二次函數(shù)-因動點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題典型例題

二次函數(shù)-因動點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題例1、如圖1,已知拋物線y1x2bxc（b、c是常數(shù)，且c<0）與x軸交于AB兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B2的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一1,0）.（1）b=，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；（2）連結(jié)BC,過點(diǎn)A作直線AE/BC與拋物線交于點(diǎn)E.點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，坐標(biāo)為（2,0）,當(dāng)CDE三點(diǎn)在同一直線上時，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一動點(diǎn)，連結(jié) PBPC設(shè)△PBC勺面積為S.①求S的取值圍；②若△PBC勺面積S為正整數(shù)，則這樣的^PBC^有個.思路點(diǎn)撥.用c表示b以后，把拋物線的一般式改寫為兩點(diǎn)式，會發(fā)現(xiàn) OB=2OC.當(dāng)CDE三點(diǎn)共線時，△EHA^ACOB△EHDh^COD.求^PBC?積的取值圍，要分兩種情況計(jì)算， P在BC上方或下方..求得了S的取值圍，然后羅列P從A經(jīng)過C運(yùn)動到B的過程中，面積的正整數(shù)值，再數(shù)一數(shù)個數(shù).注意排除點(diǎn)AC、B三個時刻的值.滿分解答，、， 1b=c一，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為一2c.2—.121 1 一1(2)由y&x(c-)xc-(x1)(x2c),設(shè)E(x,-(x1)(x2c)).過點(diǎn)E作EHLx軸于H.由于OB=2OC當(dāng)AE/BC時,AH=2EH所以x1(x1)(x2c).因此x12c.所以E(12c,1c).當(dāng)C、DE三點(diǎn)在同一直線上時，-EHCO,所以1c—DHDO2c1 2一一- 2 一一- 2 一 ,、 1 .整理，得2c+3c—2=0.解得c=—2或c—(舍去).2(3)①當(dāng)P在BC下方時，過點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于F.1直線BC的解析式為y-x2.21o3 1 1o設(shè)P(m,，m-m2),那么F(m,-m2),FP-m2m.2 2 2 2所以&PB=與PBF+Sapcf=1fp(xbxC)2FPm24m(m2)24.2因此當(dāng)P在BC下方時，△PBC勺最大值為4.當(dāng)P在BC上方時，因?yàn)镾AABC=5,所以SAPB(k5.綜上所述，0vS<5.②若^PBC勺面積S為正整數(shù)，則這樣的^PBCM有11個.考點(diǎn)伸展點(diǎn)P沿拋物線從A經(jīng)過C到達(dá)B的過程中，△PBC勺面積為整數(shù)，依次為(5),4,3,2,1,(0),1,3,4,3,2,1,(0).當(dāng)P在BC下方，S=4時，點(diǎn)P在BC的中點(diǎn)的正下方，F(xiàn)是BC的中點(diǎn).

A(0,1) 、R2,0)A(0,1) 、R2,0)、qo,0),將此三角板繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到三角形AB'Q一拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B'、B,求該拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一個動點(diǎn)，是否存在點(diǎn) P,使四邊形PBAB的面積是^AB'O面積的4倍？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)在(2)的條件下，試指出四邊形PBA'B是哪種形狀的四邊形？并寫出它的兩條性質(zhì).圖1圖1思路點(diǎn)撥.四邊形PB'AB的面積是^ABO面積的4倍，可以轉(zhuǎn)化為四邊形 PBOB勺面積是△A'BO面積的3倍..聯(lián)結(jié)PQ四邊形PBOB可以分割為兩個三角形..過點(diǎn)向x軸作垂線，四邊形PB0加可以分割為一個直角梯形和一個直角三角形.滿分解答^AO染著原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)A'、B'的坐標(biāo)分別為(—1,0)、(0,2).因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A'(―1,0)、B(2,0),設(shè)解析式為y=a(x+1)(x—2),代入B'(0,2)，得a=1.所以該拋物線的解析式為 y=-(x+1)(x-2)=—x2+x+2.&AB，O=1,如果S四邊形PB，AB=4SaaBzO=4,那么S四邊形PBOB=3&AB，O=3.如圖2,彳PDLOB垂足為D.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,—x2+x+2).TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 13 12S弟形PB,OD-DO(B'OPD)2x(2xx2)2x2x2x-c 1 1 2 13 32Spdb 2DB PD2(2 x)(x2 x2)2x3 2x2 2.

