隨機(jī)有限元法

式中:Ke=Ke+/r(G)=fE/(N：Jdx+E/fd(x)(w；jN：dx,I式中:單元的外力功為冷f斤+竽層）心扣"冗才+折％詔?（75.3）式中：K2=f（N；）'N；dx,K：嚴(yán)f（N；y（從〃）N；dx,Qx/1=（Qx/l）+Qx^x）/1,p為任一隨機(jī)變量據(jù)此集成結(jié)構(gòu)總能竜和總外力功,利用Hamilton原理『5（7一U）dt+『8Wcdt=0,即対總位移向炭q取變分，考慮到q的任意性，可得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)而得到如I、?特征問(wèn)題方程：[-s2M+（-K）+pKGc+QKgd]q=0（7.5.4）式中，剛度系數(shù)匕=心+心（。），其中你?是確定性分量，Rj=Ei（：N：a）N：a）dx,而隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)：k/G）=刖:d（x）N：（x）N；（x）dx°丁?是可以寫出剛度系數(shù)、質(zhì)耄系數(shù)以及兒何剛度系數(shù)的均值和方差的表達(dá)式匕役在總剛度矩陣中兩個(gè)剛度系數(shù)血和也的互協(xié)方差,當(dāng)單元尺寸相等時(shí)，利用方差函數(shù)可作進(jìn)一步簡(jiǎn)化。利用局部平均理論，在每個(gè)單元上E、m、Q的均值為零，方差為：畑（d）=<ri/￡（/J=況0/le%"血.）=0計(jì)”仏）=<?0?,/le（7.5.5）畑（2）=億式中，人幾（。、人（/丿和?￡、％、色分別為隨機(jī)變量a（x）、b（x）和p（x）的方差函數(shù)和相關(guān)偏度。利用協(xié)方差函數(shù)寫出兩剛度系數(shù)或兩質(zhì)最系數(shù)的互協(xié)方差。

最后，特征值問(wèn)題的方程可表達(dá)為(K+K(Q)+PKgg+PKgc(Q)+QKgd+QKgd(Q)]x=2[A/+;W(Q)>(7.5.6)或Kx=XM*x。相應(yīng)平均問(wèn)題的方程為R4-PKCC+QKgd\x=IMx(7.5.7)利用單元?jiǎng)偠取①|(zhì)最和幾何剛度Z間的協(xié)方差的表達(dá)式，等效剛度矩陣K*的協(xié)方差矩陣能用獨(dú)立的a(x)、b(x)和p(x)來(lái)表示。解未擾動(dòng)的特征值問(wèn)題(平均值問(wèn)題)可得特征值的均值。対滿足小擾動(dòng)情況，可推導(dǎo)出求兩個(gè)特征值Z間的協(xié)方差公式。在建立了材料特性和兒何尺寸有隨機(jī)擾動(dòng)的梁-柱的隨機(jī)特征值問(wèn)題的隨機(jī)有限元公式后，利用局部平均理論，隨機(jī)過(guò)程由均值、方差和相關(guān)偏度來(lái)定義。上述公式可推廣到二維或三維血。?線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)設(shè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)屆矩陣M是確定性的，阻尼、剛度和外力的概率分布由廣義協(xié)方差矩陣Cov(bi,bj)(i,j二1,2,…,q)表示，線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為M.f(bj)+C(b)f(b,/)+K(b)x(b,f)=F(/?,/)(7.5.8)式中,質(zhì)量陣M、阻尼陣C(b)和剛度陣K(b)都是n階方陣,位移向量x和荷載向量F為n階列陣。用Taylor級(jí)數(shù)對(duì)?隨機(jī)向鼠b展開(kāi)，并保留二階項(xiàng)，則位移向屋x(b,t)關(guān)丁萬(wàn)的二_q—]r勺_階攝動(dòng)式為x(b,t)=x(f)+/工皿(/)△$+—Y2工農(nóng)沏(/)△$△/?」