對勾函數(shù) 反比例函數(shù)與雙曲線方程

對勾函數(shù)反比例函數(shù)與雙曲線方程福建尤溪文公高級中學(xué)鄭明淮k在初中數(shù)學(xué)里函數(shù)y=(kh0)叫反比例函數(shù)，它的圖像是雙曲線，兩坐標(biāo)軸是雙曲x線的漸近線。而高中數(shù)學(xué)平面解析幾何中的雙曲線是以方程形式呈現(xiàn)的，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y2bb--1，兩慚近線方程為y=±—x。我們在研究對勾函數(shù)y=ax+(ab>0)的圖a2b2ax像時注意到它同樣有兩條漸近線，分別是直線x=0和y=ax。那么它的圖像到底是不是雙曲線呢初高中的數(shù)學(xué)教材并未對此作出說明，不能不說是一種缺憾。本文就這一問題尋求理論支撐以并在實踐操作層面作一探討。一、反比例函數(shù)和對勾函數(shù)的圖像都是雙曲線1、平面解析幾何知識告訴我們：二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F二0所2ABD表示的曲線由兩判別式A=B2CE和5二B2-4AC與o的大小關(guān)系共同決定。當(dāng)CE2F、豐0且5>0時，它表示雙曲線。k對于反比例函數(shù)y=(k豐0)，可以化為方程xy-k=0(k豐0)，容易計算得：xbA=2kh0且5=1>0，因此它的圖像是雙曲線。對于函數(shù)y=ax+(ab>0)可以化為x方程ax2—xy+b二0(ab>0)，計算得，卜=一2豐0且5=1>0，因此它的圖像是雙曲線。2、作反比例函數(shù)和對勾函數(shù)圖像的兩條慚近線所形成角的平分線得兩條過原點且互相垂直的直線l和l，并設(shè)其傾斜角分別為a和?且a<a。以l和l作為x軸和y軸重新12121212線。如圖:這兩個函數(shù)圖像及相應(yīng)的慚近線繞原點沿順時針方向旋程形式的雙曲轉(zhuǎn)a角度，便線。如圖:這兩個函數(shù)圖像及相應(yīng)的慚近線繞原點沿順時針方向旋程形式的雙曲轉(zhuǎn)a角度，便1可得到標(biāo)準(zhǔn)方建立直角坐標(biāo)系，我們會發(fā)現(xiàn)，它們與高中所學(xué)標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線圖形是一致的。也就是說把k以y=(k>0)為例。兩慚近線x夾角平分線為y=±x，其中與雙曲線有交點的是y二x,求出交點坐標(biāo)為：TOC\o"1-5"\h\zf2f2\o"CurrentDocument"AG-'k,v，k)和B(—Pk,—\：k)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為—=1,則a2b2a2=1OAI2二2k，a=\2k，又在以直線y=±x為坐標(biāo)軸的新坐標(biāo)系中，雙曲線的慚近線y軸在新坐標(biāo)系下的傾斜角為45°，斜率為？=tan45°=】，所以b=a=\；2k，所以該雙ax2y2曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：不~—=1。2k2k利用標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)一步可以求出半焦距c=2^k，因為焦點在實軸y=x上,設(shè)焦點坐標(biāo)k為f(m,m)，則由c2=IOFb=2m2=4k解得：m=±￡2k。所以y=(k>0)的交點x坐標(biāo)為FG.-'2k,<2k)和F(—J2k,—、j2k)。離心率e=-=p2。