所以S四邊形pb'A'd SW形PB'ODSPDBx22x+2.解方程一x?+2x+2=3,得x22x+2.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,2）.（3）如圖3,四邊形PBAB是等腰梯形，它的性質(zhì)有：等腰梯形的對角線相等；等腰梯形同以底上的兩個角相等；等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是經(jīng)過兩底中點(diǎn)的直線.考點(diǎn)伸展第（2）題求四邊形PBOB的面積，也可以如圖4那樣分割圖形，這樣運(yùn)算過程更簡單.TOC\o"1-5"\h\z1 1八SPB'O2BOxp 22xx-八 1八 1 2Spbo -BOyp —2(x2x2)\o"CurrentDocument"2 2所以S四邊形所以S四邊形pb'A'dSPB'OSPBO2x22x+2.甚至我們可以更大膽地根據(jù)拋物線的對稱性直接得到點(diǎn) P：作OB關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的△BOE那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,2）.而矩形EBODWAAOB、ABOP^等底等高的，所以四邊形EBAB的面積是^AB'O面積的4倍.因此點(diǎn)E就是要探求的點(diǎn)P.

例3、如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線ylx1與拋物線y=ax2+bx—3交于AB兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x2軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3.點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn) AB重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C,彳PDLAB于點(diǎn)D.（1）求a、b及sin/ACP勺值；（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；②連ZPB線段PC把△PD明成兩個三角形，是否存在適合的 m的值，使這兩個三角形的面積比為 9：10?若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由.思路點(diǎn)撥圖1.第（1）題由于CP/y軸，把/ACP?；癁樗耐唤?.第（2）思路點(diǎn)撥圖1.第（1）題由于CP/y軸，把/ACP專化為它的同位角..第（2）題中，PD=PGin/ACP第（1）題已經(jīng)做好了鋪墊..△PCDt14PC盟同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應(yīng)高 DN與BM勺比..兩個三角形的面積比為9：10,要分兩種情況討論.滿分解答(1)設(shè)直線y1x1與y軸交于點(diǎn)E,那么A(—2,0),B(4,3)2在RtAAEO^,OA=2,OE=1,所以AE芯.所以sinAEO,E(0,1)2_J5因?yàn)镻C/EQ所以/ACP=/AEO因此sinACP2.55將A(—2,0)、B(4,3)分別代入y=ax2+bx-3,得4a2b30,16a4b33.1 1斛得a -，b -.\o"CurrentDocument"2 2，一， 1 21 1(2)由P(m,—m-m3),C(m,—m1),2 2 2得PC1 1 2(2m1)(2m2m3)Im2m4.2所以得PC1 1 2(2m1)(2m2m3)Im2m4.2所以PDPCsinACP2-^PC—^(1m2m5 5 2所以PD的最大值為9B.5

5(3)當(dāng)SaPCD:生PC『9：10時，m24)費(fèi)(m1)25 5當(dāng)SaPCD:觀pcb=109時，m32￥圖2考點(diǎn)伸展DN與BM比.15(m2)(m4)第（3）DN與BM比.15(m2)(m4)而DNPDcosPDNPDcosACP-52^5(-m2m5 5 2BM=4-m①當(dāng)SPCD：S\PCB=9:10時,1(m52)(m4)9(410m)?解得m5 .2②當(dāng)S\PCD：S\PCB=10:9時，1/(m52)(m4)1°“7(4m)?解得m329例4、如圖1,直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),且與雙曲線yU(x>0)交于點(diǎn)B(2,1).過點(diǎn)P(p,p1)(p>1)x作x軸的平行線分別交曲線ym(x>0)和y m(x<0)于MN兩點(diǎn).x x(1)求m的值及直線l的解析式；(2)若點(diǎn)P在直線y=2上，求證：△PMBoAPN>A(3)是否存在實(shí)數(shù)p,使得Saam』4Saamp?若存在，請求出所有滿足條件的 p的值；若不存在，請說明理由.思路點(diǎn)撥.第(2)題準(zhǔn)確畫圖，點(diǎn)的位置關(guān)系盡在圖形中..第(3)題把Saam』4Saam陣專化為MN=4MP按照點(diǎn)M與線段NP的位置關(guān)系分兩種情況討論.滿分解答(1)因?yàn)辄c(diǎn)B(2,1)在雙曲線ym上，所以m=2.設(shè)直線l的解析式為ykxb,代入點(diǎn)A(1,0)xkb0 k1和點(diǎn)B(2,1),得kb0,解得k1,所以直線l的解析式為yx1.2kb1. b1.(2)由點(diǎn)P(p,p1)(p>1)的坐標(biāo)可知，點(diǎn)P在直線yx1上x軸的上方.如圖2,當(dāng)y=2時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2).此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(一1,2).由P(3,2)、M(1,2)、B(2,1)三點(diǎn)的位置關(guān)系，可知△PM⑼等腰直角三角形.由P(3,2)、N—1,2)、A(1,0)三點(diǎn)的位置關(guān)系，可知△PNM等腰直角三角形.所以△PMBP^PNA