(7.5.9)i=i2；,；=!其中，Y是小參數(shù)；萬(wàn)是b的均值；1(f)、云&)和云問(wèn)(/)分別表示位移向量的均值、位移向鼠相刈?j:b,的一階差商并在乙處取值和位移向鼠相刈?j:bi.bj的二階差商并在萬(wàn)處取值；△bi是bi與b之差。同樣可以對(duì)C⑹、K(b)和F(b,t)寫出關(guān)rbi的二階攝動(dòng)展開(kāi)式O將這些展開(kāi)式代入運(yùn)動(dòng)方程(7.5.8)式中，歸并Y和廠項(xiàng)后，得到零階方程：+Ci(/)+Kx(t)=F(Z)(7.5.10)求解遞歸微分方程組(7.5.10)?(7.5.15)式，可同時(shí)得至(/)、&(/)。為節(jié)省計(jì)算量，可利用特征正交性將協(xié)方差矩陣Cov(b,bJ轉(zhuǎn)化成不和關(guān)的方差對(duì)角陣Var(cJ。在得到零階方程的振型矩陣后，可使上述遞歸方程解耦。-階方程：Mxhi(t)+Cxhi(t)+Kxhi(t)=尸血-階方程：Mxhi(t)+Cxhi(t)+Kxhi(t)=尸血CM)(/=h2、…,q)式中，F(xiàn)ihi^xJ)=Fbi(t)-\Cbix(<t)+KhiX(t)(/=t2,…，q)二階方程：Mx2(z)+Cx2(r)+Kx2(r)=?2(x,Xb^t)式中：耳(x,Xhi,0=X|I2FbibiQ)Co\(bi,bJ-1+ChibiX(t)+^Ki>ihiX(t)+Chixbi(f)+Kb<xbi(/)|Coi(b.,bJ?]4_(0=-^Xbibi⑴Cov&,bj)(7.5.11)(7.5.12)(7.5.13)(7.5.14)(7.5.15)假定阻尼與剛度成正比，燉應(yīng)J：k階模態(tài)的阻尼比是§’，則各階解耦的遞歸方程組為零階方程：xk+2^kcokxk+co[xk=fkk=1,2,…川(7.5.16)一階方程：xkci+2^cokxkci+co^xkl.=fkcik=l,2,/=1,2,--,r(7.5.17)式中,xkci是Xci的第k個(gè)分量;fkci是fci的第k個(gè)分量，且?guī)?①'Fki(f),i=l,2,…,r二階方程：xk2+2^ka)kxk2+co;xk2=fk2k=1,2,…，"(7.5.18)式中，X&2是尤2的第k個(gè)分量；幾2是幾的第k個(gè)分量，且?guī)锥佟蘑?。由遞歸方程組(7.5.16)?(7.5.18)式解得X、心和x2,再變換成1(f)、乙(/)和〈(f),然后得到位移、應(yīng)變和應(yīng)力的概率分布、均值、方差和互協(xié)方差。?隨機(jī)有限元法的計(jì)算機(jī)實(shí)施不確定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析的隨機(jī)有限元法的計(jì)算機(jī)實(shí)施過(guò)程，包含對(duì)前而導(dǎo)出的一系列遞歸方程組的時(shí)間積分，可用Newmark-B法、W訂son-()法的直接積分法計(jì)算。為了給出均值和方差，需要積分的方程數(shù)目共有(q+2)個(gè)。所有積分過(guò)程都用了相同的有效剛度矩陣，對(duì)運(yùn)用并行計(jì)算方法十分有利，也說(shuō)明隨機(jī)有限元法在動(dòng)力分析中的效用。対J：概率非線性系統(tǒng)，仍可采用隱式或顯式的時(shí)域直接積分法。対均值方程求解，可用Newton-Raphson迭代進(jìn)行。結(jié)構(gòu)在具有時(shí)間隨機(jī)性荷載作用I、?的動(dòng)力響應(yīng)分析，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，如受地震荷載、風(fēng)荷載或車輛荷載作用，在某給定時(shí)刻荷載的一些物理參數(shù)還存在不確定性，因此有必要在n