i2ab三、雙曲線y=ax+—(ab豐0)的實軸、虛軸、頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)和離心率xb雙曲線y=ax+(ab豐0)的兩條漸近線方程為x=0和y=ax,在高中學(xué)生未系統(tǒng)x學(xué)習(xí)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)相關(guān)知識的情況下，如何通過已有的知識來解決求雙曲線的實軸和虛軸所在的直線方程進(jìn)而解決求頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)和離心率一系列問題我們可以借助向量相關(guān)知識來確定實軸所在直線的斜率。以原點為起點取兩漸近線的兩個單位方向向量，并使雙曲線的實軸經(jīng)過這兩向量夾角。則這兩個向量的和向量就是實軸的

rv方向向量。設(shè)該方向向量為n二(u,v)，則實軸的斜率為k=。ub下面以雙曲線y=ax+(a>0,b>0)為例來解決這一問題，其他情形可作類似解答。xr顯然，雙曲線的實軸經(jīng)過第一象限。取兩慚近線的單位方向量&二(0,1),r1、akJa2+1Ja2+1丿，則實軸的方向向量為rn=21yfa2+1+ar1、akJa2+1Ja2+1丿，則實軸的方向向量為rn=21yfa2+1+aJa2+1Ja2+1丿，所以實軸的斜率為k=Pa2+1+a，又實軸過原點，可得實軸所在的直線方程為：y=G'a2+1+a)x。因為虛軸過原點且與實軸垂直，所以它的直線方程為：y=-(Ua2+1-a)x。將實軸方程與雙曲線方程聯(lián)立可解得雙曲線的兩個頂點坐標(biāo)為：-Ca2+1+a)jbyyja2+1丿，B雙曲線的實半軸長為a'=1OB1=2b(a2+1+a)。F面以實軸所在直線為x'軸，虛軸所在直線為y'軸新建直角坐標(biāo)系，則漸近線x=0對應(yīng)于新坐標(biāo)系的傾斜角為實軸在原坐標(biāo)系下的傾斜角Q的余角90。-q，且在新坐標(biāo)系下的方程為y'=bx'，其中b'為半虛軸長。所以b'=a'tan(90°—a)=-=罕atanqk2b(a2+1+a)a2+1+a=、、［2b(pa2+1-a)，至此可得雙曲線在新坐標(biāo)系下的標(biāo)準(zhǔn)方程x'2y'2為：^—=12b(Ja2+1+a)2b(Ja2+1—a)雙曲線的半焦距c'=va'2+b'2所以雙曲線的離心率為e=Ca2+1-a、；a2+1a'以原點為圓心，C為半徑的圓的方程為x2+y2=4bja2+1，把它與實軸方程聯(lián)立可求得雙曲線兩個焦點坐標(biāo)為：F—J2方(&2+1—a)—J2方(Ja2+1+矗j和J2b(Ja2+1—a),丿k本解法中令a=0,b=k可以發(fā)現(xiàn)它與雙曲線y=(k>0)的相應(yīng)結(jié)論是一致的。x四、應(yīng)用舉例例1、(福州市2014－2015學(xué)年度第一學(xué)期高三質(zhì)量檢查理科第12題)已知直線l:y=ax+b與曲線r:x=-+y沒有公共點.若平行于/的直線與曲線r有且只有yTOC\o"1-5"\h\z一個公共點，則符合條件的直線l().A.不存在B.恰有一條C.恰有兩條D.有無數(shù)條---分析：曲線r:x=1+y是函數(shù)y=X+中x,y交換后的曲線，它與對勾函數(shù)y=X+圖yxx像關(guān)于直線y=x對稱，因此它仍是雙曲線，且x軸和直線y=x是它的兩條漸近線。問題轉(zhuǎn)化為尋找l:y=ax+b與雙曲線有且只有一個公共點的平行線，顯然只有與兩條漸近線平行的直線才滿足要求，又l:y=ax+b與雙曲線沒有公共點，故l只能是兩條漸近線本身，所以本題選Co1例2、已知點P為函數(shù)y=x+圖像上的任意一點，過P點作y軸的平行線交直線y二x于xA點，過P點作與直線y=x的平行線交y軸與B點，求證：IPAI-1PBI為定值。(證明：設(shè)P點的坐標(biāo)為a,(證明：設(shè)P點的坐標(biāo)為