圖2 圖2 圖3 圖4AAMtfn4AM浣兩個同高的三角形，底邊 MNF口MP&同一條直線上.當(dāng)空AMN=48am時，MN=4MP①如圖3,當(dāng)M在NP上時，xm—xn=4（xp—xm）.炳（此時點(diǎn)P在x軸下方，舍去）.此時p2因此Z(2) 4(x1)-.解得x 或xx x 21,134—4—(x1)?解得xx②如圖4,當(dāng)M在NP的延長線上時，xm—xn=4（xm—xp）.因此（2）xx或X1 5（此時點(diǎn)2P在X軸下方，舍去）.此時p1_也2考點(diǎn)伸展在本題情景下，△AMNt歸否成為直角三角形？情形一，如圖5,/AMN90°,此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,2）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,2）.情形二，如圖6,/MANh90°,此時斜邊MNk的中線等于斜邊的一半.不存在/ANIW90°的情況.例5、如圖1,四邊形OAB基矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,1).點(diǎn)D是線段BC上的動點(diǎn)(與端,、，，八點(diǎn)B、C不重合)，過點(diǎn)D作直線y—xb交折線OA的點(diǎn)E.(1)記^ODE勺面積為S,求S與b的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時，若矩形OAB送于直線DE的對稱圖形為四邊形OAB1C1,試探究四邊形OAB1C1與矩形OABC勺重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出重疊部分的面積；若改變，請說明理由.思路點(diǎn)撥.數(shù)形結(jié)合，用b表示線段OECDARBE的長..求△ODE勺面積，要分兩種情況.當(dāng) E在OA上時，OE邊對應(yīng)的高等于OC當(dāng)E在AB邊上時，要利用割補(bǔ)法求△ODE勺面積..第(3)題中的重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形..圖形翻著、旋轉(zhuǎn)等運(yùn)動中，計(jì)算菱形的邊長一般用勾股定理.滿分解答 一，(1)①如圖2,當(dāng)E在OA上時，由y-xb可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2b,0),OE=2b.此時S=9ode_~1=-OEOC-2b1b.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2一 ― —②如圖3,當(dāng)E在AB上時，把y=1代入y-xb可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2b—2,1),CD=2b-2,\o"CurrentDocument" 1 一 3 3 5 一BD=5—2b.把x=3代入y —x b可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,b -)，AE= b 一，BE=— b.此時\o"CurrentDocument"2 2 2 2S=S矩形OABCSAOAE-SABDE-SAOCD\o"CurrentDocument"1 315 123(b3)2(5b)(52b)-1(2b2)

b25b.2(2)如圖4,因?yàn)樗倪呅蜲ABC與矩形OAB佻于直線DE對稱，因此D陣DN那么重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形，即四邊形 DME建菱形.作DHLOA垂足為H.由于CD=2b—2,O邑2b,所以EH=2. . . 一一. 2 2 2. ? 5設(shè)菱形DMENJ邊長為m在RtADEH^,DH=1,NH=2—簿DN=E所以1+(2-n)=m.解得m—.所45以重疊部分菱形DMENJ面積為一.4圖2 圖3 圖4考點(diǎn)伸展把本題中的矩形OABCg著它的對稱中心旋轉(zhuǎn)，如果重疊部分的形狀是菱形(如圖5),那么這個菱形的最小面積為1,如圖6所示；最大面積為5,如圖7所示.3

