?易證△OHMs'ODG則正方形OEFG的邊長為.?易證△OHMs'ODG則正方形OEFG的邊長為2巫.GBCF,過19.(2019砌北省仙桃市)如圖，E,F分別是正方形ABCD的邊CB,DC延長線上的點，且CF,過點E作EG//BF,交正方形外角的平分線CG于點G,連接GF.求證：AEXBF;【答案】見解析?！敬鸢浮恳娊馕?。CEG,證明△【解析】由SAS證明△ABE^ABCF得出AE=BF,/BAE=ZCBF,由平行線的性質(zhì)得出/CBF=證出AEXEG,即可得出結論；延長AB至點P,使BP=BE,連接EP,則AP=CE,/EBP=90°APE^^ECG得出AE=EG,證出CEG,證明△證明：(1)二.四邊形ABCD是正方形，.AB=BC,ZABC=ZBCD=90°,./ABE=ZBCF=90°,[AB毛C在^ABE和^BCF中，\ZABE=ZBCF,[be二CFABE^ABCF(SAS),.AE=BF,/BAE=ZCBF,??EG//BF,.CBF=ZCEG,./BAE+ZBEA=90°,../CEG+ZBEA=90°,??AEXEG, AEXBF;(2)延長AB至點P,使BP=BE,連接EP,如圖所示：則AP=CE,/EBP=90°,. P=45°,.「CG為正方形ABCD外角的平分線，ECG=45°,P=/ECG,由(1)得/BAE=ZCEG,在△APE和^ECG中，4AP=CE,tZBAE=ZCEG

APE^AECG(ASA),，AE=EG,??AE=BF,.1.EG=BF,.「EG//BF,.「EG//BF,???四邊形BEGF是平行四邊形.E在AB上，且/CEF20.(2019?山東泰安)如圖，四邊形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，點E在AB上，且/CEF(1)試判斷AG與FG是否相等？并給出證明；(2)若點H為CF的中點，GH與DH垂直嗎？若垂直，給出證明；若不垂直，說明理由.F【答案】見解析。F【答案】見解析?！窘馕觥窟^點F作FMLAB交BA的延長線于點M,可證四邊形AGFM是矩形，可得AG=MF,AM=FG,由AAS”可證△EFM^ACEB,可得BE=MF,ME=BC=AB,可得BE=MA=MF=AG=FG;延長GH交CD于點N,由平行線分線段成比