例6、如圖1,在△ABC43,/C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)E在斜邊AB上，過點(diǎn)E作直線與^ABC勺直角邊相交于點(diǎn)F,設(shè)AE=x,4AEF的面積為y.（1）求線段AD的長；（2）若EF±AB當(dāng)點(diǎn)E在斜邊AB±移動時，①求y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值圍）；②當(dāng)x取何值時，y有最大值？并求出最大值.（3）若點(diǎn)F在直角邊AC上（點(diǎn)F與AC不重合），點(diǎn)E在斜邊AB上移動，試問，是否存在直線EF將△ABC勺周長和面積同時平分？若存在直線 EF,求出x的值；若不存在直線EF,請說明理由.備用圖思路點(diǎn)撥.第（1）題求得的AD的長，就是第（2）題分類討論x的臨界點(diǎn)..第（2）題要按照點(diǎn)F的位置分兩種情況討論..第（3）題的一般策略是：先假定平分周長，再列關(guān)于面積的方程，根據(jù)方程的解的情況作出判斷.滿分解答TOC\o"1-5"\h\z一 . . 一 39(1)在RtAABO^,（2）①如圖2,當(dāng)AC=3,BC=4,所以AB=5.(1)在RtAABO^,（2）①如圖2,當(dāng)559 4F在AC上時，0x一.在RSAEF中，EFAEtanA-x.所以5 31-AEEF21一AEEF2②當(dāng)0BC上時，1一AEEF2②當(dāng)0BC上時，9<x515—x.85.在Rt△BEF中，EFBEtanB-(5x).所以

42x2的最大值為35425— . 5因此，當(dāng)x—時,23215x-x8 8一…75y的最大值為——323/ 528(x2)75…… 75—的取大值為—?3232（3）△ABC勺周長等于12,— . 5因此，當(dāng)x—時,23215x-x8 8一…75y的最大值為——323/ 528(x2)75…… 75—的取大值為—?3232（3）△ABC勺周長等于12,面積等于6.先假設(shè)EF平分△ABC的周長AE=x,AF=的變化圍為3Vc1 …SAEF AE21，八、AFsinA-x(6x)2 …- 2 ,口—x(x6).解方程 一x(x6)3,得x5 5因?yàn)閤31r一提在3WxW5圍（如圖4）,因此存在直線2EF將△ABC勺周長和面積同時平分.考點(diǎn)伸展如果把第（3）題的條件“點(diǎn)F在直角邊AC上”改為“點(diǎn)F在直角邊BC上”，那么就不存在直線EF將^ABC勺周長和面積同時平分.先假設(shè)EF平分△ABC勺周長，那么AE=x,BE=5-x,BF=x+1.因止匕SBEF—BEBFsinB-(5x)(x2 21)3,2 、—(x24x5).10 3O O4x50.此方程無實(shí)數(shù)根.解方程一（x24x5）3,整理，得x4x50.此方程無實(shí)數(shù)根.10例7、如圖1,正方形ABCDK點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為(0,10),(8,4),點(diǎn)C在第一象限.動點(diǎn)P在正方形ABCD勺邊上，從點(diǎn)A出發(fā)沿ZB-CHD勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q以相同速度在x軸上運(yùn)動，當(dāng)P點(diǎn)到D點(diǎn)時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為 t秒.(1)當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x(長度單位)關(guān)于運(yùn)動時間t(秒)的函數(shù)圖象如圖2所示，請寫出點(diǎn)Q開始運(yùn)動時的坐標(biāo)及點(diǎn)P運(yùn)動速度；(2)求正方形邊長及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)在(1)中當(dāng)t為何值時，△OPQ勺面積最大，并求此時P點(diǎn)的坐標(biāo).(4)如果點(diǎn)P、Q保持原速度速度不變，當(dāng)點(diǎn)P沿Z-C-D勻速運(yùn)動時，OP與PQ能否相等，若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由.圖1 圖2思路點(diǎn)撥.過點(diǎn)B、CP向x軸、y軸作垂線段，就會構(gòu)造出全等的、相似的直角三角形，出現(xiàn)相等、成比例的線段，用含有t的式子表示這些線段是解題的基礎(chǔ)..求點(diǎn)C的坐標(biāo)，為求直線BCCD的解析式作鋪墊，進(jìn)而為附加題用兩點(diǎn)間的距離公式作準(zhǔn)備..不論點(diǎn)P在ARBC還是CD上，點(diǎn)P所在的直角三角形的三邊比總是 3：4：5,靈活運(yùn)用方便解題..根據(jù)二次函數(shù)的解析式求函數(shù)的最值時，要注意定義域與對稱軸的位置關(guān)系.滿分解答Q(1,0)，點(diǎn)P每秒鐘運(yùn)動1個單位長度.(2)過點(diǎn)B作BE!y軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作x軸的垂線